Permutations de Baxter & Orientations bipolaires planes JCB 2009 Nicolas Bonichon, Mireille Bousquet-Mélou & Eric Fusy

Permutations Une permutation = (1) (2)… (n), est une bijection de [n] dans [n] Diagramme d'une permutation est l'ensemble des points (i, (i)). Montée : (a) < (a+1), descente, saillant-SG, saillant-SD, … =

Permutations de Baxter [Glen Baxter64] aa+1 lala l a +1 dd+1 ldld l d +1 est une permutation de Baxter si : 1) pour chaque montée a l a [ (a), (a+1)[ t.q : les rectangles (a+1, (a)) ; (n, l a ) et (1,l a +1);(a, (a+1)) soient vides. 2) pour chaque descente d l d [ (d+1), (d)[ t.q. : les rectangles (1, (d)) ; (d, l d ) et (d+1,l d +1)(n, (d+1)) soient vides.

2 chefs dœuvre du 7ième art… « Baxter permutations are a well known family of permutations that have been intensively studied over the past 30 years, appearing in various branches of mathematics such as analysis, algebraic «geometry and combinatorics »

Orientation bipolaire plane Une orientation bipolaire plane est une carte planaire orientée : Acyclique 1 seule source s et 1 seul puits t s et t sur la face externe. Prop 1 : Prop 2 : Une carte M admet une orientation bipolaire ssi M+(s,t) est 2-connexe. V: F: Bord gauche Bord droit s t

Orientation bipolaire plane Une orientation bipolaire plane est une carte planaire orientée : Acyclique 1 seule source s et 1 seul puits t s et t sur la face externe. Prop 1 : Prop 2 : Une carte M admet une orientation bipolaire ssi M+(s,t) est 2-connexe. V: F:

Orientation bipolaire plane : applications Dessin de visibilité Dessins orthogonaux Structures transverses …

Enumération [Chung et al 79] [Mallows79] Permutation Bijections [Cori, Dulucq, Viennot, Guibert, Gire] –Arbres jumeaux –Triplets de chemins de grand Dyck [Rodney Baxter01] Bipolaires planes Bijections –[Fusy, Poulalhon, Schaeffer07] Triplets de chemins de grand Dyck –[Fusy07] Structures Transverses –[Felsner, Fusy, Noy, Ordner07] permutations. [MBM03] Pas de bijection directe Pas de bijection simple et directe

Résultat principal taille n k descentes l montées i saillants sup gauche i saillants inf droite j saillants sup droite j saillants inf gauche n arêtes k faces internes l+2 sommets Bord gauche de longueur i Bord droit de longueur i Puits de degré j Source de degré j Thm : Une bijection qui envoie les permutations de Baxter sur les bipolaires:

: Etape 1 +2

: Etape 2

Propriétés Prop 1 : est une application des permutations de Baxter vers les orientations bipolaires Lemme 1 : les sommets noirs sont de degré 2. Lemme 2 : Le dessin est planaire.

Arbre de génération des Baxter Nœuds de larbres : permutations de Baxter. B n -> B n-1 : suppression de lélément n.

Arbre de génération des Baxter B n -> B n-1 : suppression de lélément n. B n -> B n+1 : ajout du n+1 –(a) avant le k-ème saillant sup. gauche –(b) après le k-ème saillant sup droit. Lemme : larbre de génération des Baxter est isomorphe à larbre : –(1,1) –(i,j) -> {(k, j+1) : 1 <= k <= i} U {(i+1, k) : 1 <= k <= j} Rq : Ces paramètres correspondent aux nombres de saillants supérieurs gauches et droits.

Arbre de génération des Bipolaires O n -> O n-1 Soit e=(t,v) larête la plus à droite du puits. (a) deg - (v) > 1 –Supprimer e (b) deg - (v) = 1 –Contracter e

Arbre de génération des Bipolaires O n -> O n+1 : (a) Ajouter une arête vers le k-ème sommet du bord gauche. (b) « déléguer les k premières arêtes » Lemme : larbre de génération des bipolaires est isomorphe à larbre : (1,1) (i,j) -> {(t, j+1) : 1 <= t <= i} U {(i+1, t) : 1 <= t <= j}

est bien une bijection. Arbres isomorphes une bijection. Par récurrence sur n on montre que ( ) = ( )

Symétrie selon la 1ère diagonale

Rotation de 90° et Dualité

TxTx TyTy

Remarque Liens étroits avec lalgorithme de dessin de [di Battista et al. 92]

Treillis des orientations bipolaires Thm [Ossona de Mendez 94] : lensembles des orientations bipolaires dune carte a une structure de treillis distributif. La relation de couverture est la suivante : LOPROP Corollaire : les cartes 2-connexes sont en bijection avec les bipolaires sans LOP Lemme : les cartes séries-parallèles sont en bijection avec les bipolaires sans LOP ni ROP.

Orientations bipolaires Orientations Min Cartes 2-connexes Orientation Min&Max Cartes séries-parallèles Spécialisations de Baxter S n (2413,3142) Baxter S n (2413) [Dulucq Gire West 96][Gire 93] Lemme : ( ) contient un LOP contient ( ) contient un ROP contient 25314

Permutations de Baxter alternantes 2n (2n+1) –Enumérées par C n.C n (C n.C n+1 ) [Cori Dulucq Viennot86] [Dulucq Guibert98] Permutations de Baxter doublement alternantes 2n (2n+1) –Enumérées par C n [Guibert Linusson00] Perspectives

Travaux en cours Orientations mono-source –Involutions de Baxter –Liens avec les cartes Eulériennes