MODELES FINANCIERS DE L'ASSURANCE Institut des Actuaires Français Pierre DEVOLDER 28 mai 2003 AXA Belgium UNIVERSITE CATHOLIQUE DE LOUVAIN

BUT DE L'EXPOSE MODELES ACTUARIELS CLASSIQUES DE L'ASSURANCE Calcul viager des primes en assurance-vie Principes de tarification en assurance non-vie MODELES D'ARBITRAGE DE LA FINANCE MODERNE Méthodologie risque neutre UN MARIAGE EST-IL POSSIBLE ? UNE DESCENDANCE EST-ELLE ENVISAGEABLE ?

CADRE THEORIQUE COMMUN ELEMENTS CONSTITUTIFS EN FINANCE ET EN ASSURANCE : temps incertitude PROBLEME ELEMENTAIRE : PRIX EN t = 0 D'UN CASH FLOW FUTUR PAYE EN t = T MONDE DETERMINISTE : THINGS ARE DESPERATELY SIMPLE !

CADRE THEORIQUE COMMUN (2) QUID si : M est aléatoire i est aléatoire T est aléatoire MODELISATION DE L'INCERTAIN PAR : UN ENSEMBLE D'ETATS DU MONDE  UNE MESURE QUANTIFIANT LES CHANCES DE REALISATION  LE CADRE EST-IL EXACTEMENT IDENTIQUE EN ASSURANCE ET EN FINANCE ?

MODELES CLASSIQUES DE L'ASSURANCE TAUX D'ACTUALISATION CONSTANT (Assurance Vie) OU IGNORE (Assurance Non Vie) PHENOMENE ALEATOIRE : OBEISSANT A UNE LOGIQUE DE LOI DES GRANDS NOMBRES NON CORRELE AVEC LES MARCHES FINANCIERS 2 EXEMPLES SIMPLES : ASSURANCE TEMPORAIRE DECES 1 AN CONTRAT DE REASSURANCE EXCESS OF LOSS

ASSURANCE VIE EN CAS DE DECES EN t = 1 : 1 (1) EN CAS DE SURVIE en t = 1 : 0 (2)  = PRIME EN t = 0 1 (1)  = ? t = 0 t = 1 PRINCIPE D'ESPERANCE MATHEMATIQUE CHARGEMENT DE SECURITE : i = déterministe T = déterministe M = aléatoire 0 (2)

REASSURANCE EXCESS OF LOSS (1) X = MONTANT DE SINISTRE AVANT REASSURANCE = VARIABLE ALEATOIRE DE FONCTION DE REPARTITION FIXEE F CONTRAT XL : PAIEMENT PAR LE REASSUREUR DE LA PARTIE DU SINISTRE EXCEDANT UN MONTANT FIXE K : Y = ( X – K) + PRIME DE REASSURANCE :

REASSURANCE EXCESS OF LOSS (2) PRIME PURE : CHARGEMENT DE SECURITE :

MODELES CLASSIQUES DE L'ASSURANCE - CONCLUSION ALEA RISQUE COMPENSATION PAR LA LOI DES GRANDS NOMBRES 1 . ESPERANCE MATHEMATIQUE PAR RAPPORT A LA MESURE DE PROBABILITE REELLE HEDGING IMPARFAIT CHARGEMENT DE SECURITE ET PRICING VARIABLE FONCTION DE L'AVERSION AU RISQUE

MODELES D'ARBITRAGE DE LA FINANCE INCERTITUDE LIEE A L'EVOLUTION D'ACTIFS FINANCIERS (Taux d'intérêt / Cours d'action) Loi des grands nombres ? SUR CES SOUS-JACENTS ALEATOIRES, DEVELOPPEMENT DE PRODUITS A TARIFER 2 EXEMPLES : OPTION SUR ACTION OPTION SUR ZERO COUPON

OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (1) PRODUIT A TARIFER 1 (1)  = ? t = 0 0 (2) t = 1 SOUS-JACENT d.S (d < 1) (1) S t = 0 u.S (u > 1) (2) t = 1 q 1 - q i = déterministe T = déterministe M = aléatoire

OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (2) TARIFICATION PRINCIPE ACTUARIEL : ? + chargement de sécurité … THEORIE FINANCIERE DE L'ARBITRAGE LA PROBABILITE RELLE q N'INTERVIENT PAS DANS LE PRIX LE PRIX EST UNIQUE POUR TOUS LES OPERATEURS

OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (3) TARIFICATION EN MESURE RISQUE NEUTRE PRINCIPE DE DUPLICATION : DUPLICATION DES CASH FLOWS DU PRODUIT A TARIFER PAR UNE COMBINAISON LINEAIRE D'ACTIFS CONNUS (actif sans risque i + actif risqué S) t = 1 (et non pas : t = 0

OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (4) RESOLUTION PRIX INITIAL :

OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (5) LE NOMBRE EST APPELE PROBABILITE RISQUE NEUTRE a) Condition pour être un candidat probabilité : 0  p  1 Condition d'équilibre naturel de marché

OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (6) Interprétation financière de cette probabilité : Dans un nombre virtuel où la vraie probabilité q serait remplacée par le nombre p, le rendement moyen de l'actif risqué correspondrait au taux sans risque i : p . d + (1 – p) . u = 1 + i Lien entre la probabilité réelle q et le nombre p : ? p > < q ? Equilibre économique naturel rendement / risque E (rendement actif risqué) > taux sans risque

OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (7) q . d + (1 – q) . u > 1 + i Or 1 + i = p . d + (1 – p) . u Donc q . d + (1 – q) . u > p . d + (1 – p) . u ⇓ p > q Chargement de sécurité :

MODELE D'ARBITRAGE DE LA FINANCE - CONCLUSION ALEA RISQUE PRINCIPE DE DUPLICATION ESPERANCE MATHEMATIQUE PAR RAPPORT A UNE MESURE DE PROBABILITE MODIFIEE HEDGING PARFAIT PRIX UNIQUE DE MARCHE

OPTION SUR ZERO COUPONS Modèles déterministes i = déterministe i = déterministe M = déterministe M = aléatoire Tarification des Tarification des options zéros-coupons sur zéro-coupons i = aléatoire i = aléatoire M = déterministe M = aléatoire

TARIFICATION DES ZERO-COUPONS DETERMINISTE : STOCHASTIQUE : incertitude sur M = 1 le taux i (zéro coupon) = taux spot futur à l'instant t P (t, s) = Prix à l'instant t d'un zéro coupon d'échéance s

TARIFICATION DES ZERO-COUPONS (2) 1ère IDEE : 2e IDEE :  MODELE D'ARBITRAGE : Non mesurable en t où Q est une mesure de probabilité modifiée (mesure neutre risque)

MODELE GENERAL risque financier Monde stochastique : incertitude sur cash flow les taux futur aléatoire risque d'assurance corrélation entre les 2 aléas ?

OPTION SUR ZERO COUPONS (1) M = Risque financier avec corrélation avec la structure de taux OPTION SUR ZERO COUPON : DROIT D'ACHETER A UN INSTANT f ANTERIEUR A LA MATURITE s, LE ZERO COUPON A UN PRIX FIXE D'AVANCE A L'INSTANT t (t < f < s) MODELE D'ARBITRAGE : avec Q = mesure risque neutre

OPTION SUR ZERO COUPONS (2) Calcul explicite : actualisation espérance risque neutre du cash flow

OPTION SUR ZERO COUPONS (3) Mesure Forward neutre : Nouveau changement de mesure de probabilité P Q Qf monde monde risque monde forward réel neutre neutre

ASSURANCE ET FINANCE (1) avec M = flux lié à des risques financiers et d'assurance TITRISATION DE RISQUES D'ASSURANCE INTEGRATION, A COTE DES RISQUES CLASSIQUES DE MARCHE, DES RISQUES TECHNIQUES D'ASSURANCE, DANS DES PRODUITS FINANCIERS

ASSURANCE ET FINANCE (2) Exemple type : CAT BOND OBLIGATION DONT LES COUPONS ET / OU LE PRINCIPAL SONT MODIFIES EN CAS DE SURVENANCE D'EVENEMENTS ALEATOIRES RELEVANT DE LA SPHERE DE L'ASSURANCE GENERALEMENT DU DOMAINE DES CATASTROPHES (Tremblement de terre / Inondation /…..) (cf. Loi des Grands Nombres ???)

CAT BONDS Exemples MODELE SUR UNE PERIODE : 108 si pas de catastrophe 100 0 si catastrophe MODELE SUR 2 PERIODES : 108 8 100 108 0 100

CAT BONDS MECANISMES D'ATOMISATION DU RISQUE Réassurance Réassureur Classique Assureur Marché financier Cat Bond

CAT BONDS POINT DE VUE DE L'EMETTEUR ALTERNATIVE AUX SCHEMAS TRADITIONNELS DE REASSURANCE APPEL AU MARCHE DES CAPITAUX POUR MIEUX DILUER LE RISQUE augmentation ces dernières années des risques de nature cat modifications climatiques concentration de population dans des zones à risque concentration dans le monde de la réassurance / capital limité

CAT BONDS POINT DE VUE DE L'ACHETEUR INTERET D'UN INVESTISSEUR POUR ACHETER CE TYPE DE PRODUIT ? 2 ELEMENTS : Hedging naturel dans des secteurs influencés favorablement par l'occurrence de catastrophes Elément de diversification : risques non corrélés avec les risques traditionnels des marchés financiers

CAT BONDS Diversification / MODÈLE DE MARKOWITZ PROBLEME DE LA THEORIE DU PORTEFEUILLE maximiser l'espérance de rendement tout en minimisant sa variance (équilibre rendement / risque) M titres risqués de rendement aléatoire (R1,R2,..,RN) E(Ri) = i COV (Ri, Rj) = ij + 1 titre non risqué de rendement certain RO E(R0) = r0 COV (R0, Rj) = 0

MODELE DE MARKOWITZ (2) PORTEFEUILLE : X = (x0, x1…,xN) xi = part investie dans l'actif i CRITÈRE D'OPTIMISATION : rendement moyen du portefeuille : variance du portefeuille :

MODELE DE MARKOWITZ (3) PORTEFEUILLE EFFICIENT X*: Il n'existe pas un autre portefeuille tel que PROBLEME D'OPTIMISATION : minimisation du risque sous contrainte : sous contraintes : et

MODELE DE MARKOWITZ (4) FRONTIERE EFFICIENTE : sans actif avec introduction de non risqué l'actif non risqué droite de marché efficiente rendement r0 écart type

MODELE DE MARKOWITZ (5) INTRODUCTION D'UN ACTIF COMPLEMENTAIRE DE RENDEMENT R N+ 1 ALEATOIRE risque élevé rendement moyen élevé non corrélation avec les N titres risqués déplacement vers le haut de la frontière efficiente

MODELE DE MARKOWITZ (6) meilleur rendement moyen à risque fixé . CAT r0 risque sans actif avec actif CAT CAT

TARIFICATION DES CAT BONDS (1) Application aux cat-bonds c(k) = coupon / principal = cash flow aléatoire payé en k, contingent à un risque d'assurance (k = 1, …., T)

TARIFICATION DES CAT BONDS (2) EXEMPLE DE FORMULE CONTINGENTE Dès qu'une catastrophe se produit durant la vie de l'obligation, les coupons et le principal sont réduits d'un facteur 1 – f (0 < f < 1) et il n'y a plus paiement après.  = instant d'arrivée de la catastrophe = threshold time = premier instant d'un processus ponctuel de Poisson

TARIFICATION DES CAT BONDS (3) HYPOTHÈSE DE NON CORRÉLATION Indépendance entre le processus des taux spot { r } et le processus ponctuel de Poisson où Q = probabilité de survenance de la CAT sous la mesure neutre risque

TARIFICATION DES CAT BONDS (4) COTATION AU PAIR  expression du coupon du CAT Bond  = 1 si f = 0 :

TARIFICATION DES CATS BONDS (5) Q = MESURE RISQUE NEUTRE = ? APPLICATION DES RAISONNEMENTS D'ARBITRAGE AU RISQUE CONTINGENT ? MODÈLE INCOMPLET : L'ENSEMBLE DES CASHFLOWS POSSIBLES NE PEUT ETRE DUPLIQUE A L'AIDE D'ACTIFS DE BASE. NON UNICITE DE LA MESURE RISQUE NEUTRE NON UNICITE DU PRIX BORNES SUR LE PRIX EN VUE D'EVITER LES OPPORTUNITES D'ARBITRAGE

TARIFICATION DES CAT BONDS (6) PRIX PUR (cf Prime pure en assurance) : PRENDRE POUR Q = PROBABILITÉ RÉELLE DE SURVENANCE DE CAT CHARGEMENT POSSIBLE …. VU LA NON UNICITE THEORIQUE DU PRIX D'ARBITRAGE ESTIMER LE PRIX A L'AIDE D'UNE PROBABILITE DE SURVENANCE SUPERIEURE A LA PROBABILITE REELLE (Processus de Poisson :  >  réel)