La moyenne : des formules en pagaille ou un choix raisonné ? Chr. Vandeschrick Midis de la Recherche – 14 mai 2013

Avertissement Méthode exposée / suivie / adaptée ici parfois explicitée par ailleurs (les « Italiens », Antoine, internet…) mais de manière peu « conviviale » sans en tirer toutes les conséquences sur les plans théorique : concepts, définitions… pratique : comment utiliser la méthode face à des données bref, l’hésitant(e) peut continuer dans ses doutes !

Moyenne et pédagogie : constats (1) Énumération accumulative de formules succession de formules (mais parfois uniquement la formule arithmétique !) sans logique apparente (ou si peu) peu de systématisation (parfois après l’arithmétique ; cf. Justens ou Grais)

Moyenne et pédagogie : constats (2) Énumération accumulative de formules Règles d’utilisation : un musée des horreurs ! Confusion entre mode de calcul et définition !

Objectif de l’exposé Proposer une méthode pour DÉTERMINER la formule du calcul de la moyenne dans n’importe quel cas concret faisant sens par rapport aux observations sans recours à des maths de haut vol Grâce à cette méthode : la logique entre les différentes formules choix aisé de la bonne formule définition et mode de calcul bien distingués bref, l’hésitant n’a plus à… hésiter + commentaires sur les unités de mesure équation aux dimensions ou analyse dimensionnelles 5

Méthode : principes généraux Tout repose sur une définition unique de la moyenne Par application de cette définition à différents cas concrets les différentes formules vont apparaitre « naturellement » Remarque : la formule recherchée doit être fonction des valeurs observées (xi ou xp) du nombre d’observations (n) même s’il existe un raccourci pour le calcul effectif 6

Apprivoisons les données et les concepts Cas 1 Cas 2 Généralités sur le phénomène en jeu taux de change (€  $) 3 opérations de change descendance à 50 ans pour les femmes d’une localité Données 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. La moyenne recherchée Taux de change moyen pour les 1.500 € échangés Descendance moyenne parmi les 29 femmes

Méthode : deux cas en parallèle 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $ 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $ 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts Action de la variable sur les unités sous observation En agissant sur un €, le taux de change produit des $ En agissant sur une femme, la descendance produit des efts En agissant sur les 500 €, le taux de change produit 750 $ En agissant sur 9 femmes, la descendance produit 18 efts En agissant sur les « i », la variable produit son effet Appliquée aux « i »,

Méthode : deux cas en parallèle 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $ 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $ 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts Éléments en jeu En agissant sur un €, le taux de change produit des $ En agissant sur une femme, la descendance produit des efts Variable = taux de change Variable = descendance Les « i » = les € changés Les « i » = les femmes Effet de la var. sur les « i » = $ Effet de la var. sur les « i » = efts

Méthode : deux cas en parallèle 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $ 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $ 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts Unités de mesure des éléments en jeu En agissant sur un €, le taux de change produit des $ En agissant sur une femme, la descendance produit des enfants Dans les 2 cas, l’action se traduit par une multiplication nombres : 500 * 1,5 = 750 nbre & UM : 500 € * 1,5 $/€ = 750 $ UM : € * $/€ = $ 9 * 2 = 18 9 f * 2 e/f = 18 e f * e/f = e Systèmes d’unités « physiques » cohérents qui assurent la validité des écritures

Méthode : deux cas en parallèle 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $ 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $ 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts Retour à la lecture des données En agissant sur un €, le taux de change produit des $ En agissant sur une femme, la descendance produit des enfants 500 € sont observés à raison de 1,5 $/€ pour 500 « i », la variable vaut 1,5 $/€ 9 f sont observées à raison de 2 e/f pour 9 « i », la variable vaut 2 e/f

Méthode : deux cas en parallèle 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $ 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $ 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts Effet partiel de la variable par ligne 500 € * 1,5 $/€ = 750 $ n1 * x1 = 750 $ (effet partiel 1) n2 * x2 = 350 $ (effet partiel 2) n3 * x3 = 975 $ (effet partiel 3) 6 f * 0 e/f = 0 e n1 * x1 = 0 e (effet partiel 1) n2 * x2 = 14 e (effet partiel 2) n3 * x3 = 18 e (effet partiel 3)

Méthode : deux cas en parallèle 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $ 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $ 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts « Effet global » de la variable sur la population sous observation n1 * x1 = 750 $ n2 * x2 = 350 $ n3 * x3 = 975 $ n1 * x1 = 0 e n2 * x2 = 14 e n3 * x3 = 18 e

Définition de la moyenne. Enfin ! la valeur de la variable qui, affectant l’ensemble des « i », conserve l’effet global (de la variable sur l’ensemble des « i »). Unités de mesure de la moyenne = unités de la variable Appliquons la définition aux 2 cas

Méthode : deux cas en parallèle 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $ 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $ 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts Application de la définition REMPLACER  dans la formule de l’effet global (EG),  les valeurs observées (xp) par la moyenne  tout en conservant la valeur de EG Soit la formule ARITHMÉTIQUE dite « pondérée » par les effectifs

Méthode : deux cas en parallèle 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $ 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $ 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts Application de la formule Moyenne = répartition équitable de l’effet global (2.075 $ ou 32 enfants) entre les individus sous observation (1.500 € ou 29 femmes) Calculer une moyenne = voir ce que donnerait la FICTION mathématique de la répartition équitable de l’EG entre les « i » : à chaque « i », la même chose ! $/€ e/f

Méthode : résumé D’abord identifier : la variable (caractéristique dont on cherche la moyenne) les unités physiques de la variable (ou unités de mesure) les « i » l’effet partiel par application de la variable aux « i » l’effet global par combinaison des effets partiels Remplacer les xp par la moyenne dans la formule de l’EG Résoudre l’équation pour isoler la moyenne Résultat : une formule adaptée aux circonstances

Méthode : deux autres cas en parallèle Question posée aux enfants d’un village : « Combien d’enfants a ta maman ? » 10 ont répondu : « M’man a 2 enfants » 21 ont répondu : « M’man a 3 enfants » 12 ont répondu : « M’man a 4 enfants » Rem.:  à tous les enfants du village !  pas de problème de collecte !  ne pas transformer les données ! La population d’une localité est passée de1.000 à 1.386 en 3 ans CM1 = 1,10 (année 1 : 1.000 → 1.100) CM2 = 1,20 (année 2 : 1.100 → 1.320) CM3 = 1,05 (année 3 : 1.320 → 1.386) Rem. : 1.386 = 1.000 * CM1 * CM2 * CM3 Moyenne recherchée Descendance moyenne des mères ? (mère : femme ayant au moins 1 enfant) Coefficient multiplicateur moyen?

Méthode : deux autres cas en parallèle 10 ont répondu : « M’man a 2 enfants » 21 ont répondu : « M’man a 3 enfants » 12 ont répondu : « M’man a 4 enfants » CM1 = 1,10 CM2 = 1,20 CM3 = 1,05 Identifications préliminaires Variable : descendance coefficient multiplicateur UM var. : enfants/femme (nombre pur)1/temps (On y reviendra) « i » : 43 enfants 3 années Effet part. : appliquée aux enfants, la var. produit des femmes ou MAIS gardons la 1re expression appliquée aux années, la var. produit une D de population

Méthode : deux autres cas en parallèle 10 ont répondu : « M’man a 2 enfants » 21 ont répondu : « M’man a 3 enfants » 12 ont répondu : « M’man a 4 enfants » CM1 = 1,10 CM2 = 1,20 CM3 = 1,05 Identifications préliminaires Effet glob. : Calcul de la moyenne Formule harmonique dite « pondérée » Formule géométrique dite « simple »

Formule géométrique : commentaires Unité de mesure ou physique du CM ? Conclusion (en ayant choisi la formule la plus pratique pour le propos)

Formule géométrique : commentaires Unité physique du CM : autre voie 1.386 et 1.000 sont exprimés en habitants 3, en années la parenthèse doit être un nombre pur qui multiplie un nombre d’hab. pour donner un nombre d’hab. solution : x doit être un nombre pur exposant l’inverse du temps Système d’unités « physiques » cohérent  validité du calcul

Formule géométrique : commentaires Unité physique du CM Le coefficient multiplicateur s’exprime : en « nombre pur exposant l’inverse du temps » (nbre pur inverse du temps) et pas en « nombre pur » ! Le piège Si n = 1, Racine unième est sans effet numérique sur le résultats et donc ignorée dans la phase calcul, MAIS pourtant bien présente Du danger de ne pas prendre la formule générale… Temps : indispensable pour que CM soit actif ! Il doit donc apparaitre dans les calculs

Méthode : des exemples en vrac Taux de croissance en démographie (si t années) Calcul du taux Effet global Moyenne 1. Hypothèse exponentielle

Méthode : des exemples en vrac 1. Hypothèse exponentielle (si t années) Unités de mesure La taux de croissance s’exprime en « inverse du temps » (1/temps) Doute ? la parenthèse doit être un nombre pur « t » s’exprime en temps le taux doit s’exprimer en inverse du temps ! Et pas en % !

Méthode : des exemples en vrac Taux de croissance en démographie (si t années) Calcul du taux Effet global Moyenne 1. Hypothèse exponentielle 2. Hypothèse géométrique Conclusion : ce n’est pas une formule géométrique au sens strict, même si… unités de mesure : 1 + ri = CMi ou EG = nombre pur donc nombre pur exposant l’inverse du temps

Méthode : des exemples en vrac Taux de croissance en démographie (si t années) Calcul du taux Effet global Moyenne 3. Hypothèse linéaire, la plus amusante Conclusion : formule sans nom, mais ça sent un peu la géométrique Bien plus sympa pour le calcul, mais les ri « invisibles » !

Méthode : des exemples en vrac Taux de croissance en démographie (si t années) Calcul du taux Moyenne 3. Hypothèse linéaire, la plus amusante Et pour les unités de mesure ? Une idée ? Pop0 & Pop1 , en habitants … qui se suppriment mutuellement haut et bas Reste l’unité de mesure de « 1 », soit année … qui est au dénominateur Et donc UM = l’inverse du temps ! [ ] forcément en nbre pur « 2 » en 1/temps, ce qui est démontrable Conclusion : UM taux linéaire = inverse du temps

Méthode : le quotient de mortalité Quotients non unitaires entre 2 âges révolus successifs Formules Remarques Unités de mesure de qx : en décès par individu : qx = dx / Sx en nombre pur (%) : probabilité en exposant l’inverse du temps Fonction du 2e degré dont une racine = la moyenne Pour rappel : « a » est fonction des qx Je ne connais pas le nom de cette formule de calcul de la moyenne ! « a » calculable

Méthode : le quotient de mortalité Une autre formule Éventuellement plus « simple » Formule 1 Formule 2 Remarques : équivalence des deux formules : démontrable formule 2 ≠ formule géométrique UM : aisé de démontrer que : px : est un coefficient multiplicateur px s’exprime donc en nombre pur exposant l’inverse du temps comme px + qx = 1  mêmes unités de mesure pour px & qx !

Toutes pondérées ou alors… aucune ! Données : 5 femmes de 50 ans et + ont été interrogées à propos du nombre d’enfants qu’elles ont eu : 3, 6, 0, 1 et 2 Il s’agit d’une formule arithmétique dite « NON PONDÉRÉE » ! Qu’en penser ? La moyenne = le total des enfants divisé par le nombre les femmes elle s’exprime en enfant(s) par femme (e/f) les xi sont aussi des e/f, ainsi que leur somme dès lors : , ce qui n’est pas logique ! ça coince au niveau des unités de mesure : système pas cohérent pas de doute pour le dénominateur : femmes donc numérateur pas bon !

Toutes pondérées ou alors… aucune ! Données : 5 femmes de 50 ans et + ont été interrogées à propos du nombre d’enfants qu’elles ont eu : 3, 6, 0, 1 et 2 En fait, chaque xi est d’application pour une femme doit être multiplié par un poids de 1 dont l’unité de mesure = femme dès lors : ce qui un système logique au niveau des unités physiques écriture satisfaisante selon ce critère, tout comme pour la formule pondérée

Toutes pondérées ou alors… aucune ! Données : 5 femmes de 50 ans et + ont été interrogées à propos du nombre d’enfants qu’elles ont eu : 3, 6, 0, 1 et 2 Conclusions : toutes les formules sont pondérées poids = le nombre de « i » auxquels s’applique une valeur de la variable formule « non pondérée » = formule dont tous les poids = 1… c’est donc aussi une formule… pondérée dont les poids unitaires sont inopérants numériquement mais très efficaces pour la cohérence du système d’unités de mesure

Vous n’aimez que la formule arithmétique… Toujours possible d’y revenir Ex. 1 : taux de change $/€ connu pour des $ échangés logiquement, formule harmonique : mais si inversion du taux de change : $/€  €/$ formule arithmétique : ne pas oublier d’inverser le résultat double transformation que… la formule harmonique fait d’un seul coup ! Ex. 2 : le CM et la formule géométrique en passant par les logarithmes, formule arithmétique ne pas oublier de retransformer le résultat quelque part, la formule géométrique fait tout d’un coup !

Vous n’aimez que la formule arithmétique… Toujours possible d’y revenir Mathématiquement, je crois que cela se dit (http://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne) : Si nous notons « * » la loi de composition qui donne le total pour deux individus, alors la valeur moyenne de n individus est la valeur, la même pour tous, qu'ils devraient avoir pour que leur total suivant la loi « * » reste inchangé ; c'est donc la solution de l'équation : Cette équation peut être résolue s'il existe un isomorphisme (que nous noterons «  » ) ramenant la loi « * » à l'addition. Exemples : Si (x) = ln(x)  moyenne géométrique Si (x) = xm et m =  1  moyenne harmonique

Méthode : exemples de règles « fantaisistes » Dans la littérature, des règles. Mais que valent-elles vraiment ? PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58 La règle : quand le  étudié varie comme la variable  arithmétique quand le  varie comme l’inverse de la variable  harmonique Exemple 1 : aller : 60 km/h ; retour : 30 km/h. Vitesse moyenne ? Commentaires :  étudié = vitesse dont on cherche la moyenne variable : selon PY, le temps ! Pourquoi ? distance est constante : aller et retour même distance temps est variable : vitesse ≠ sur une même distance étonnant que la variable ne soit pas la vitesse…  f. harm. car variable au dénominateur de km/h qui aurait aussi été la formule selon la méthode ! Ex. 1 PY  étudié Vitesse Variable Temps Formule Harmonique Calcul Commentaire RAS

Méthode : exemples de règles « fantaisistes » PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58 La règle : Quand le  étudié varie comme la variable  arithmétique Quand le  varie comme l’inverse de la variable  harmonique Exemple 2 : 1 heure à du 60 km/h et une autre à du 30 km/h. Vitesse moyenne ? Commentaire : variable = distance car ici une heure à chaque fois  donc temps invariable dans les 2 étapes, mais distance varie ! Commentaire :  selon la méthode proposée, même choix  tout va bien alors ? Autres exemples non traités par PY Ex. 1 PY EX. 2 PY  étudié Vitesse Variable Temps Distance Formule Harmonique Arithmétique Calcul Commentaire RAS

Méthode : exemples de règles « fantaisistes » PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58 La règle : Quand le  étudié varie comme la variable  arithmétique Quand le  varie comme l’inverse de la variable  harmonique Exemple 3 : 80 km/h sur 40 km et 24 km/h. sur 12 km. Vitesse moyenne ? Solution immédiate : 52 km en 1 heure  52 km/h. Selon Py : distance variable lors des 2 étapes  arithmétique, mais 67,08 ≠ 52 Selon la méthode : harmonique, qui donne d’ailleurs 52 km/h Ex. 1 PY EX. 2 PY Ex. 3  étudié Vitesse Variable Temps Distance Formule Harmonique Arithmétique Calcul Commentaire RAS Bon calcul :

Méthode : exemples de règles « fantaisistes » PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58 La règle : Quand le  étudié varie comme la variable  arithmétique Quand le  varie comme l’inverse de la variable  harmonique Exemple 4 : 1 h. 30 à du 70 km/h et 2 heures à du 100 km/h. Vitesse moyenne ? Selon Py : distance et temps variables lors des 2 étapes  ????  règle de PY carrément inopérante ! Selon la méthode : arithmétique Ex. 1 PY EX. 2 PY Ex. 3 Ex. 4  étudié Vitesse Variable Temps Distance Distance et temps Formule Harmonique Arithmétique Règle inopérante ! Calcul Commentaire RAS Bon calcul :

Méthode : exemples de règles « fantaisistes » Dans la littérature, des règles. Mais que valent-elles vraiment ? PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58 Confusion entre variable sous observation dont on cherche la moyenne unités sous observation pour lesquelles on connait la variable Règle non fonctionnelle !

Méthode : exemples de règles « fantaisistes » Dans la littérature, des règles. Mais que valent-elles vraiment ? ANTOINE C. (1998), La moyenne. Que sais-je, PUF, p. 109. « Toute vitesse moyenne est moyenne harmonique des vitesses ». Oui, si vitesse connue pour distance Non, si vitesse connue pour des temps de parcours Solution pour justifier la règle : si nécessaire, inversion de la vitesse pour arriver à l’harmonique ce qui serait applicable pour tous les cas… « arithmétiques » Bye-bye l’arithmétique » ! Par ailleurs : règle d’ANTOINE infirmée par exemple traité pour la règle de PY

Méthode : exemples de règles « fantaisistes » Dans la littérature, des règles. Mais que valent-elles vraiment ? SPIEGEL W. (1984), Théorie et applications de la statistique. 14e éd., Série Schaum, McGraw-Hill, p. 60, ex. 34. « Si rapports : géométrique + appropriée que l’arithmétique » Argument : avec arithmétique, les résultats ne s’inversent pas. avec géométrique, si ! MAIS : moyenne obtenue ne fait pas sens par rapport aux données initiales bien utilisées, arithmétiques & harmoniques donnent des résultats inverses faisant sens avec les données initiales l’argument de SPIEGEL pour privilégier la géométrique tombe…

Conclusions générales Une seule définition, mais de nombreuses formules et donc : incorrect de parler de la moyenne arithmétique, harmonique… correct de parler du concept de moyenne (unique) des formules arithmétique, harmonique… de la moyenne Définition ≠ formule : définition : l’objectif du paramètre formule : recette pour atteindre l’objectif vu les ingrédients Identification de la formule appropriée via une méthode : un peu de réflexion sur les données méfiance par rapport aux « règles », par ailleurs inutiles ! Toutes les formules sont pondérées : si poids égaux et unitaires, formule « non pondérée », si cela amuse… si poids inégaux, ils doivent apparaitre dans la formule

Méthode : le quotient de mortalité Formules approchées Si formule arithmétique Si formule géométrique ce qui revient à négliger qx*qx+1 acceptable tant que les q sont « petits » ce qui revient à supposer que : ce qui est peu acceptable

Méthode : le quotient de mortalité Si formule arithmétique Si formule géométrique On néglige qx*qx+1 ok si : Conclusions : arithmétique toujours plus proche de la moyenne sauf si les quotients sont égaux ce qui n’est pas surprenant plus un(les) quotient(s) est(sont) élevé(s), moins la différence est grande tout en restant en général bien visible Valeurs des quotients Q moyen Différence relative qx qx+1 Fonction Arithm. Géomét. 0,000001 0,000% 0,00001 0,000006 0,000003 42,504% 0,0001 0,000051 0,000010 0,002% 80,199% 0,001 0,000501 0,000032 0,025% 93,683% 0,01 0,005013 0,005001 0,000100 0,251% 98,005% 0,1 0,051317 0,050001 0,000316 2,566% 99,384% 1 1,000000 0,9 0,950000 0,948683 5,000% 5,132%

Méthode : le quotient de mortalité Si formule arithmétique Si formule géométrique On néglige qx*qx+1 ok si : Conclusions : produit toujours plus faible que la somme… évidemment somme vaut presque toujours plus que deux fois le produit, même bien plus sauf si les 2 quotients = 1… plus proche de 2 avec des quotients fort élevés plus les quotients sont élevés, moins la différence est grande qx qx+1 Somme Produit Som./Prod. 0,000001 0,000002 1E-12 2.000.000 0,00001 0,000011 1E-11 1.100.000 0,0001 0,000101 1E-10 1.010.000 0,001 0,001001 1E-09 1.001.000 0,01 0,010001 0,00000001 1.000.100 0,1 0,100001 0,0000001 1.000.010 1 2 0,9 1,9 2,111