Apprentissage des mathématiques Cycle 3 Difficultés des élèves Apprendre à partir de problèmes Pistes de travail Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

À propos des programmes Deux points importants pour penser leur mise en œuvre Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Sur les enjeux La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (Académie des Sciences, janvier 2007) Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Sur la résolution de problèmes La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (Socle commun, 2006) La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (Programmes, 2008) Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Quelques préalables… Sur l’évaluation et ses limites Sur la maîtrise d’un concept Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Evaluation d’une compétence… ou d’un exercice ? A C B 28 % Tracer la bissectrice de BAC x O Y 70 % Tracer la bissectrice de XOY Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Contexte de la situation support à l’évaluation Je déplace un pion sur une piste graduée. En partant de 0, je fais des bonds tous pareils de 8 cases chacun. J’avance de 36 bonds. Sur quelle case vais-je arriver ? J’ai collé 8 images sur chaque page d’un album qui a 36 pages. Combien d’images ai-je collées ? Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Qu'évalue-t-on dans une tâche complexe ? Sur ce dessin à main levée, on a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui passe par D. Ce cercle coupe le segment [AB] au point E. Trouve la longueur du segment [EB] …………………………………….. Explique ta réponse : ….…………………………………………………… Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Annoncé par la DEP Organiser une démarche Résoudre un problème à étapes Egalement en jeu Lire et comprendre le texte, en relation avec le schéma Comprendre un schéma à main levée Savoir qu'une longueur peut se mesurer… mais aussi se calculer Savoir qu'un cercle a un rayon constant Savoir que les côtés opposés d’un rectangle ont même longueur Elaborer la démarche Expliquer la démarche… Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

D’où l’importance du travail d’analyse de la tâche Suite des actions nécessaires pour répondre Procédures possibles pour répondre (souvent diverses) Connaissances requises pour les mener à bien Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Maîtrise d’un concept : différents aspects Problèmes qu'il permet de résoudre Résultats, procédures et techniques - à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer Langage - analogique - verbal - symbolique Propriétés - utilisées implicitement - explicitées Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Analyse des difficultés Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Evaluation 6e - 2005 10 objets identiques coûtent 22 €. Combien coûtent 15 de ces objets ? Procédure et réponse correctes : 35 % Procédure correcte : 30,5 % Calcul 22 x 15 : 11 % Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Analyse de la tâche 10 objets identiques coûtent 22 €. Combien coûtent 15 de ces objets ? Lire, comprendre, interpréter Imaginer une stratégie possible parmi plusieurs (raisonnement) Gérer la stratégie Interpréter le résultat Communiquer la réponse Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Quelques erreurs 10 objets identiques coûtent 22 €. Combien coûtent 15 de ces objets ? ? Calcul multiplicatif : 22 x 10 ou 22 x 15 Référence à un problème connu sans essayer de comprendre la situation Texte interprété comme "10 objets coûtent 22 € chacun" (légitime !) Calcul additif Réponse : 27 (5 de plus), obstacle classique Calcul avec toutes les données numériques Stratégie qui "marche souvent" Autres Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Evaluation 6e - 2003 Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 % Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Procédures possibles Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Division par 6 Division (CE2/CM1) Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (CE2) Addition de 6 en 6 Addition (CP/CE1) Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP) Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Une question Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème… ne pensent-ils pas… n’osent-ils pas… ne se croient-ils pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question ? Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Commentaire sur PISA 2003 Lorsqu’il est demandé aux élèves une prise d’initiative (essais à faire), la réussite française est relativement faible. La pratique de l’expérimentation en mathématiques (faire des essais, critiquer, recommencer…) est peu développée… Note de la DEP n° 04.12 Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Évaluation PISA – (Élèves de 15 ans) Estimez l’aire de l’Antarctique en utilisant l’échelle de la carte. Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Julie (évaluation 6e) Julie a acheté pour un goûter : deux tablettes de chocolat à 8 F. chacune quatre bouteilles de limonade à 6 F. chacune un sac de brioches. Elle a payé 56 F. Quel est le prix du sac de brioches ? 8 F x 6 F = 54 F Le prix du sac de brioches est 2 F. Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Schéma d’analyse sommaire Connaissances et compétences en lecture (ordre des informations, place de la question) sur le contexte sur les concepts mathématiques relatives aux raisonnement en calcul Connaissances sur ce qui est attendu sur ce qui est permis sur ce qui marche souvent sur "l'accueil" des erreurs Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

À la bonne place (Evaluation CE2) Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient. 367 582 309 300 400 500 600 300 309 400 367 500 582 600 Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Pour qu’un problème permette d’engager un apprentissage, il faut donc 2 conditions… Du côté de la situation elle-même, en relation avec les connaissances des élèves Du côté du contrat didactique et de la responsabilité de l’élève dans la production de la solution : Trouver une réponse correcte au problème posé par une procédure correcte Ou trouver une réponse attendue par l’enseignant par une procédure reconnue par l’enseignant Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Quelques pistes… Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Apprendre ce qu’est chercher Clarifier le contrat Un mot à double sens Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Favoriser l’appropriation du problème Ne pas confondre lecture d’énoncé et résolution de problème Plusieurs supports de présentation Vécu Dessin, schéma, document Oral Ecrit L'obstacle de la lecture doit être "atténué" pour certains élèves, à certains moments. à condition de clarifier le rôle du matériel Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Rôle du matériel Technique opératoire de la division par un nombre à un chiffre (CE2) 7 cartes « 1 dizaine » et 8 cartes « 1 unité » sont affichées au tableau. Une première demande : « Ces cartes ont été gagnées par 4 joueurs. Combien cela représente-t-il de points ? » - Le problème : « Ces 78 points doivent être répartis entre les 4 joueurs. Chacun doit en avoir exactement le même nombre. Que recevra chaque joueur ? » Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Technique opératoire de la division par un nombre à un chiffre Aider à envisager une démarche (distribution) Illustrer la technique et ainsi aider à la compréhension de celle-ci d u 7 8 3 - 6 2 6 1 8 d u - 1 8 • On partage d’abord les 7 dizaines en 3 - donc 2 dizaines à chacun - on a donné 6 dizaines (2  3) - il en reste 1. • Avec les 8 unités de départ, cela fait 18 unités à partager en 3 - donc 6 unités à chacun - on a donné 18 unités (6  3) - il en reste 0. Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Réel / Anticipation Réel Favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Limiter les références possibles à des indices «extérieurs» au problème Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours Éviter les indices de surface Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Accorder un autre statut à l'erreur Se tromper est normal… dans la phase d'apprentissage Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée L’erreur informe On apprend aussi en travaillant sur les erreurs D'où l'importance de l'analyse des erreurs Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Quatre bandes (CM1) 4 bandes 8 cm 4 bandes 8 cm 8 bandes 12 cm 8 bandes 16 cm 12 bandes 16 cm 12 bandes 24 cm Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Apprendre à partir de problèmes Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Une situation ouverte… n’est pas une situation floue n’est pas une situation complexe n’est pas une situation à l’issue incertaine est une situation que l’élève comprend dont il perçoit ce que peut être une solution mais dont il n’a pas la solution immédiatement et dont il sait être responsable de l’élaboration de la solution Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Deux catégories d’objectifs pour une situation ouverte méthodologiques notionnels Développer des stratégies de recherche, d’investigation, de preuve Mettre en œuvre des solutions « personnelles » Travailler sur le contrat et la responsabilité de l’élève dans le traitement du problème Mettre en œuvre des solutions personnelles En percevoir les limites et les insuffisances S’approprier des solutions plus expertes, parfois un nouveau concept Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Exemples de « problèmes pour  chercher » Objectifs méthodologiques (CM1) Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Exemple de « problème pour chercher » Objectifs méthodologiques (CE2) « Vous allez chercher à obtenir le plus possible de polygones différents en assemblant deux triangles par un côté. Les deux côtés qui se touchent doivent avoir même longueur et leurs extrémités doivent coïncider ». Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Exemples de « problèmes pour apprendre » Objectifs notionnels (CM2) Voici un losange et un agrandissement de ce losange. La figure et son agrandis- sement restent affichés au tableau. Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Exemples de « problèmes pour apprendre » Objectifs notionnels (CM2) Par deux les élèves doivent se mettre d’accord sur une méthode de construction ; Chacun réalise la construction sur sa feuille ; Les productions sont affichées et discutées ainsi que les méthodes utilisées Le calque de l’agrandissement est ensuite utilisé pour valider Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Exemples de « problèmes pour apprendre » objectifs notionnels (CM2) Validation expérimentale Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Dans ces problèmes… La situation et la question sont simples à comprendre La résolution n’est pas immédiate ou donne lieu à controverse, donc il y a quelque chose à apprendre Le choix des valeurs de certaines variables (et leur évolution) est primordial La validation n’est pas le fait de l’enseignant  c’est déterminant pour la responsabilité des élèves vis-à- vis de la résolution Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Apprentissage par résolution de problèmes (4 schémas) Elève Situation Investigation Connaissances anciennes : limites, insuffisances Tentatives nouvelles Rétroaction de la situation Elève Elèves Confrontation Explicitation Controverse, argumentation Appropriation d’autres stratégies Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Elève Enseignant Mise en évidence, généralisation Apport : stratégie, langage, mise en forme… Réponses aux questions Elève Situations Exercices, entraînement Evaluation Adaptation des connaissances Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011