SYSTEMES ISOTHERMES ET A COMPOSITION CONSTANTE Phénomènes de transferts   BILANS GLOBAUX DANS LE CAS DE SYSTEMES ISOTHERMES ET A COMPOSITION CONSTANTE SOMMAIRE PAGES Introduction 1- Conservation de la masse 2- Conservation de la quantité de mouvement 3- Bilan global d’énergie mécanique 4- Calcul des pertes par friction 2 Non disponible 3 Non disponible Application 1 6 Non disponible 8 Non disponible 10 Pertes par friction dans des tubes rectilignes à section circulaire 10 Applications 2 17 Pertes par friction dans les accidents Application 3 Récapitulatif 20 Pertes par friction pour l’écoulement autour d’objets 23 Non disponible Nadine LE BOLAY Une partie de ce document est issue du polycopié de cours de l’ENSIACET : Phénomènes de transferts par J.P. Couderc, C. Gourdon et A. Liné

4- Calcul des pertes par friction (tubes) 10 Retour 4 – CALCUL DES PERTES PAR FRICTION 4- Calcul des pertes par friction (tubes) sommaire Les pertes par friction peuvent résulter de différents éléments que l’on décompose en trois catégories : les longueurs droites de canalisations, tous les éléments qui raccordent ces longueurs droites (coudes, tés, élargissements ou rétrécissements de section droite, etc...) ou viennent perturber les écoulements (robinets, débitmètres, thermomètres, etc...) qu'on appelle des accidents de parcours ou des singularités, les équipements spécifiques ou appareils de génie des procédés (réacteurs, filtres, colonnes, etc...). Le calcul des pertes de charge à l'intérieur des appareils de génie des procédés impose la mise en œuvre de méthodes spécifiques qui ne seront pas détaillées ici, mais seront abordées dans les cours dédiés à ces appareils. Pertes par friction dans des tubes rectilignes à section circulaire Pour calculer les pertes par friction dans les longueurs droites de canalisations on utilise, habituellement, la relation : Ev = 2 <v>2 f L D ^ (19) où L est la longueur du tube, D, son diamètre et f, le facteur de friction de Fanning. Ce facteur s’écrit selon l’expression dite de Fanning : f = 1 4 D L Po – P L 2 r <v>2 (20) où l’indice o désigne l’entrée dans le tube, l’indice L, la sortie du tube et où la pression motrice P regroupe les contributions de la pression et de la pesanteur selon la relation : (21) P = p + r g h Remarque : la définition du facteur de friction étant arbitraire, certains auteurs ont choisi de supprimer le coefficient 1/4. On définit alors le facteur de Blasius par l’expression : l = D L Po – P L 1 2 r <v>2 (22)

Cas de fluides newtoniens dans des tubes lisses 11 Cas de fluides newtoniens dans des tubes lisses Pour des tubes idéaux, dont la surface interne est parfaitement cylindrique, sans aucune imperfection, et à condition de se placer assez loin des extrémités du tube, l'expérience permet d'observer que le facteur de friction est uniquement fonction du nombre de Reynolds. Lorsque le régime d’écoulement est laminaire (Re < 2100), la relation entre f et Re s’écrit : (23) f = 16 Re (24) f = 0,0791 Re1/4 Plusieurs expressions ont été proposées pour exprimer f en fonction de Re dans le cas où le régime d’écoulement est turbulent (Re > 10 000). Parmi elles, on citera la loi de Blasius : qui est valable pour 104 < Re < 105. Une formule explicite a également été proposée dans la littérature : Elle est applicable pour 104 < Re < 107. f = (3,6 log Re/7)-2 = (1,56 ln Re/7)-2 (25) Retour sommaire

Applications 2 12 Application 2.1 Retour sommaire Application 2.1 On fait circuler de l’eau dans un tube de verre de 25 mm de diamètre interne muni de deux prises de pressions espacées de 1 m. Pour différents débits d’eau variant entre 630 et 6000 L/h, on mesure les différentes valeurs de DP indiquées dans le tableau ci-dessous. Tracer l’évolution, en coordonnées logarithmiques, de DP en fonction du débit Q. En déduire l’exposant de Q dans la relation DP = f(Q). Comparer cet exposant avec la valeur théorique attendue. DP (mbar) Q (L/h) 630 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 1,7 2,8 5,3 8,0 11,6 15,7 20,1 25,2 32,6 37,3 Aide Application 2.2 De l’eau à 20 °C circule dans un tube de 7,5 cm de diamètre intérieur à un débit de 255 l/mn. Calculer le facteur de friction, f, à l’intérieur du tube. Aide Application 2.3 De l’eau à 20 °C circule entre deux réservoirs à un débit de 60 m3/h. Entre les réservoirs sont placés deux types de tubes lisses, dont les diamètres internes sont respectivement de 100 et 150 mm. Calculer les facteurs de frictions, f, relatifs à ces deux tubes. Aide

Aides applications 2 13 Application 2.1 Enoncé DP (mbar) Q (L/h) Retour Application 2.1 sommaire Evolution de DP en fonction du débit 1 10 100 1000 10000 Enoncé DP (mbar) Q (L/h) Les points expérimentaux sont alignés, excepté celui correspondant au débit de 630 L/h. On détermine la pente de la droite, qui sera aussi l’exposant de Q dans la relation DP = f(Q). Elle est égale à 1,68. ATTENTION : Pour déterminer une pente en coordonnées logarithmiques, on calcule DP doit être exprimé en Pascals et Q en m3/s Ln(DP2) – Ln(DP1) LnQ2 – LnQ1 Pour déterminer la valeur théorique de la pente, d’après l’équation (20), on peut écrire que DP est proportionnel à f.v2, c’est à dire à f.Q2. En régime laminaire, d’après l’équation (23), f est proportionnel à v-1, c’est à dire à Q-1. DP est alors proportionnel à Q1. En régime turbulent, d’après l’équation (24), f est proportionnel à v-1/4, c’est à dire à Q-1/4. DP est alors proportionnel à Q1,75. La valeur trouvée expérimentalement est proche de cette valeur. Remarque : Si on calcule le nombre de Reynolds pour les différents débits, on trouve qu’ils sont supérieurs à 10000 (de 14250 à 84750), sauf celui correspondant au débit de 630 L/h (Re = 9000). Le régime d’écoulement est donc turbulent pour la majorité des débits, ce qui justifie la valeur de la pente de la droite. Application 2.2 Enoncé Pour calculer le facteur de friction, il faut connaître le régime d’écoulement afin de choisir la relation convenable. A cet effet, on détermine tout d’abord la vitesse de circulation du fluide (= 0,962 m/s). On calcule ensuite le nombre de Reynolds (= 72 150). On est en régime turbulent. On calcule donc f avec la relation (24) (= 4,82.10-3)

On calcule ensuite le nombre de Reynolds : -Tube de 100 mm : 212 000 14 Application 2.3 Enoncé Retour Pour calculer le facteur de friction, il faut connaître le régime d’écoulement afin de choisir la relation convenable. sommaire A cet effet, on détermine tout d’abord la vitesse de circulation du fluide : Tube de 100 mm : 2,12 m/s Tube de 150 mm : 0,942 m/s On calcule ensuite le nombre de Reynolds : -Tube de 100 mm : 212 000 -Tube de 150 mm : 141 300 On est en régime turbulent, mais les valeurs du nombre de Reynolds sont telles que la relation (24) n’est pas applicable (Re > 105). On calcule donc f avec la relation (25) : -Tube de 100 mm : 3,86.10-3 -Tube de 150 mm : 4,18.10-3

Influence de la rugosité de paroi 15 Influence de la rugosité de paroi La plupart des tubes industriels ne sont pas parfaitement lisses ; leur surface interne est affectée par des rugosités de formes et de tailles variables. L'expérience montre que ces rugosités ne modifient pas de façon sensible les interactions fluide-paroi en régime laminaire ; par contre elles jouent un rôle important en régime turbulent. En effet, en régime laminaire, l’épaisseur du film stagnant est en général supérieure à la profondeur des rugosités de surface ; la canalisation peut alors être considérée comme hydrauliquement lisse. Par contre, en régime turbulent, l’épaisseur du film stagnant peut être inférieure à la profondeur des rugosités de surface ; la canalisation est alors hydrauliquement rugueuse. (26) 1 2 f = 1,74 – 2 log ( 2 + ) e D 18,7 2 Re f Beaucoup de relations ont été proposées pour représenter les variations de f dans le cas de tubes rugueux. Nous recommandons l'équation de Colebrook et White : où e est la hauteur moyenne des rugosités de surface. e/D est appelé taux de rugosité ou rugosité relative. Cette expression peut être simplifiée : -pour un tube lisse (e/D = 0) la relation est valable pour une gamme du nombre de Reynolds entre 104 et 107. (27) 1 f = 4 log ( ) – 0,4 Re f (28) 1 f = 4 log (3,7 D/e ) pour un tube fortement rugueux (f est indépendant de Re) (29) 1 f = - 4 log 1,25 Re f + e 3,7 D pour une rugosité intermédiaire : (30) f = (3,6 log10 Re/7)-2 = (1,56 ln Re/7)-2 Une autre relation a été proposée pour les tubes lisses : Retour sommaire

La figure 2 présente le diagramme de Moody. 16 La figure 2 présente le diagramme de Moody. l e (mm) Figure 2 : Evolution du facteur de Blasius, l = 4f, en fonction de Re et de la rugosité relative pour des tubes droits Retour sommaire

4- Calcul des pertes par friction (accidents) 17 Pertes par friction dans les accidents Différents accidents de parcours ou singularités peuvent être présents dans un circuit. Dans beaucoup de cas, on observe que la perte par friction à la traversée d'un accident de parcours suit une loi du type : où <v> est la vitesse moyenne en aval de l'obstacle et ev un coefficient de perte de charge, sensiblement constant pour une singularité donnée. Ev = <v>2 ev 1 2 ^ (31) Des valeurs de ev sont données dans la littérature pour différents accidents. Variation de section Cas d’un élargissement Lors d’une modification de section, nous avons vu dans l’application 1 que la vitesse varie. A la sortie de la section AB, il se produit un décollement des lignes de courant avec apparition de zones mortes (où la vitesse est nulle) et de tourbillons. (Pour simplifier les équations, on écrira la vitesse v au lieu de <v>). 1 P1 S1 <v1> 2 P2 S2 <v2> Zone morte Tourbillons A B Ecrivons les bilans macroscopiques sur l’élargissement : v1 S1 = v2 S2 (32) Bilan matière entre les plans ‘1’ et ‘2’ D’après l’équation (6), on peut écrire : v1 v2 = 1 b (33) Si on définit b = S1 / S2, on a : Bilan de quantité de mouvement L’équation (11) écrite selon la direction de l’écoulement devient : où F est la force exercée par le fluide sur les parois (force visqueuse sur les surfaces cylindriques parallèles à la direction de l’écoulement, force de pression sur la surface proche de ‘1’ et perpendiculaire à l’écoulement et d’aire S2 – S1). La seconde force est prépondérante par rapport à la première, et s’écrit : = r v12 S1 – r v22 S2 + p1 S1 – p2 S2 F (34) Retour sommaire

En intégrant l’équation (35) dans l’équation (34), il vient : 18 (35) F = - p1 (S2 – S1) En intégrant l’équation (35) dans l’équation (34), il vient : - p1 (S2 – S1) = r v12 S1 – r v22 S2 + p1 S1 – p2 S2 (36) - p1 (S2 – S1) = r v1 v2 S2 – r v22 S2 + p1 S1 – p2 S2 (37) Comme v1 S1 = v2 S2, l’équation (35) peut être transformée en : - p1 (S2 – S1) = r v2 S2 (v1 - v2) + p1 S1 – p2 S2 (38) Soit, p2 – p1 = r v2 (v1 - v2) (39) D’où p2 – p1 = r v2 (v1 - v2) (40) Soit : (v22 – v12) + (p2 – p1) + Êv = 0 (41) 1 2 r Bilan d’énergie mécanique L’équation (15) appliquée à l’élargissement s’écrit : ^ Remarques : g DH = 0 car il n’y a pas de variation de hauteur W = 0 car il n’y a pas de puissance échangée avec l’extérieur Êv = - (v22 – v12) - (p2 – p1) 1 2 r (42) D’où : Êv = - (v22 – v12) – v22 ( – 1) 1 2 (43) b En incérant l’équation (40) dans l’équation (42), on obtient : Soit, comme v1 = v2 / b : Cette équation est définie en prenant comme référence la vitesse v2, en aval de l’élargissement. Êv = v22 ( – 1)2 1 2 (44) b Retour sommaire

19 ^ Êv = v12 (1 - b)2 1 2 (45) Si on se réfère à la vitesse amont, v1, l’expression de Ev devient : Êv = v12 1 2 (46) Dans le cas d’un élargissement infini, b tend vers 0, et donc ev = 1. On a alors : -Cas d’un rétrécissement 1 P1 S1 <v1> 2 P2 S2 <v2> A B La vitesse en aval est supérieure à la vitesse en amont. On obtient les expressions de ev dans le cas du rétrécissement en effectuant des bilans identiques à ceux présentés pour l’élargissement. 1 b’ (47) ev défini par rapport à la vitesse amont : ev = 0,45 ( -1) avec b ’ = S2 / S1. ev défini par rapport à la vitesse aval : ev = 0,45 (1 – b ‘) (48) Pour un rétrécissement infini, ev = 0,45 Retour sommaire

RECAPITULATIF 20 Changement de direction (cas des coudes) Coude progressif Pour un tube lisse, où Rc est le rayon de courbure, D, le diamètre du tube et a l’angle du coude en degré. Pour un tube rugueux, -Coude brusque ev = [0,13 + 1,85 ( )3,5] (49) D 2 Rc a 90 Rc ev = 0,42 ( )0,5 (50) ev = 1,3 (1 – cos a ) (51) Vannes ev varie selon le type de vanne. Il convient de s’informer lors de l’utilisation d’une vanne. RECAPITULATIF Si on récapitule les principaux résultats présentés ci-dessus, on obtient l’équation : D <v>2 + g Dh + + W + S ( 2 <v>2 f) + S ( <v>2 ev) + S Êv app.GC. = 0 1 2 DP r ^ i L D j k Cette équation est valable pour des fluides incompressibles, en régime turbulent. Retour sommaire

21 Application 3 Application 3 Retour sommaire De l’eau à 20 °C s’écoule à un débit de 60 m3/h dans un circuit tubulaire qui comporte un élargissement (diamètre de la canalisation amont = 100 mm ; diamètre de la canalisation aval = 150 mm). Calculer la variation de pression à la traversée de l’élargissement, ainsi que la perte par friction induite par la présence de l’obstacle. Aide

Aide application 3 1 2 22 P1 S1 <v1> P2 S2 <v2> Enoncé Retour Aide application 3 sommaire 1 P1 S1 <v1> 2 P2 S2 <v2> A B Enoncé Pour que les différentes équations vues dans ce qui précède puissent être utilisées, il faut vérifier que le régime est turbulent : Calcul des vitesses en amont et en aval : v1 = 2,12 m/s v2 = 0,943 m/s Détermination des régimes d’écoulement en calculant les nombres de Reynolds : Re1 = 212 000 Re2 = 141 000 On est en régime turbulent. Les équations établies peuvent donc être appliquées. Calcul de la variation de pression : p2 – p1 = r v22 ( – 1) Avec b = 0,44 1 b D’où p2 – p1 = 1 113,6 Pa Calcul de Êv : Êv = v22 ( – 1)2 = 0,697 J/kg 1 2 b