I Définition chapitre 1 Les Matrices.

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1 I Définition chapitre 1 Les Matrices.
Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement différente. matrice M =

2 chapitre Les Matrices. I Définition Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement différente. matrice M = Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de colonnes.

3 chapitre Les Matrices. I Définition Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement différente. matrice M = Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de colonnes. On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes )

4 chapitre Les Matrices. I Définition Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement différente. matrice M = Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de colonnes. On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes ) lignes-colonnes comme le président américain

5 chapitre Les Matrices. I Définition Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement différente. matrice M = Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de colonnes. On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes ) Mn×p et si n = p : « matrice …

6 chapitre Les Matrices. I Définition Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement différente. matrice M = Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de colonnes. On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes ) Mn×p et si n = p : « matrice carrée », n = 1 « matrice …

7 chapitre Les Matrices. I Définition Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement différente. matrice M = Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de colonnes. On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes ) Mn×p et si n = p : « matrice carrée », n = 1 « matrice colonne », p = 1 « matrice …

8 chapitre Les Matrices. I Définition Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement différente. matrice M = Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de colonnes. On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes ) Mn×p et si n = p : « matrice carrée », n = 1 « matrice colonne », p = 1 « matrice ligne ». La matrice M comporte tous les éléments mi j ( par exemple m2 1 = … ; m1 3 = …. )

9 chapitre Les Matrices. I Définition Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement différente. matrice M = Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de colonnes. On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes ) Mn×p et si n = p : « matrice carrée », n = 1 « matrice colonne », p = 1 « matrice ligne ». La matrice M comporte tous les éléments mi j ( par exemple m2 1 = 1 ; m1 3 = 6 )

10 II Opération sur les matrices
1°) Multiplication d’une matrice M par un réel k : On la note N = k M Exemple : M = et k = 2 N = 2 M =

11 II Opération sur les matrices
1°) Multiplication d’une matrice M par un réel k : On la note N = k M Exemple : M = et k = 2 N = 2 M =

12 II Opération sur les matrices
1°) Multiplication d’une matrice M par un réel k : On la note N = k M Exemple : M = et k = 2 N = 2 M = La matrice N = k M est définie par : ni j = … La matrice k M existe … et M et k M ont comme dimensions …

13 II Opération sur les matrices
1°) Multiplication d’une matrice M par un réel k : On la note N = k M Exemple : M = et k = 2 N = 2 M = La matrice N = k M est définie par : ni j = k mi j La matrice k M existe toujours, et M et k M ont mêmes dimensions : k M2×3 = N2×3

14 II Opération sur les matrices
2°) Addition de deux matrices M et N : On la note P = M + N Exemple : M = et N = P = M + N =

15 II Opération sur les matrices
2°) Addition de deux matrices M et N : On la note P = M + N Exemple : M = et N = P = M + N =

16 II Opération sur les matrices
2°) Addition de deux matrices M et N : On la note P = M + N Exemple : M = et N = P = M + N = La matrice P = M + N est définie par : pi j = … La matrice M + N existe … M, N et M + N ont comme dimensions …

17 II Opération sur les matrices
2°) Addition de deux matrices M et N : On la note P = M + N Exemple : M = et N = P = M + N = La matrice P = M + N est définie par : pi j = mi j + ni j La matrice M + N n’existe que si M et N ont même dimensions, alors M, N et M + N ont mêmes dimensions : M2×3 + N2×3 = P2×3

18 3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces produits Exemple : ligne i de A = ( ) colonne j de B = 3 -1

19 3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces produits Exemple : ligne i de A = ( ) colonne j de B = 3 -1

20 3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces produits Exemple : ligne i de A = ( ) colonne j de B = 3 -1

21 3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces produits Exemple : ligne i de A = ( ) colonne j de B = 3 -1 1× × ×(-1)

22 3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces produits Exemple : ligne i de A = ( ) colonne j de B = 3 -1 1× × ×(-1) puis (-6) donc 11

23 3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces produits Exemple : ligne i de A = ( ) colonne j de B = 3 -1 1× × ×(-1) puis (-6) donc 11 Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si …

24 3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces produits Exemple : ligne i de A = ( ) colonne j de B = 3 -1 1× × ×(-1) puis (-6) donc 11 Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B.

25 3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces produits Exemple : ligne i de A = ( ) colonne j de B = 3 -1 1× × ×(-1) puis (-6) donc 11 Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une ligne de A est …

26 3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces produits Exemple : ligne i de A = ( ) colonne j de B = 3 -1 1× × ×(-1) puis (-6) donc 11 Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une ligne de A est le nombre de colonnes de A.

27 3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces produits Exemple : ligne i de A = ( ) colonne j de B = 3 -1 1× × ×(-1) puis (-6) donc 11 Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le nombre d’éléments dans une colonne de B est …

28 3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces produits Exemple : ligne i de A = ( ) colonne j de B = 3 -1 1× × ×(-1) puis (-6) donc 11 Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le nombre d’éléments dans une colonne de B est le nombre de lignes de B : Am×n et Bp×q oblige à avoir …

29 3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces produits Exemple : ligne i de A = ( ) colonne j de B = 3 -1 1× × ×(-1) puis (-6) donc 11 Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le nombre d’éléments dans une colonne de B est le nombre de lignes de B : Am×n et Bp×q oblige à avoir n = p

30 Combien y a-t-il de lignes dans la matrice C ?
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le nombre d’éléments dans une colonne de B est le nombre de lignes de B : Am×n et Bp×q oblige à avoir n = p Combien y a-t-il de lignes dans la matrice C ? ci j = ligne i de A × colonne j de B donc …

31 Combien y a-t-il de lignes dans la matrice C ?
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le nombre d’éléments dans une colonne de B est le nombre de lignes de B : Am×n et Bp×q oblige à avoir n = p Combien y a-t-il de lignes dans la matrice C ? ci j = ligne i de A × colonne j de B donc autant dans C que dans A. Combien y a-t-il de colonnes dans la matrice C ? ci j = ligne i de A × colonne j de B donc …

32 Combien y a-t-il de lignes dans la matrice C ?
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le nombre d’éléments dans une colonne de B est le nombre de lignes de B : Am×n et Bp×q oblige à avoir n = p Combien y a-t-il de lignes dans la matrice C ? ci j = ligne i de A × colonne j de B donc autant dans C que dans A. Combien y a-t-il de colonnes dans la matrice C ? ci j = ligne i de A × colonne j de B donc autant dans C que dans B. On a donc : Am×n × Bp×q n’existe que si n = p et on a comme dimensions …

33 On a donc : Am×n × Bp×q n’existe que si n = p
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le nombre d’éléments dans une colonne de B est le nombre de lignes de B : Am×n et Bp×q oblige à avoir n = p Combien y a-t-il de lignes dans la matrice C ? ci j = ligne i de A × colonne j de B donc autant dans C que dans A. Combien y a-t-il de colonnes dans la matrice C ? ci j = ligne i de A × colonne j de B donc autant dans C que dans B. On a donc : Am×n × Bp×q n’existe que si n = p et on a comme dimensions : Am×n × Bn×q = Cm×q