Passy 18 mars 2008 Calcul au cycle 3

Partie 1: Pour le calcul, quoi de neuf dans les programmes en 2009?

On retrouve en particulier dans les deux programmes: Multiplier ou diviser par 10,100 ou 1000, un entier ou un nombre décimal

En 2008, on précise multiplier un entier ou un décimal par 10,100,1000 en CM1, diviser en CM2 En 2007, on précisait multiplier un entier par 10,100,1000 en CE2, diviser ou multiplier un entier ou un décimal en CM2

Une petite question:

Pour la multiplication posée de deux entiers en CE2, comment expliquerez vous ? 15 x x 30 = 15x3x10 = 45x10 = 450

Les nouveautés concernent le calcul posé

0,5 6 0,5 x 6x 0,5 x 1,5

Les nouveautés concernent le calcul posé

１２． , ,4 20 0,24 0

Les nouveautés concernent le calcul posé

Si on attend le CM2 pour donner du sens à la somme de deux fractions décimales, comment introduirez vous les écritures à virgule?

Quand un élève a compris que: 125 / 100 = 100 / / / 100 Puis 125 / 100 = / / 100 L’écriture à virgule en découle

Pour conclure: Dans les IO 2008 on remarque une demande forte sur le calcul posé: -multiplication d’entiers au CE2, -division décimale de deux entiers au CM1 - multiplication de deux décimaux et division d’un décimal par un entier au CM2

On note aussi que certaines connaissances nécessaires pour la compréhension des techniques ou des décimaux sont mal placées dans les classes du cycle

Faut-il en déduire qu’on nous demande d’enseigner les techniques sans les expliciter?

Les IO 2008 disent: Au cycle 3 « L’élève acquiert de nouveaux automatismes. » « L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification! »

Les IO 2008 disent aussi: « L’élève continue d’apprendre à résoudre des problèmes et renforce ses compétences en calcul mental »

Partie 2 Le Calcul Mental au cycle 3

1) Quelques raisons de pratiquer le calcul mental

Les IO 2002, 2007, 2008 insistent sur une pratique quotidienne du calcul mental

Pourquoi ?

Un exemple pour comprendre: 5 croissants coûtent 7€. Avec 42 €, combien peut-on acheter de croissants?

Problème de proportionnalité, en général mal réussi, pourquoi? Remplacez 42€ par 14€ et le taux de réussites va augmenter fortement

Ce n’est pas la proportionnalité qui pose problème mais le rapport entre 42 et 7 que certains élèves ne font pas spontanément

D’où l’importance de l’apprentissage des tables en variant les formes des questions. 7x6 = ? 7x ? = 42 Combien de fois 7 dans divisé par 7 Écrire 42 comme produit de deux entiers

La pratique du calcul mental est une première piste d’aide à la résolution de problèmes

2) Mais qu’est-ce que le calcul mental?

Différents regards sur le calcul suivant le mode de fonctionnement cognitif mobilisé Suivant le moyen utilisé pour calculer

Deux modes de fonctionnement cognitif mobilisés: 1) le calcul réfléchi ou raisonné: un exemple: Sans poser l’opération dans votre tête, calculez : 86 –

86 – 9 est le nombre sur lequel on arrive en reculant de 9 à partir de – 65 est le nombre que l’on ajoute à 65 pour arriver à 86 Pour calculer a – b, l’expert va décider en fonction des nombres a et b s’il va faire son calcul en avançant ou en reculant

Deux modes de fonctionnement cognitif mobilisés: 1) le calcul réfléchi ou raisonné: -analyse des données -recherche et mise en œuvre d’une stratégie -contrôle des étapes et du résultat 2) Le calcul automatisé: - restitution de faits numériques ou de procédures mémorisées

Trois moyens de calcul - le calcul écrit ( papier/ crayon) - Le calcul de tête - Le calcul instrumenté

3) Quelques difficultés du calcul mental et exemples de situations

Le paradoxe de l’automatisme Denis Butlen dans grand N 79 Trop peu d’automatismes ( procédures automatisées) peut renforcer l’automatisme (comportement systématique) D’avantage d’automatismes peut permettre d’échapper à l’automatisme

Exemple: Calculer , en calcul réfléchi = = – 3 = 65 – = =

Mais ces procédures ne sont pas rapidement appliquées si des faits numériques n’ont pas été mémorisés avant Si les décompositions 17 = 10+7 ou 17 =20 – 3 ne sont pas connues, elles ne pourront pas être mobilisées dans ces calculs réfléchis

Autre exemple: 17x8 Si l’élève voit 8 comme 2x2x2, il peut faire: 34 puis 68 puis 136 Si l’élève voit 8 comme 10-2, il peut faire 17x10 = 170 puis 170 – 34 = 136

D’où l’idée de travailler à enrichir leurs connaissances de faits numériques Exemples d’activités ( inspirés du livre calcul mental au cycle 3, collection mosaïque chez Hatier, M.L. Peltier ) - travail autour de nombres pivots Autour de 10, de 20, de 100

- situations pour structurer la suite des nombres Les jeux du furet Exemple : multiples de 7 - Trouvez l’intrus 35; 56 ; 91 ; 97 ; 105

-situations pour envisager les nombres suivant différents aspects afin de mettre ces nombres en réseau Exemple 56

Jeux de portraits et calcul mental Quel est le nombre qui a exactement: 11 centaines et 79 unités 11 centaines et 297 unités Quel est le nombre compris entre 200 et 300, dont le chiffre des dizaines est plus grand que celui des unités

Pour l’entraînement, pensez aussi aux cartes recto verso ( réponse au verso) en donnant assez peu de cartes pour que les calculs reviennent souvent et finissent par être mémorisés.

- Trajets numériques

-Activités de calcul mental avec la calculette Tapez 35,56 sur votre calculette Sans effacer, affichez 35,86 en tapant le moins possible de touches

-Jeu de la cible

Placer des parenthèses et des signes opératoires entre les 3 pour que = 2

(3 : 3 ) + (3 : 3 ) = 2

Calcul mental et jeu: trio

Partie 3 Quelles situations pour introduire la division euclidienne puis décimale de deux entiers en CM1 ?

La technique de la division euclidienne peut s’introduire à partir d’une situation de partage équitable d’un trésor sous forme de billets de banque entre des pirates

Cette situation conduit à un travail sur le dividende tronqué, on travaille chiffre après chiffre, en utilisant parfois des connaissances entre nombre de dizaines et chiffre des dizaines

Pour introduire la technique de la division décimale, on peut aussi utiliser une situation de partage équitable. Exemple: 17 litres de jus d’orange entre 5 enfants. La division euclidienne donne 3 litres à chacun mais il reste 2 litres et ce serait dommage de les laisser.

Les sous multiples du litre vont permettre de résoudre le pb. 2 L = 20 dL on posera 20 : 5 on donnera la part de chacun 3L 4dL = 3,4 L. On vérifie que 3,4x5 = 17 On retourne à l’opération

,

La multiplication de deux décimaux

Exemple: 1,5 x 2,3

Exemple: 1,5 x 2,3 1,5 x ,3 x x ,5x2,3 =3,45 :