La construction du concept de nombre entier à l’école primaire Ce document est en ligne à cette adresse : http://dpernoux.com/Fichiers/consnombre.pps I) Remarques préalables II) De façon générale, et quel que soit le niveau de classe, qu’est-il important, de faire comprendre aux élèves concernant le nombre ? III) Quelques remarques concernant la construction du concept de nombre en maternelle IV) L’introduction de notre système de numération au cycle 2 V) Numération chiffrée et numération orale VI) Les « grands nombres » au cycle 3 VII) Exemples de problèmes pour chercher dans le domaine numérique (cycle 2 et cycle 3)

I) Remarques prélables Le nombre entier permet d’indiquer une quantité (aspect cardinal du nombre). Le nombre entier a aussi un aspect ordinal : lundi est le premier jour de la semaine, mardi le deuxième, etc. Exemple d’activité : Boîte contenant un objet « Comment faire comprendre dans quelle boîte se trouve l’objet, sans montrer cette boîte ? » Remarque importante : On ne peut pas bien concevoir la notion de nombre si on n’est pas conscient des liens qui unissent les nombres : Exemples : « 3 est plus petit que 4 » ; « 3 et 1 ça fait quatre ». Sommaire

II) De façon générale , et quel que soit le niveau de classe, qu’est-il important de faire comprendre aux élèves concernant le nombre ? 1°) Faire comprendre que les nombres sont utiles pour résoudre des problèmes (ayant du sens pour l’élève …) Exemples au cycle 1(GS) Premier exemple (inspiré d’une proposition de Dominique Valentin) Salle de jeu Dortoir Combien de bébés font encore la sieste dans le dortoir ? Combien de bébés ont fini leur sieste et sont dans la salle de jeux ? Remarque : pour consulter une fiche de préparation concernant cette activité, vous pouvez cliquer ICI (document sur le site du GDM 68) Sommaire

Deuxième exemple 17 On est le 17. 1°) Combien de jours se sont passés depuis le 14 ? 2°) La maîtresse Aline revient dans combien de jours ? 3°) Combien de jours jusqu’à l’anniversaire de Pierre ? Sommaire

Exemple au cycle 2 (CP) : Dans mon porte-monnaie, j’ai trois pièces de 1 € et trois pièces de 2 €. Est-ce que je peux acheter ce livre qui coûte 7 € ? Exemple au cycle 3 (CM1) : Si quatre enfants se partagent vingt-huit bonbons, combien en auront-ils chacun ? Pour des problèmes de recherche intéressants au niveau maternelle, voir, par exemple, les ouvrages de Dominique Valentin (un pour PS/MS et un pour GS) et l’ouvrage de l’équipe Ermel pour la GS : (vous pouvez cliquer sur chacune des images pour plus de précisions) Sommaire

et les ouvrages proposés par les éditions Accès : On peut aussi utiliser le matériel proposé par Brissiaud (PS, MS et GS) MS-GS PS GS et les ouvrages proposés par les éditions Accès : PS GS MS (cliquer sur les images pour plus de précisions) Sommaire

2°) Faire comprendre qu’un nombre a plusieurs représentations et qu’il faut savoir passer d’une représentation à une autre Source Sommaire

Et si on dépasse la notion d’entier : Sommaire

Une remarque concernant les écritures à virgule mais destinée à des enseignants du cycle 2 : Si, au cycle 2, on est allé trop vite vers des automatismes du genre « quand on multiplie par 100 on ajoute deux 0 (« règle des zéros »), on renforce, me semble-t-il, le risque qu’au cycle 3 des élèves écrivent : 2,3 × 100 = 2,300. Il me parait donc souhaitable de garder le plus longtemps possible du sens en écrivant : 12 × 100 = 12 centaines = 1200 Sommaire

3°) Faire comprendre que les nombres sont « liés les uns aux autres » Idées et illustration extraites de l’ouvrage de Rémi Brissiaud « Premiers pas vers les maths – Les chemins de la réussite à l’école maternelle » Exemples : (cliquer sur l’image pour plus d’informations) « un » « quatre » « un » « un » « et un » Remarque : Dans cet ouvrage des idées fort intéressantes sont développées et des propositions d’activités concrètes pertinentes sont proposées mais, comme Charnay, je ne trouve pas souhaitable de suivre Brissiaud quand il recommande de ne pas pratiquer en PS et début de MS de dénombrement par comptage. C’est une procédure de dénombrement parmi d’autres, certes difficile, mais c’est précisément parce que c’est une procédure difficile utilisée systématiquement en dehors de l’école qu’il ne me semble pas souhaitable de la bannir en PS et début de MS. Ceci étant dit, les activités proposées par Brissiaud ne manque pas d’intérêts. En utilisant les doigts, on peut aussi montrer que : « deux » « ça fait trois » « et encore un » Sommaire

Remarque : On peut travailler les décompositions à l’aide des représentations analogiques (dés, cartes à points, configurations de doigts, etc.) Sommaire

« Montrez-moi 4 doigts avec 2 mains » « Montrez-moi 3 doigts avec 1 main, maintenant avec 2 mains » etc... Source des photos : http://math.maternelle.free.fr/fiches/32minute_math.html Page d’entrée du site : http://math.maternelle.free.fr Sommaire

Remarque sur l’utilisation des doigts : il semble souhaitable de ne pas toujours utiliser la même configuration de doigts pour représenter les nombres Sommaire

4°) La manipulation est, bien évidemment intéressante pour s’approprier les situations et les problèmes posés mais il est souhaitable d’amener les élèves à anticiper sur le résultat d’une manipulation car c’est ainsi qu’on peut amener l’élève à élaborer des procédures. On ajoute trois jetons. On ajoute quatre jetons. Combien y a-t-il de jetons dans la boîte ? On peut ensuite vérifier en vidant la boîte. (la réflexion précède ici la manipulation qui sert à vérifier si le résultat qu’on a trouvé est exact) Boîte opaque Sommaire

5°) Il faut attacher de l’importance au choix des différentes contraintes (ou variables didactiques) lors de la mise en place de situations de recherche Exemple (situation de référence proposée par R. Charnay On dispose d’un nombre donné de bouteilles et de bouchons (en nombre plus important que le nombre de de bouteilles) ; l’élève doit préparer juste ce qu’il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille. Première variante : le nombre de bouteilles est assez important mais les bouchons sont à proximité des bouteilles (il s’agit de s’approprier la situation et de faire en sorte que la contrainte « un bouchon pour chaque bouteille » soit respectée). Deuxième variante : il y a 5 à 6 bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont proches mais il faut préparer les bouchons sur un plateau avant de les mettre sur les bouteilles. Troisième variante : il y a 4 bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont éloignés ; l’élève doit aller chercher les bouchons avec un plateau en une seule fois (ou en plusieurs fois puis en une seule fois). Quatrième variante : il y a jusqu’à dix bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont éloignés mais dans des paniers de un, deux ou trois bouchons ; aller chercher les bouchons en plusieurs fois puis en une seule fois. Sommaire

III) Quelques remarques concernant la construction du concept de nombre en maternelle Pour voir quelles activités à quels niveaux, cliquer ICI 1°) La présence de bandes numériques collectives ou individuelles est importante (si la file numérique commence par 1 et non par 0, on fera plus facilement le lien entre aspect ordinal et aspect cardinal du nombre) 2°) Il est souhaitable de varier les types de dénombrement : dénombrement par comptage : on utilise la comptine numérique dénombrement en utilisant des "collections-témoins organisées" (configurations spatiales diverses, configurations digitales, etc.) Remarque concernant le dénombrement par comptage : Ce qui est difficile c’est de faire comprendre que le dernier mot-nombre prononcé n'est pas un simple numéro mais représente à lui seul la quantité de tous les objets. Pour cela, on peut travailler les décompositions: « Un, un, un et encore un ça fait quatre » « Trois et un ça fait quatre » On peut aussi procéder ainsi : Sommaire

Si les objets sont déplaçables : « un » « deux » « trois » « quatre » Si les objets ne sont pas déplaçables : « trois » « quatre » « un » « deux » Remarque : pour réussir à dénombrer les éléments d’une collection par comptage l’enfant doit - connaître la comptine numérique - savoir associer à chaque élément de l’ensemble un mot-nombre et un seul de la comptine récitée dans l’ordre - comprendre, comme on vient de le dire, que le dernier mot-nombre prononcé représente à lui seul la quantité de tous les objets - comprendre que la nature des objets à compter n’a pas d’importance - comprendre qu’on peut compter les objets dans n’importe quel ordre. Sommaire

Remarque supplémentaire concernant le dénombrement par comptage : Savoir dénombrer par comptage un par un suppose de savoir énumérer les éléments d’une collection c’est-à-dire de savoir passer tous les éléments en revue sans en oublier et sans en désigner un deux fois. Pour des précisions concernant l’énumération, voir, par exemple : http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/parcours/AffQpeRep.asp?CleFiche=P153-1 Sommaire

IV L’introduction de notre système de numération au cycle 2 Notre système de numération est basé sur les groupements (on fait des paquets de dix puis de cent puis…) mais ce qui est important c’est que l’élève comprenne l’intérêt de faire des paquets de dix (quand on a beaucoup d’objets à dénombrer, on fait des paquets et ensuite on compte ces paquets). Exemples d’exercices permettant de voir si un élève a compris ou pas l’intérêt de faire des paquets : Premier exemple : Dans la case blanche écris en chiffres combien il y a de croix. X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Sommaire

Deuxième exemple : Dans la case blanche écris en chiffres combien il y a de doigts. Sommaire

Troisième exemple : Dessine dans le grand cadre blanc le nombre de croix correspondant au nombre écrit sur l’étiquette. Attention, on doit tout de suite voir que c’est juste. Sommaire

Pour les CP, il s’agira de construire des stratégies pour dénombrer rapidement et de manière fiable des collections de 60 à 100 objets et au CE de plusieurs centaines voire milliers d’objets. L’évolution du CP au CM2 se fait au niveau du passage de collections réelles à des collections représentées sous différentes formes : Par exemple dans ERMEL les situations « les fourmillions » (CP), « les cahiers » (CE1), « les craies » (CE2),« les trombones » (CM1) et « les tickets de cantine » (CM2) entrent dans cette catégorie. Les « fourmillions » Source de l’image : http://lewebpedagogique.com/devanssay/2008/01/22/les-fourmillions/ Sommaire

V) Numération chiffrée et numération orale 1°) Remarques préalables : - Passer du registre des désignations orales au registre des écritures chiffrées nécessite de comprendre que certains mots sont traduits par des chiffres et d’autre pas et en plus qu’il faut écrire des chiffres « qu’on n’entend pas » : est traduit par le chiffre 3 mais on doit écrire aussi un 0 « qu’on n’a pas entendu » : 3 2 0 3 trois mille deux cent trois est traduit par le chiffre 3 est traduit par le chiffre 2 n’est pas traduit par un chiffre mais indique que le chiffre 3 doit être mis à une certaine place : 3 _ _ _ n’est pas traduit par un chiffre mais indique que le chiffre 2 doit être mis à une certaine place : 3 2 _ _ - Notre système de numération orale est un système hybride dans lequel les noms des nombres sont composés suivant un principe additif (dix-sept) ou multiplicatif (deux-cents). Sommaire

- Parmi les différentes manières de représenter les nombres on peut citer la représentation « en carte à points » qui permet, en particulier de travailler les doubles et les compléments à dix. Pour plus d’informations sur les cartes à points voir : http://jean-luc.bregeon.pagesperso-orange.fr/Page%208.htm (site de Jean-Luc Brégeon) Sommaire

- on peut utiliser « les cartons Montessori » EN NOIR EN VERT

a) Les noms des dizaines 2°) Le passage des écritures chiffrées aux désignations orales et réciproquement Une grande partie des difficultés rencontrées par les élèves sont dues aux irrégularités de notre numération orale car en français, les règles de lecture des nombres sont complexes et souffrent de nombreuses anomalies (on dit "treize" et pas "dix-trois" ; on dit "soixante-douze" et pas "septante-deux" ; on dit "cent" et "mille" mais "un million", etc.). a) Les noms des dizaines 40 se dit quarante alors que dans les langues asiatiques ont dit « quatre-dix », ce qui est beaucoup plus porteur de sens. b) Des nombres ayant des noms bizarres » Stella Baruk les appellent « les cachotiers » Sommaire

Remarques - on peut travailler sur les écritures chiffrées de ces nombres avant de savoir les nommer 7 8 Autrefois, certains aimaient bien faire des paquets de soixante soixante - dix - huit Sommaire

8 3 9 4 Autrefois, certains comptaient avec les doigts des mains et des pieds. quatre-vingt-trois quatre-vingt-quatorze - On peut utiliser ce qu’on entend : Pour soixante treize : 60 + 13 = 73 Pour quatre-vingt-deux : 20 + 20 + 20 + 20 + 2 = 82 Pour 93 : 20 + 20 + 20 + 20 + 13 = 93 Sommaire

Le fil conducteur est de s’appuyer sur ce qu’on entend. Exemples : c) Des idées tirées du tome 1 de l’ouvrage de Stella Baruk « Comptes pour petits et grands » publié aux éditions Magnard) Le fil conducteur est de s’appuyer sur ce qu’on entend. Exemples : (cliquer sur l’image) Sommaire

Sommaire

Deuxième idée : On peut concevoir des exercices où on passe du registre de langue belge ou suisse à notre registre de langue et réciproquement : Sommaire

Sommaire

Et pour les grands nombres : Sommaire

d) Une proposition de Rémi Brissiaud Voir : Le livre du maître du fichier « J’apprends les maths avec Tchou CP » édité chez Retz). et http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiques/PE2/Cycle2/IntroTchou/introtchou.html (extraits vidéo) Rémi Brissiaud propose d’utiliser une comptine régulière (on compte comme Tchou) 4 2 Tchou dit « quatre-dix-et-deux » On dit « quarante-deux » Sommaire

3°) Des situations à reprendre aux différents niveaux de la scolarité en adaptant le domaine numérique (d’après des propositions de Denis Butlen et Pascale Masselot tirés du document « le nombre au cycle 2 » mis en ligne sur le site Eduscol) (cliquer sur l’image) a) Situations d’échange pour travailler les écritures chiffrées des nombres Remarque : Pour des vidéos concernant le jeu du banquier au cycle 2, voir : http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/Videos/Videos.asp - Situations amenant à repenser les groupements par rapport aux échanges Il s’agit d’amener les élèves à lire dans l’écriture d’un nombre des informations liées aux échanges ou aux groupements qui ont été effectués. La situation de référence est par exemple le problème des timbres : les timbres sont vendus par carnets de dix timbres. Paul a besoin de 260 timbres. Combien doit-il acheter de carnets ? Corinne a besoin de 500 timbres. Combien doit-elle acheter de carnets ? Sommaire

Remarques : - Comprendre que, dans 623, le chiffre des dizaines vaut 2 mais que le nombre de dizaines vaut 62 est un objectif important mais il me semble qu’il faut faire attention à ne pas aller trop vite avec des élèves en difficulté et qu’il est souhaitable de s’appuyer s’appuyer sur le matériel de numération utilisé. 6 2 3 Le chiffre 2 indique le nombre de dizaines « visibles » Mais il y a aussi 60 dizaines « cachées dans les centaines » Sommaire

- Remarque : au cycle 3, il s’agira de comprendre que 1 2 4 1 , 7 8 c’est : 1 millier 2 centaines 4 dizaines 1 unité 7 dixièmes 8 centièmes mais c’est aussi, par exemple : 12 centaines 41 unités 78 centièmes b) Situations abordant le point de vue algorithmique (dans les deux systèmes de numération) Activités autour des familles de nombres comme dans la situation du « jeu du château » en CP/ CE1 (cf. les ouvrages de l’équipe ERMEL publiés par Hatier) Sommaire

Permet de travailler le sens des écritures chiffrées Remarque : « chef de famille » « Tableau Brissiaud » « Tableau ERMEL» 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 98 99 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 98 99 Permet de travailler le sens des écritures chiffrées Permet de travailler sur les désignations orales des nombres 23 c’est 2 paquets de dix et 3 unités 23 appartient à «la famille des vingt» Sommaire

Activités autour des compteurs (avec des chiffres ou avec des mots) et des calculatrices Exemple d’activité : Un premier nombre est affiché sur l’écran de la calculatrice (par exemple 1234). Sans éteindre la calculatrice, ni effacer le nombre affiché, il s’agit d’obtenir l’affichage de 1334 en tapant le minimum de touches. Remarque : pour des activités avec la calculatrice , voir le document d’accompagnement des programmes 2002 intitulé « Utiliser les calculatrices en classe (cycle 2 et cycle 3) » Sommaire

c) Situations d’exploration des règles de la numération orale et de mise en relation avec la numération de position (chiffrée) Construire un dictionnaire de nombres (CP) Au CP on peut construire un livret dédié à l’écriture des nombres. Chaque page est consacrée à un nombre. L’élève y inscrit différentes écritures ou représentations de ce nombre. Les pages vont s’enrichir progressivement. Mettre en correspondance les deux types d’écritures L’élève dispose de deux jeux de cartes. Le premier comporte des cartes sur lesquelles il y a les écritures chiffrées de nombres entiers (par exemple les n premiers nombres). Le second est un jeu de cartes avec les mots-nombres correspondant. La consigne est la suivante : Il faut remettre dans l’ordre les différents nombres. Dans la colonne de gauche tu écris les nombres du plus petit au plus grand avec des chiffres. Dans la colonne de droite tu écris avec des mots. Sommaire

Simuler un « compteur manuel » permettant d’écrire les nombres avec des mots Combien de chiffres ? Combien de mots ? Un nombre étant énoncé par l’enseignant, l’élève écrit sur son ardoise le nombre de chiffres nécessaires pour l’écrire. Inversement, un nombre étant écrit au tableau avec des chiffres, l’élève doit écrire sur son ardoise le nombre de mots nécessaires. L’institutionnalisation porte sur la longueur de l’écriture d’un nombre qui ne dépend pas systématiquement de sa grandeur : le nombre « deux-cent-vingt-trois » comporte plus de mots que le nombre « trois-cent ». Sommaire

Remarque : pour d’autres idées d’activités, voir, par exemple les ouvrages de l’équipe ERMEL On y trouve, par exemple des activités de ce type : Sommaire

deux quatre six cent(s) mille vingt(s) En complément, voici un exemple faisant intervenir des nombres plus grands que ceux fréquentés au cycle 2. Quel est le plus grand nombre que l’on peut écrire avec toutes ces étiquettes ? deux quatre six cent(s) mille vingt(s) six-cent-quatre-vingt-deux-mille Sommaire

4°) Exemples d’activités utilisant l’outil informatique - Exercices du site http://pepit.be (animations flash à exécuter en ligne ou à télécharger) : - Exercices concernant la numération au cycle 2 sur le site « Le Matou matheux » (à exécuter en ligne) : http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/entier/CP/ecrireCP.htm Logiciel Minimax ( « Trop petit ! Trop grand ! Gagné ! ») de M. Menei : http://jeanrostand2.stnolff.pagesperso-orange.fr/Marco%20Menei.html - Quizz sur la numération (niveau cycle 2) (Anne et Dominique Pernoux) : http://ddata.over-blog.com/0/00/81/54/Nouveau/quiz.swf Sommaire

1°) Extraits des IO concernant le cycle 3 V Les grands nombres 1°) Extraits des IO concernant le cycle 3 L’étude organisée des nombres est poursuivie jusqu’au milliard, mais des nombres plus grands peuvent être rencontrés. Cours élémentaire deuxième année Cours moyen première année Cours moyen deuxième année Les nombres entiers jusqu’au million - Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au million. - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. Les nombres entiers jusqu’au milliard - Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. Les nombres entiers Sommaire

classe des unités (simples) 2°) Désignation des grands nombres trillions billions milliards millions 6 5 7 4 8 9 3 2 A l'école élémentaire : classe des milliards classe des millions classe des mille classe des unités (simples) c d u 4 7 6 8 3 9 5 2 Sommaire

3°) Exercice extrait des dernières évaluations CM2 Dire aux élèves : « Écrivez en chiffres les nombres que je vais vous dicter ; je les répéterai chacun deux fois. » Dans la case A, écrivez cent-treize-mille (laisser 10 secondes) ; dans la case B, écrivez huit-milliards-quatre-cents-millions (laisser 10 secondes) ; dans Ia case C, écrivez soixante-mille-soixante-quinze (laisser 10 secondes) ; Sommaire

4°) Des compétences de nature différentes Remarque préalable : Il s’agit de prolonger ce qui est fait au cycle 2 à propos du fonctionnement de notre système de numération (signification des écritures chiffrées et fonctionnement de notre système de numération orale avec ses nombreuses irrégularités). Il faut donc d’abord faire un retour sur ce qui est vu au cycle 2 à propos des nombres inférieurs à 1000. a) Comprendre comment on exprime de grandes quantités à l’aide d’écritures chiffrées (sans intervention de la numération orale) Exemple d’exercice (à adapter au niveau) : Dans 345 562 657 Le chiffre des dizaines de la classe des mille est le chiffre … Le chiffre des centaines de la classe des unités (simples) est le chiffre … 4 est le chiffre des ……………………………………………………….. Le nombre de paquets de un million est égal à ………. Le nombre de paquets de mille est égal à ………. Réponse : 345 562 Sommaire

b) Comprendre le lien entre la relation d’ordre entre les nombres et le fonctionnement de notre système d’écritures chiffrées (sans intervention de la numération orale) Exemples d’exercice (à adapter au niveau) : - Ecris en chiffres le nombre qui vient juste après le nombre donné : 123 999 999 - Ecris en chiffres le nombre qui vient juste avant le nombre donné : 235 620 000 - Ecris en chiffres le nombre compris entre les deux nombres donnés : 123 349 999 123 350 001 - Complète la phrase suivante par un nombre écrit en chiffres : ………………………. se trouve entre 125 499 999 et 125 500 001 Sommaire

- Ecris à leur bonne place les nombres 65 345, 618 554 et 114 345 890 56 678 234 567 123 567 345 - Entoure le plus grand des deux nombres : 123 000 et 122 998 - Range du plus petit au plus grand les nombres 223 456 000, 223 455 999, 120 999 et 132 000 Sommaire

c) Comprendre comment on exprime de grandes quantités à l’aide de désignations orales des nombres (passage des écritures chiffrées aux désignations orales et réciproquement) Exemples d’exercices (à adapter au niveau) : - Lis ces écritures chiffrées : 123 487 230 000 018 199 516 637 12 340 079 345 346 000 - Ecris en chiffres les nombres que je vais te dicter…. d) Comprendre le lien entre la relation d’ordre entre les nombres le fonctionnement de notre système de désignations orales Exemples d’exercices (à adapter au niveau) : - Demander le nombre qui vient juste après cent-vingt-deux-mille-quatre-vingt-dix-neuf, le nombre qui vient juste avant cent-vingt-trois-millions (L’enseignant et l’élève utilise des désignations orales des nombres) - Demander à l’élève d’écrire avec des chiffres le nombre qui vient juste après cent-vingt-trois-mille, le nombre qui vient juste avant cent-vingt-deux-millions (L’enseignant utilise des désignations orales ; l’élève produit des écritures chiffrées) Sommaire

- Demander le nombre compris entre cent-vingt-deux -mille-quatre-vingt-neuf et cent-vingt-deux-mille-quatre-vingt-onze (L’enseignant et l’élève utilisent des désignations orales) - Demander à l’élève d’écrire en chiffres le nombre compris entre cent-vint-deux -mille-quatre-vingt-neuf et cent-vingt-deux-mille-quatre-vingt-onze (L’enseignant utilise des désignations orales et l’élève produit des écritures chiffrées) - Demander un nombre compris entre cent-vingt-deux -mille et cent-cinquante-mille (L’enseignant et l’élève utilisent des désignations orales) - Demander à l’élève d’écrire en chiffres un nombre compris entre cent-vingt-deux -mille et cent-cinquante-mille (L’enseignant utilise des désignations orales et l’élève produit des écritures chiffrées) Sommaire

VII Exemples de « problèmes pour chercher » (cycle 2 et cycle 3) On veut fabriquer 66 € en utilisant des billets de 10 €, des billets de 5€ et des pièces de 1 €. Quelle est la solution qui utilise le moins de pièces et billets ? Aide : « Commencer en utilisant le plus possible de gros billets » 10 10 10 5 1 10 10 10 Problème 2 (on peut utiliser deux fois le même chiffre) Aide : cherche d’abord tous les nombres possibles commençant par 1 puis… 11 12 13 21 22 23 31 32 33 Sommaire

Problème 3 Aide : on peut y arriver en faisant tourner deux dominos. Sommaire

Problème 4 Problème 5 Il y a plusieurs solutions 3 9 2 8 1 6 4 Sommaire

Problème 6 Aide : colorie toutes les case où il y a un nombre plus grand que 59 Problème 7 Aide : le chiffre 4 peut-être le chiffre des unités ou le chiffres des dizaines ou les deux en même temps. 4 14 24 34 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 On a utilisé 15 fois le chiffre 4. Sommaire

Il y a plusieurs solutions Problème 8 4 1 2 3 5 Aide : la somme de la ligne et la somme de la colonne valent 10. Il y a plusieurs solutions Problème 9 Aide : le premier chiffre peut valoir 1 ou 2 ou 3 ou… 16 25 34 43 52 61 70 Sommaire

Problème 10 Combien de mots différents suffisent à un écolier français pour écrire les cent premiers nombres ? Aide : Vérifie qu’il y a 23 mots. Un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix onze douze treize quatorze quinze seize vingt et trente quarante cinquante soixante cent 23 mots Sommaire

Cycle 3 Problème 1 Sommaire

Solution 1 kg 2 kg 1 kg 3 kg 2 kg 3 kg 1 4 kg 5 kg 4 kg 5 kg Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance : 1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau de droite et 7 kg sur le plateau de gauche. La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg. On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg Sommaire

Nombre de pattes de poule Nombre de pattes de lapins Nombre de pattes Problème 2 Nombre de poules Nombre de lapins Nombre de pattes de poule Nombre de pattes de lapins Nombre de pattes 18 18 36 72 108 19 17 38 68 106 20 16 40 64 104 21 15 42 60 102 Sommaire

Problème 3 Armoire A : Armoire B : Armoire C : 6 36 en tout Dans l’armoire C, il y a 30 : 5 balais soit 6 balais. Dans l’armoire B, il y a 12 balais. Dans l’armoire A, il y a 18 balais. Sommaire

Petites voitures Voitures moyennes Grosses voitures Total Françaises Problème 5 Petites voitures Voitures moyennes Grosses voitures Total Françaises Etrangères 3 3 6 2 4 6 5 3 4 Sommaire

Chameaux Chattes Chatons Nombre d’animaux Nombre de pattes Problème 5 Aide : la réponse se situe entre VINGT et TRENTE VINGT-HUIT Problème 6 Chameaux Chattes Chatons Nombre d’animaux Nombre de pattes 3 3 × 3 × 3 = 27 27 × 3 = 81 4 × 3 = 12 4 × 27 = 108 4 × 81 = 324 Total : 444 pattes Sommaire

Problème 7 Sophie Pierre Eve Jane John Tony Sommaire

Problème 8 Eau et aquarium : 108 kg 57 kg Masse d’eau bue par le dragon : 108 kg - 57 kg = 51 kg Masse d’eau au départ : 2 × 51 kg = 102 kg L’aquarium vide pèse donc 108 kg - 102 kg soit 6 kg. Sommaire

Problème 9 8 6 9 1 3 4 2 7 5 Sommaire

Problème 10 Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures indiquées par les deux horloges a atteint …. Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a augmenté ensuite de … minutes toutes les heures Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières : La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais 17h 36min – 1h 36min soit 16h. ou La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas 15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h. 2 heures soit 120 minutes. 5 (car une des horloges avance de quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les heures). 120 : 5 heures soit 24 heures. Sommaire

Un problème « pour chercher» et un jeu plus difficiles Activité « atteindre un nombre » On dispose d’une calculatrice qui n’a que que deux touches : une touche « ajouter 9 » et une touche «enlever 6 ». On part du nombre 5. - Essayer d’atteindre 17 en utilisant la calculatrice. Exemple de solution : 5 + 9 + 9 – 6 = 17 - Essayer d’atteindre 18 en utilisant la calculatrice. Le problème n’a pas de solution. Sommaire

Complément : Recherche des nombres qu’on peut atteindre 35 32 - 6 - 6 + 9 + 9 29 23 26 + 9 + 9 + 9 - 6 - 6 - 6 20 14 17 23 + 9 + 9 - 6 + 9 - 6 - 6 + 9 5 8 11 14 - 6 + 9 - 6 + 9 2 5 On peut atteindre les nombres : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, etc. Sommaire

Jeu à deux « atteindre 15 » Le but du jeu est de fabriquer le premier le nombre 15 en ajoutant TROIS nombres compris entre 1 et 9. On dispose de neuf jetons sur lesquels sont inscrits les nombres entiers de 1 à 9. On tire au sort le joueur qui commence le premier. Chaque joueur choisit un jeton à tour de rôle parmi les jetons qui n’ont pas encore été choisis. Première version du jeu : chaque joueur ne tire pas plus de trois jetons (si un des joueurs voit qu’il obtient 15 en tirant son troisième jeton, il a gagné. Sinon, c’est match nul). 4 5 6 7 8 9 1 2 3 Joueur 1 Joueur 2 4 2 9 8 3 Le joueur 1 a gagné. Sommaire

Deuxième version du jeu : On joue comme dans la première version mais si aucun joueur n’obtient 15 en tirant son troisième jeton, les joueurs continuent de choisir un jeton l'un après l'autre. Mais la règle ne change pas : il faut toujours obtenir 15 avec TROIS jetons. Dès qu'un joueur voit qu’il peut réaliser la somme 15 avec TROIS jetons PARMI les jetons qu'il a en sa possession, il a gagné. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Joueur 1 Joueur 2 8 8 3 1 1 6 6 2 4 7 Le joueur 1 a gagné. Remarques : si un joueur ne voit pas qu’il a obtenu 15, le jeu continue. si aucun joueur n’arrive à obtenir 15, il y a match nul. Sommaire

Complément concernant le jeu « Atteindre 15 » : Quel nombre a intérêt à choisir le joueur qui commence ? - Recherche de toutes les décompositions additives de 15 utilisant trois nombres inférieurs à 10 15 = 1 + 5 + 9 15 = 2 + 4 + 9 15 = 3 + 4 + 8 15 = 4 + 5 + 6 15 = 1 + 6 + 8 15 = 2 + 5 + 8 15 = 3 + 5 + 7 15 = 2 + 6 + 7 - Recherche du nombre de fois où apparaît chacun des nombres de 1 à 9 dans les décompositions précédentes : Nombre Nombre d'apparitions 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 2 3 4 3 2 3 2 - Remarque : réalisation d'un carré magique avec les entiers de 1 à 9 (les sommes des nombres de chaque ligne de chaque colonne et de chaque diagonale doit valoir 15) 5 2 9 4 Le 5 qui est apparaît 4 fois dans les décompositions de 15 doit être au centre. Dans chaque coin, il doit y avoir un nombre qui apparaît 3 fois dans les décompositions de 15. Exemple : 7 3 6 1 8 D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr Sommaire