La résolution de problèmes à l’école élémentaire Diaporama support d’une animation pédagogique : La résolution de problèmes à l’école élémentaire Ce diaporama est disponible à cette adresse : http://dpernoux.chez-alice.fr/problemes.pps Plan de l’animation 1°) Ressources Internet 2°) Les différents types de problèmes 3°) Les problèmes dans les I.O. 2008 4°) Les difficultés rencontrées par les élèves pour résoudre des problèmes et les activités possibles 5°) Des exemples de jeux et de « problèmes pour chercher » (pour développer chez les élèves le goût de la recherche et les capacités à chercher)

1°) Adresses Internet Page de liens concernant les problèmes (dont "problèmes pour chercher", énigmes,... ) (cycle 2 et cycle 3) : http://pernoux.perso.orange.fr/problemes.htm Page de liens vers des énoncés de "problèmes pour chercher" avec réponses ou corrigés (cycle 2 et 3) : http://dpernoux.free.fr/ouverts.htm 40 énoncés de "problèmes pour chercher«  pour le cycle 3 (document word) : http://dpernoux.free.fr/ouvertsc3.doc Compilation de problèmes "pour chercher" en géométrie (cycles 2 et 3) : http://pernoux.perso.orange.fr/probgeom.doc (document word ; environ 2 Mo) ou http://pernoux.perso.orange.fr/probgeom.pdf (document pdf ; environ 700 Ko) Apprendre à résoudre des problèmes à l'école élémentaire (dossier composé de plusieurs documents pdf liés) : http://pernoux.perso.orange.fr/Problemes/problemes.pdf (remarque : possibilité de télécharger un fichier zip contenant l'ensemble des documents) Maîtrise de la langue et mathématiques (page du site d'Annie Camenisch, professeur de français à l'IUFM d'Alsace) : http://a.camenisch.free.fr/pe2/disciplines/maths.htm Observation réfléchie de la langue et mathématiques (site de Jean-Luc Brégeon) : http://perso.wanadoo.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-18.htm Remarque : vous trouverez des liens vers des ressources diverses concernant le cycle 3 (pas uniquement en mathématiques) ici : http://dpernoux.free.fr/DP090000.htm

2°) Les différents types de problèmes a) Qu’est-ce qu’un problème ? Proposition de définition : Un problème est une situation réelle ou imaginaire dans laquelle des questions sont posées (ou dans laquelle on doit effectuer des actions), ces questions (ou ces actions) étant telles qu’on ne peut pas y répondre de façon immédiate (ou telles qu’on ne peut pas immédiatement les effectuer). On peut envisager différents types de classements comme, par exemple : - un classement prenant comme critère le domaine mathématique concerné - un classement prenant comme critère le « support » utilisé (énoncé sous forme orale, énoncé sous forme imagée ou énoncé « habituel » sous forme écrite) - etc.

- un classement prenant comme critère le rôle attribué au problème dans une démarche d’apprentissage donnée qui pourra conduire, par exemple, à distinguer : des problèmes permettant d’introduire une notion nouvelle des problèmes permettant d’utiliser des acquis antérieurs (problèmes d’application, problèmes d’entraînement, problèmes de réinvestissement, problèmes pour évaluer, etc.) des problèmes « pour chercher » (problèmes « ouverts» qu’on trouve dans les différents « rallyes maths », « défi maths », etc. et dont l’objectif est de développer le goût pour la recherche mathématique)

3°) Les problèmes mathématiques dans les IO 2008 (cycle 3) a) Extrait du programme de français du cycle 3 « La lecture continue à faire l’objet d’un apprentissage systématique : …/… compréhension de textes scolaires (énoncés de problèmes, consignes, leçons et exercices des manuels) …/… » b) Extraits du programme de mathématiques du cycle 3 « Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, l’élève enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, et continue d’apprendre à résoudre des problèmes. » (paragraphe d’introduction du programme) « La résolution de problèmes liés à la vie courante permet d’approfondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement. » (paragraphe « Nombres et calcul »).

« Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations géométriques diverses mobilisent la connaissance des figures usuelles. » (paragraphe « Géométrie ») «La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure et, à leur donner sens. » (paragraphe « Grandeurs et mesures ») « Les capacités d’organisation et de gestion des données se développent par la résolution de problèmes de la vie courante ou tirés d’autres enseignements. » (paragraphe « Organisation et gestion de données ») c) Extraits des compétences à acquérir en fin de cycle 3 « Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, “règle de trois”, figures géométriques, schémas. »

d) Extraits des progressions en français pour le cycle 3 CE2 : « Lire les consignes de travail, les énoncés de problèmes dont le vocabulaire difficile ou nouveau a été élucidé par le maître. » CM1 : « Lire sans aide les consignes du travail scolaire, les énoncés de problèmes. » e) Extraits des progressions en mathématiques pour le cycle 3 - Paragraphe d’introduction de ces progression « La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. »

- Paragraphe « Nombres et calcul » CE2 : « Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations. » CM1 : « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. » CM2 : « Résoudre des problèmes de plus en plus complexes. » - Paragraphe « Géométrie » CE2, CM1 et CM2 : « Problèmes de reproduction, de construction » (avec des précisions pour chacun des niveaux ) - Paragraphe « Grandeurs et mesures » CE2 : « Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs …/… » CM1 : « Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. » CM2 : « Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions » « Résoudre des problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure »

- Paragraphe « Organisation et gestion de données » CE2 : « Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution » CM1 : « Utiliser un tableau ou la “règle de trois” dans des situations très simples de proportionnalité. » CM2 : « Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d’unité, en utilisant des procédures variées (dont la “règle de trois”). »

4°) Les difficultés rencontrées par les élèves pour résoudre des problèmes et les activités possibles a) Différents types de difficultés : - Difficultés de lecture - Difficultés concernant « le choix de la bonne opération » - Difficultés concernant « le traitement des informations » pour des « problèmes à plusieurs opérations » b) A propos des difficultés de lecture : - On peut faire de temps, de temps en temps, « une vraie séance de lecture » à partir d’un énoncé de problème qu’on résout ensuite - De façon plus générale, on peut, pour chaque problème faire un « petit travail » en amont sur les difficultés que l’enseignant aura repérées a priori dans l’énoncé - On peut envisager un travail plus ponctuel sur un point particulier (travail concernant la partie informative et la partie injonctive d’un énoncé, l’utilisation des phrases interrogatives dans les énoncés de problèmes, l’utilisation des pronoms, etc.)

Autres activités possibles :

Pour des propositions supplémentaires concernant le travail sur la maîtrise de la langue en mathématiques, voir http://a.camenisch.free.fr/pe2/disciplines/maths.htm (site d'Annie Camenisch) et http://perso.orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-18.htm (site de Jean-Luc Brégeon)

Comment aider les élèves à trouver la bonne opération ? c) A propos des difficultés concernant « le choix de la bonne opération » (étude d’un exemple pas aussi simple qu’on pourrait le croire a priori) Comment aider les élèves à trouver la bonne opération ? Exemples de tels schémas : http://pernoux.pagesperso-orange.fr/Problemes/doc5.pdf Pour des compléments concernant la schématisation, voir http://pagesperso-orange.fr/pernoux/schemas.pdf et http://pagesperso-orange.fr/pernoux/classprob.pdf

Remarques concernant le paragraphe c : Pour travailler sur « le choix de la bonne opération » , l’enseignant doit proposer des des problèmes « à une opération » de différents types « judicieusement choisis » (ce qui suppose que l’enseignant ait des connaissances précises sur les différents types de problèmes et les classifications existantes). Voici, à titre d’exemple, une proposition de classification concernant « les problèmes additifs » : http://pernoux.pagesperso-orange.fr/Problemes/doc4.pdf

d) A propos des difficultés concernant «le traitement des informations » pour des « problèmes à plusieurs opérations » - On peut travailler sur la méthodologie : Voir, par exemple : http://pernoux.pagesperso-orange.fr/Problemes/doc7.pdf - On peut travailler sur les organigrammes permettant de déboucher sur des « arbres à calcul » Exemple : http://pernoux.pagesperso-orange.fr/org_inc.pdf - On peut faire des activités diverses autour des énoncés de problèmes (dont on espère qu’elles auront un effet sur les capacités des élèves à lire un énoncé de problème et à essayer de le résoudre mais se pose le problème du transfert : il semble donc préférable de mener ces activités sur des énoncés de problème que l’on a effectivement à résoudre) Voir, par exemple : http://pernoux.pagesperso-orange.fr/Problemes/doc9.pdf On peut proposer des « problèmes de logique » Exemple : http://pernoux.pagesperso-orange.fr/pb_logique.pdf Voir le fichier « 83 problèmes de logique » proposé par les Editions ACESS : http://www.acces-editions.com/oeuvre.php?code=83PL)

- On peut faire résoudre des énigmes policières. Voir, par exemple : http://ecole.toussaint.free.fr/lafouine/lafouine.htm et http://www.ienacy2.edres74.ac-grenoble.fr/IMG/lafouine.pdf Remarque : Les enquêtes de l'inspecteur Lafouine ont été créées par C. Souchard. Trois ouvrages de C. Souchard concernant le cycle 3 sont en vente sur le site des Éditions Buissonnières (aller à cette adresse : http://www.editions-buissonnieres.fr ; taper "lafouine" dans le moteur de recherche du site).

5°) Des exemples de jeux et de « problèmes pour chercher » (pour développer chez les élèves le goût de la recherche et les capacités à chercher) a) Activité « atteindre un nombre » On part de 5. On peut soit ajouter 9 soit enlever 6 et ceci autant de fois qu’on veut. - Essayer d’atteindre 17. Exemple de solution : 5 + 9 + 9 – 6 = 17 - Essayer d’atteindre 18. Le problème n’a pas de solution.

Complément : Recherche des nombres qu’on peut atteindre 35 32 + 9 - 6 - 6 + 9 26 29 23 + 9 + 9 + 9 - 6 - 6 - 6 20 14 17 23 + 9 + 9 - 6 + 9 - 6 - 6 + 9 5 8 11 14 - 6 + 9 - 6 + 9 2 5 On peut atteindre les nombres : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, etc.

b) Jeu à deux « atteindre 15 » Le but du jeu est de fabriquer le premier le nombre 15 en ajoutant TROIS nombres compris entre 1 et 9. On dispose de neuf jetons sur lesquels sont inscrits les nombres entiers de 1 à 9. On tire au sort le joueur qui commence le premier. Chaque joueur choisit un jeton à tour de rôle parmi les jetons qui n’ont pas encore été choisis. Première version du jeu : chaque joueur ne tire pas plus de trois jetons (si un des joueurs voit qu’il obtient 15 en tirant son troisième jeton, il a gagné. Sinon, c’est match nul). 4 5 6 7 8 9 1 2 3 Joueur 1 Joueur 2 2 9 8 3 4 Le joueur 1 a gagné.

Deuxième version du jeu : On joue comme dans la première version mais si aucun joueur n’obtient 15 en tirant son troisième jeton, les joueurs continuent de choisir un jeton l'un après l'autre. Mais la règle ne change pas : il faut toujours obtenir 15 avec TROIS jetons. Dès qu'un joueur voit qu’il peut réaliser la somme 15 avec TROIS jetons PARMI les jetons qu'il a en sa possession, il a gagné. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Joueur 1 Joueur 2 8 8 3 1 1 6 6 2 4 7 Le joueur 1 a gagné. Remarques : si un joueur ne voit pas qu’il a obtenu 15, le jeu continue. si aucun joueur n’arrive à obtenir 15, il y a match nul.

Complément concernant le jeu « Atteindre 15 » : Quel nombre a intérêt à choisir le joueur qui commence ? - Recherche de toutes les décompositions additives de 15 utilisant trois nombres inférieurs à 10 15 = 1 + 5 + 9 15 = 2 + 4 + 9 15 = 3 + 4 + 8 15 = 4 + 5 + 6 15 = 1 + 6 + 8 15 = 2 + 5 + 8 15 = 3 + 5 + 7 15 = 2 + 6 + 7 - Recherche du nombre de fois où apparaît chacun des nombres de 1 à 9 dans les décompositions précédentes : Nombre Nombre d'apparitions 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 2 3 4 3 2 3 2 - Remarque : réalisation d'un carré magique avec les entiers de 1 à 9 (les sommes des nombres de chaque ligne de chaque colonne et de chaque diagonale doit valoir 15) 5 2 9 4 Le 5 qui est apparaît 4 fois dans les décompositions de 15 doit être au centre. Dans chaque coin, il doit y avoir un nombre qui apparaît 3 fois dans les décompositions de 15. Exemple : 7 3 6 1 8

c) Compléments concernant les « problèmes pour chercher » - Voir la liste de ressources Internet figurant dans le premier paragraphe de cette présentation Powerpoint Voir en particulier : http://dpernoux.free.fr/ouvertsc3.doc (40 énoncés pour le cycle 3) http://dpernoux.free.fr/ouverts.htm (énoncés avec réponses et/ou corrigés pour le cycle 2 et le cycle 3) http://pernoux.perso.orange.fr/probgeom.doc (« problèmes pur chercher » en géométrie pour le cycle 2 et le cycle 3) - L'APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Publique) a publié un fichier intitulé "Evariste Ecole" . Ce fichier recense 60 problèmes niveau Cycle 2, 120 problèmes niveau Cycle 3, tirés de différents tournois et rallyes mathématiques présentés sous forme de fiches. Sont également proposés au verso des fiches la réponse, des "coups de pouce", des pistes d'exploitation et/ou des prolongements possibles. Adresse pour commander le fichier : http://www.apmep.asso.fr/spip.php?article1162

c) Exemples de problèmes pour chercher (résoudre le problème puis prévoir une aide pour les élèves) Cycle 2 Problème 1 On veut fabriquer 66 € en utilisant des billets de 10 €, des billets de 5€ et des pièces de 1 €. Quelle est la solution qui utilise le moins de pièces et billets ? Aide : « Commencer en utilisant le plus possible de gros billets » 10 10 10 5 1 10 10 10 Problème 2 (on peut utiliser deux fois le même chiffre) Aide : cherche d’abord tous les nombres possibles commençant par 1 puis… 11 12 13 21 22 23 31 32 33

Problème 3 Aide : on peut y arriver en faisant tourner deux dominos.

Problème 4 Problème 5 Il y a plusieurs solutions 3 9 2 8 1 6 4

Problème 6 Aide : colorie toutes les case où il y a un nombre plus grand que 59 Problème 7 Aide : le chiffre 4 peut-être le chiffre des unités ou le chiffres des dizaines ou les deux en même temps. 4 14 24 34 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 On a utilisé 15 fois le chiffre 4.

Il y a plusieurs solutions Problème 8 4 1 2 3 5 Aide : la somme de la ligne et la somme de la colonne valent 10. Il y a plusieurs solutions Problème 9 Aide : le premier chiffre peut valoir 1 ou 2 ou 3 ou… 16 25 34 43 52 61 70

Problème 10 Combien de mots différents suffisent à un écolier français pour écrire les cent premiers nombres ? Aide : Vérifie qu’il y a 23 mots. Un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix onze douze treize quatorze quinze seize vingt et trente quarante cinquante soixante cent 23 mots

Problème 1 Cycle 3

Solution 1 kg 2 kg 1 kg 3 kg 2 kg 3 kg 1 4 kg 5 kg 4 kg 5 kg Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance : 1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau de droite et 7 kg sur le plateau de gauche. La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg. On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Nombre de pattes de poule Nombre de pattes de lapins Nombre de pattes Problème 2 Nombre de poules Nombre de lapins Nombre de pattes de poule Nombre de pattes de lapins Nombre de pattes 18 18 36 72 108 19 17 38 68 106 20 16 40 64 104 21 15 42 60 102

Dans l’armoire C, il y a 30 : 5 balais soit 6 balais. Problème 3 Armoire A : Armoire B : Armoire C : 6 36 en tout Dans l’armoire C, il y a 30 : 5 balais soit 6 balais. Dans l’armoire B, il y a 12 balais. Dans l’armoire A, il y a 18 balais.

Problème 5 Petites voitures Voitures moyennes Grosses voitures Total Françaises Etrangères 3 3 6 2 4 6 5 3 4

Problème 5 Aide : la réponse se situe entre VINGT et TRENTE VINGT-HUIT Problème 6 Chameaux Chattes Chatons Nombre d’animaux Nombre de pattes 3 3 × 3 × 3 = 27 27 × 3 = 81 4 × 3 = 12 4 × 27 = 108 4 × 81 = 324 Total : 444 pattes

Problème 7 Sophie Pierre Eve Jane John Tony

Problème 8 Eau et aquarium : 108 kg 57 kg Masse d’eau bue par le dragon : 108 kg - 57 kg = 51 kg Masse d’eau au départ : 2 × 51 kg = 102 kg L’aquarium vide pèse donc 108 kg - 102 kg soit 6 kg.

Problème 9 8 6 9 1 2 3 4 7 5

On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières : Problème 10 Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures indiquées par les deux horloges a atteint …. Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a augmenté ensuite de … minutes toutes les heures Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières : La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais 17h 36min – 1h 36min soit 16h. ou La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas 15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h. 2 heures soit 120 minutes. 5 (car une des horloges avance de quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les heures). 120 : 5 heures soit 24 heures. D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr