Proportionnalité Les connaissances que l'enseignant doit maîtriser à son niveau Présentation réalisée à partir de l'ouvrage de Roland Charnay et Michel Mante Mathématiques épreuve orale Hatier concours 2011

● Les types de problèmes travaillés à l'école primaire ● Les procédures de résolution ● Les principales variables didactiques ● Les principales difficultés rencontrées par les élèves

La proportionnalité peut être envisagée dans trois cadres différents : ● Le cadre des grandeurs où sont utilisés des nombres qui expriment des quantités ou des mesures. ● A l'école élémentaire la proportionnalité n'est travaillée que dans ce premier cadre, dans des situations évoquant des quantités d'objets ou des grandeurs ( prix, longueurs, masses, aires...) ● Le cadre numérique où les nombres sont manipulés de manière abstraite en référence uniquement à des propriétés connues relatives aux suites proportionnelles ou à la fonction linéaire. ● Le cadre graphique où des représentations graphiques sont utilisées.

● Situations où la proportionnalité intervient par convention sociale. ● Il s'agit le plus souvent de problèmes de la vie courante ( relation prix, quantité par exemple). Les élèves peuvent ou non connaître la convention retenue. ● Situations où la proportionnalité permet une modélisation d'un phénomène (ex : en physique : allongement d'un ressort, en géométrie : périmètre du cercle / diamètre) ● Situations où la proportionnalité intervient comme outil pour définir de nouveaux concepts (nouvelles notions : pourcentage, échelle, vitesse moyenne, débit,masse volumique...) ● Ces notions sont conceptuellement plus difficiles que celles en jeu dans les catégories précédentes ( hypothèse de proportionnalité rarement vérifiée dans la réalité) ● Les types de problèmes travaillés à l'école primaire

Typologie des problèmes posés 4 grandes catégories ● Les problèmes de quatrième proportionnelle. ● Il s'agit de chercher l'un des nombres manquants dans une relation qui met en jeu deux couples de nombres. ● Les grandeurs A et B peuvent être de même nature ( km, cm)ou de natures différentes ( km, min) ● Les problèmes de comparaison de mélanges ● Dans ce cas, au moins trois quantités interviennent ● ( le tout et au moins deux parties complémentaires) ● On peut être amené à déterminer : une partie par rapport au tout, une partie par rapport à l'autre partie, ou les proportions.

Typologie des problèmes posés 4 grandes catégories (celles-ci concernent plutôt le collège) ● Les problèmes de double proportionnalité ● C'est le cas d'une grandeur proportionnelle à deux autres grandeurs qui peuvent être modifiées de manière indépendante ● Exemples : ● L'aire du rectangle est proportionnelle à la largeur ou la longueur du rectangle (lorsque l'autre variable est fixée) ● Le prix à payer pour un séjour est fonction du nombre de personnes et du nombre de jours. ● Les problèmes de proportionnalité simple composée ● C'est le cas d'une grandeur qui varie proportionnellement à une autre qui varie, elle-même, proportionnellement à une troisième. ● Exemple : ● 6 vaches produisent 4000 litres de lait en 30 jours. Combien de jours faut-il à 18 vaches pour produire litres de lait ?

Les procédures de résolution ( 3 types de procédures peuvent être enseignées aux élèves de l'élémentaire. Exemple : problème des évaluations nationales janvier 2010 Exercice 19 Pour faire une mousse au chocolat, Louis a trouvé une recette qui permet de faire quatre coupes. Il faut : ● 2 œufs ● 100 g de chocolat ● 30 g de sucre Calcule les quantités de chacun des ingrédients (œufs, chocolat, sucre) pour faire 10 coupes

Procédure prenant appui sur la seule propriété multiplicative de la linéarité X 2,5

Procédure en appui sur les propriétés additives et multiplicatives de la linéarité X 2 : 2

Procédure prenant appui sur le passage à l'unité ( règle de trois) : 4 X 10

Procédure prenant appui sur le coefficient de proportionnalité entre les deux grandeurs : 2

● Les relations entre les nombres donnés ● - Le coefficient de proportionnalité entre les grandeurs en jeu ( nombre entier simple ou non, nombre décimal simple ou non, nombre fractionnaire) ● - Les rapports de linéarité entre nombres relevant d'une même grandeur ( nombre entier simple ou non, nombre décimal simple ou non, nombre fractionnaire) ● Le nombre de couples donnés ● Le contexte du problème ( possibilité ou non de s'appuyer sur une simulation et donner lieu ou non à une validation par l'expérience) ● La familiarité des élèves avec la situation évoquée Les principales variables didactiques

Les difficultés et erreurs rencontrées par les élèves ● Difficultés à identifier les grandeurs en relation dans la situation proposée ● Il est préférable que cette tâche soit laissée à l'initiative de l'élève et donc que la situation ne soit pas déjà schématisée dans un tableau. ● Difficultés à reconnaître si la situation relève ou pas du modèle proportionnel ● Toute situation où les données numériques sont fournies dans un tableau n'est pas forcément une situation de proportionnalité. Souvent, l'élève doit faire appel à des connaissances extérieures pour identifier la proportionnalité ( rarement explicite dans l'énoncé). ● Difficultés dans les situations de proportionnalité avec une « augmentation » ou une « diminution » : obstacle additif ● ( ex : situation d'agrandissement de figures) ● L'élève relie l'augmentation à l'addition et non à la multiplication, il relie la diminution à la soustraction et non à la division.

● Difficultés spécifiques pour les problèmes de comparaison de mélanges ● L'élève ne tient pas compte des proportions mais seulement d'une donnée ● Difficultés pour choisir une procédure de résolution parmi toutes celles qui sont possibles ● Il faut que l'élève soit capable de mettre rapidement en évidence les relations qui existent entre les nombres ( capacités de calcul mental) ● L'enseignant doit être attentif aux valeurs données pour favoriser, chez les élèves, le recours à tel ou tel type de procédures. ● Difficultés liées au choix de la mise en œuvre de la procédure ● Comment combiner les nombres dans le cas de l'utilisation des propriétés de linéarité ? ● L'exécution de calculs peut aussi être source de difficulté ( présence de décimaux ou de fractions par exemple)