Les médiatrices d’un triangle sont-elles concourantes… en classe de cinquième? DEJEAN Audrey, LOZE Delphine, MATHIEU Johan

∙ Analyse à priori ∙ Analyse didactique ∙ Evaluation ∙ Développement Sommaire ∙ Analyse à priori ∙ Analyse didactique ∙ Evaluation ∙ Développement

Activité proposée

Objectifs 1. Conjecturer que les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes 2. Rédiger un programme de construction

D1: Comprendre et reformuler le problème Difficultés attendues D1: Comprendre et reformuler le problème D2: Construction de médiatrices D3: Les médiatrices obtenues ne sont pas concourantes D4: Savoir conjecturer un résultat, une propriété

Organisation mathématique OM1 : [ T1 , t1 , τ1 , Ө1 ] T1 : construire un point à égale distance de trois points non alignés t1 : construire un point à égale distance des trois points qui modélisent les maisons τ1 : construire les médiatrices de deux segments du triangle ABC  (ces deux droites sont sécantes en un point qui est solution du problème posé) Ө1 : deux médiatrices d’un triangle sont sécantes en un point qui est à égale distance des trois sommets du triangle

Organisation mathématique OM2 : [ T2 , t2 , τ2 , Ө2 ] T2 : démontrer que trois droites sont concourantes t2 : démontrer que les trois médiatrices du triangle sont concourantes τ2 : on trace deux médiatrices et on montre que le point d’intersection de ces deux droites appartient à la troisième médiatrice Ө2 : caractérisation de la médiatrice

∙ Moment de première rencontre Organisation didactique ∙ Moment de première rencontre ∙ Moment exploratoire ∙ Moment technologico-théorique ∙ Moment du travail de l’OM ∙ Moment d’institutionnalisation ∙ Moment d’évaluation

Evaluation de l’organisation mathématique OM1 : [ T1 , t1 , τ1 , Ө1 ] T1 : construire un point à égale distance de trois points non alignés τ1 : construire les médiatrices de deux segments du triangle ABC  (ces deux droites sont sécantes en un point qui est solution du problème posé) Ө1 : deux médiatrices d’un triangle sont sécantes en un point qui est à égale distance des trois sommets du triangle

Evaluation de l’organisation mathématique OM2 : [ T2 , t2 , τ2 , Ө2 ] T2 : démontrer que trois droites sont concourantes τ2 : on trace deux médiatrices et on montre que le point d’intersection de ces deux droites appartient à la troisième médiatrice Ө2 : caractérisation de la médiatrice

4. Dialectique du groupe et de l’individu Evaluation de l’organisation didactique 1. Chronogenèse 2. Mésogenèse 3. Topogenèse 4. Dialectique du groupe et de l’individu

Moment de première rencontre Chronogenèse L’ organisation mathématique 1 : Moment de première rencontre (reformulation de l’énoncé…) Moment exploratoire (mise en commun…)

Moment technologico-théorique Moment du travail de l’OM Chronogenèse L’ organisation mathématique 1 (suite) : Moment technologico-théorique Moment du travail de l’OM Moment d’institutionnalisation (programme de construction…)

Absence de filiation entre l’OM1 et l’OM2 Chronogenèse Absence de filiation entre l’OM1 et l’OM2 L’ organisation mathématique 2 : La phase de démonstration a manqué de sens ! → un moment de première rencontre réduit → un moment exploratoire trop bref, trop guidé → des moments de l’étude difficiles à distinguer

Mésogenèse Quels sont les moyens et les ressources didactiques nécessaires ou utiles à la création de l’OM1 et de l’OM2 ?

2. Des phases d’expérimentations successives Mésogenèse 1. Un point remarquable OM1 : 2. Des phases d’expérimentations successives 3. Mise en commun lien entre expérimentation et déduction 4. Une longue phase d’argumentation 5. Alternance des phases de déduction et d’expérimentation

Mésogenèse OM2 : → dialogues avec le groupe classe → des traces écrites communes → des ébauches d’expérimentation → phases de déduction plus présentes

Topogenèse OM1 : ▪ enrichissement du topos de l’élève ▪ rôle du prof. volontairement réduit OM2 : ▪ forte réduction du topos de l’élève ▪ les moments de l’étude relèvent majoritairement du topos de l’enseignant

La classe a-t-elle été un outil efficace Dialectique du groupe et de l’individu ▪ enrichissement du topos d’une majorité de la classe Chacun, à sa mesure et à sa façon, a eu la possibilité concrète de contribuer au travail de la classe. ▪ aucun foyer d’inactivité… mais quelques lieux d’activités différents La classe a-t-elle été un outil efficace au service de chacun de ses membres ?

Comment améliorer notre séance? Gestion de la séance La démonstration La modélisation Le logiciel de géométrie dynamique

La phase de modélisation INDISPENSABLE!

La recherche personnelle de l’élève La gestion de la séance La recherche personnelle de l’élève à mettre au premier plan! L’élève: rassemble son bagage mathématique formule une conjecture Le professeur: a un aperçu du niveau de l’élève est rassuré; le débat qui suit sera dense en propositions

Le professeur devient « porte-craie » Le premier débat Le professeur devient « porte-craie » Le professeur renvoie les questions à la classe fait reformuler si nécessaire L’élève apprend à s’exprimer clairement s’entraine à argumenter Une conjecture est énoncée par la classe

Et la démonstration? Comment? Le professeur doit donner le goût et l’envie de démontrer à ses élèves Comment? Nous devons la motiver, la rendre indispensable S’appuyer sur des figures litigieuses et mener un débat qui ne trouverait pas d’issue

Comment mener la démonstration? Deux temps forts: 1. La phase de recherche et de production d’une preuve 2.La mise en forme de la démonstration

La phase de recherche et de production d’une preuve La recherche doit être libre Il ne faut pas imposer une rédaction rigoureuse L’élève apprend à organiser ses idées L’élève doit trouver les grandes lignes de la démonstration

La phase de recherche et de production d’une preuve

2. La mise en forme de la démonstration Réalisée en classe à partir de l’arbre de démonstration Correction faite par le professeur pendant la séance En devoir à la maison Correction faite par un élève à la séance suivante

La synthèse de la séance ne pas l’oublier! Le logiciel de géométrie dynamique est un atout Observer des cas particuliers Se créer une image mentale Vient conforter le résultat que l’on a démontré

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