Cours pour l’Ecole Normale Mixte La perspective David Rolland, professeur IUFM et Ecole Normale

I. La perspective axonométrique C’est une projection orthogonale ou oblique sur un plan, elle n’utilise pas de point de fuite et les rapports de grandeur sont conservés selon les directions. Aujourd’hui, elle est majoritairement utilisée en conception (CAO, architecture). On en distingue plusieurs types.

a/ La perspective isométrique Les angles entre les axes du système de coordonnées cartésiennes orthonormé sont de 120° dans la projection, les rapports de grandeur sont conservés entre les 3 axes. 120°

b. La perspective cavalière (ou projection oblique) Elle a été crée par les militaires pour étudier la balistique et les fortifications. La perspective cavalière est une projection oblique (non orthogonale) de l’objet sur un plan parallèle à l’une de ses faces. Le plan vertical (xOz) est en vraie grandeur et la profondeur est sur le dessin ci-contre de 45°. 45°

Conventions : La face avant de l’objet n’est pas déformée. Les arêtes verticales et horizontales restent verticales et horizontales. Les fuyantes sont réduites pour conserver l’impression de profondeur. La longueur des fuyantes sur le dessin est égale à k fois longueur réelle. K est appelé le rapport de réduction, et est compris entre O et 1. Les fuyantes, droites perpendiculaires à la face avant, sont toutes inclinées d’un même angle α appelé angle de fuyantes. On complète la représentation en traçant les arêtes cachées en traits pointillés.

Règles de la perspective cavalière : La représentation d’une droite est une droite ou un point. Les représentations de deux droites parallèles sont deux droites parallèles. Il y a conservation des longueurs de deux segments parallèles. Les représentations des figures situées dans les plans vus de face, appelés plans frontaux, sont en « vraie grandeur ». Si on note α l’angle de fuite et k le coefficient de réduction, on a très souvent k = cos (α).

La méthode de représentation en perspective cavalière donne de l’objet une vue globale. Mais si l’objet est un peu compliqué, le dessin devient très confus. Certaines surfaces sont déformées. Il est difficile d’indiquer les dimensions.

Exemple : AD = BC car (AD)//(BC) AE = DF car (AE)//(DF) Mais AB ≠ AE sur la figure alors qu’ils sont égaux dans la réalité.

Qu’appelle-t-on perspective cavalière ? Soit dans l’espace un plan (P) et une droite (d) ni contenue dans (P) ni perpendiculaire à (P). Considérons un objet quelconque et projetons-le sur le plan (P) parallèlement à la droite (d). La projection ainsi obtenue sur le plan (P) est une représentation en perspective cavalière de l’objet. Le dessin en perspective cavalière fait donc appel à des projections cylindriques. En particulier, l’ombre d’un objet placé au soleil sur un plan horizontal est une perspective cavalière de cet objet.

Propriétés fondamentales de la perspective cavalière : - Elle conserve les milieux. - Elle conserve le parallélisme. - Elle conserve le rapport des longueurs de deux segments parallèles. - Toute figure contenue dans le plan parallèle à (P) est projetée en vraie grandeur. - Elle conserve l’alignement. - Les cercles sont représentés par des segments, des cercles ou des ellipses.

Influence de l’angle de fuite sur la perspective Pour une position donnée de l’objet à représenter, on change considérablement la représentation de cet objet en changeant l’angle de fuite. Voici par exemple trois vues perspectives d’un cube dont la face avant est contenue dans le plan frontal. Les angles de fuite valent respectivement 45°, 135° et 10°.

Exercice :

Comment choisir la position de l’objet à représenter ? Pour choisir cette position, il faut tenir compte de deux exigences. On souhaite conserver le maximum d'informations sur la forme de l'objet, mais aussi faciliter le plus possible la réalisation du dessin. Prenons l'exemple d'un cube. Placé dans une position quelconque sur le sol, on peut constater que toutes ses faces sont représentées par des parallélogrammes.(figure 6)

Cependant, il existe une position dans laquelle deux faces sont représentées par des carrés, comme dans la réalité. Ceci se produit lorsque la face avant du cube est parallèle au tableau. C'est donc cette position que nous allons privilégier. (figure 7). Pour d’autres polyèdres, des pyramides par exemple, l’expérience montre qu’on rend la construction d’une vue perspective plus facile en plaçant une arête de la base parallèlement à la ligne de terre.

C. Exercices sur la perspective cavalière : EX. 1 : solides en vrac Pour chacun des solides, donne le nombre de sommets, d'arêtes et de faces.

EX. 2 : avec un cube Donne le nombre de sommets, le nombre d'arêtes et le nombre de faces de ce cube. b. Quelle est la nature de la face PNST ? c. Quelle est la nature de la face POIN ? d. Quelles sont les faces cachées du cube ? e. Nomme la (ou les) face(s) parallèle(s) à la face POIN. f. Nomme la (ou les) face(s) perpendiculaire(s) à la face PNST. g. Cite toutes les arêtes de même longueur que l'arête [PO]. h. Combien d'arêtes ne sont pas visibles ? Nomme-les. i. Si on pose ce cube sur la face NIES, les faces POIN et OUEI étant visibles, quelles sont alors les faces cachées de ce cube ?

EX. 3 : Vrai ou Faux On considère le pavé droit ci-contre. Pour chaque question, indiquer si elle est vraie ou fausse. Les faces ABCD et EFGH sont parallèles. b. La face ABCD est un carré. c. L'angle GHD mesure 120° environ. d. ABC est un triangle rectangle et isocèle en B. e. L'angle BEF mesure moins de 90°. f. L'angle ABF est un angle droit. g. Les arêtes [AB] et [BF] sont parallèles. h. Les arêtes [EH] et [BF] sont sécantes. i. Les arêtes [CG] et [FG] ne sont pas perpendiculaires. j. La face ADHE est un rectangle.

EX. 4 : perspective et cube Un cube a une arête de 10 cm. A main levée, dessiner ce cube en perspective cavalière et coder votre dessin. b. Construire sur papier quadrillé une représentation en perspective cavalière à l’échelle ½ et un angle de fuite de 60°. EX. 5 : perspective sur quadrillage Reproduire puis compléter les dessins suivants pour obtenir des représentations en perspectives cavalières d’un pavé droit.

EX. 6 : les patrons du cube Dessiner tous les patrons d’un cube d’arête 2 cm. EX. 7 : patrons d’un pavé ?

II. La perspective cônique La perspective cônique a été inventée par Filippo Brunelleschi en 1415. Cette invention a ouvert la voie à la Renaissance artistique. Il s’agit d’une projection selon un faisceau de droites passant par un même point.

1/ Le problème de Pascal Un bateau s’éloigne du rivage. Quand le bateau s’éloigne, le point E s’éloigne du point D et le point C se rapproche indéfiniment du point P sans jamais l’atteindre. Le point P est appelé point de fuite de la trajectoire de C sur la vitre

Une flottille s’éloigne du rivage Supposons maintenant que deux bateaux naviguant de front s’éloignent du rivage toujours perpendiculairement à celui-ci. Le premier E1 est celui de Pascal : l’observateur le voit en regardant droit devant lui. Le second E2 navigue en parallèle, par exemple à droite de E1. Si l’observateur suit les deux bateaux avec des marqueurs sur la vitre, quelles trajectoires va-t-il obtenir ?

Généralisation : Si toute une flottille de bateaux s’éloigne de front du rivage, leurs trajectoires sur la vitre auront toutes le même point de fuite. Et si tous les bateaux s’éloignent de la vitre en naviguant de biais, c’est à dire toujours sur des trajectoires parallèles, mais cette fois non perpendiculaires à la vitre ?

Bien avant Pascal, les peintres ont utilisé une vitre disposée verticalement devant eux pour y dessiner ce qu’ils voyaient au travers. Un tel dispositif est appelé fenêtre d’Alberti, du nom du premier auteur qui a exposé les principes de la perspective. La figure 6 montre une personne en train de dessiner un cube sur une fenêtre d’Alberti. Pour que le paysage à dessiner soit bien déterminé, il faut que l’oeil de l’observateur demeure fixe. C’est pourquoi la dessinatrice de la figure 6 regarde au travers d’un oeilleton. Un peintre qui représente une route fuyant vers l’horizon ou des lignes de carrelage parallèles ou les poutres parallèles d’un plafond, peut pour y arriver se servir – effectivement ou mentalement –, d’une fenêtre d’Alberti.

2/ Perspective à un point de fuite (si le tableau est parallèle à l’objet à représenter, dans ce cas, certaines droites parallèles seront parallèles dans la perspective).

Quelques règles Règle du point de fuite : Tout ensemble de parallèles doit être représenté sur un tableau par des segments convergeant en un même point de fuite (sauf si les droites à représenter sont parallèles à la vitre !).

Tableaux et dessins respectant cette règle : Dans le tableau La Profanation de l’hostie ci-contre (figure 7) de peintre Paolo Ucello, on relève un seul point de fuite, tant pour les lignes de carreaux que pour les poutres de plafond.

Tableaux et dessins ne respectant pas cette règle : La figure 8 ci-dessous montre la dernière cène de Duccio Di Buoninsegna (Sienne, v. 1255 – Sienne, v.1318/19), dans laquelle on vérifie l'existence de différents points de fuite pour un même ensemble de parallèles.

Tracé d’un carrelage : Le tableau de Paolo Uccello (figure 7) nous invite à examiner un deuxième problème que se sont posé les peintres de la Renaissance : Il s’agit du tracé d’un carrelage. Pour dessiner un carrelage à travers une fenêtre d’Alberti, il suffit tout simplement de suivre avec un marqueur les joints du carrelage tels qu’on les aperçoit à travers la fenêtre. Mais supposons qu’on ne dispose pas d’une fenêtre d’Alberti et qu’on ait dessiné une première rangée de carreaux comme sur la figure 9. On a respecté la règle du point de fuite expliquée ci-dessus. Mais comment ensuite déterminer la largeur de la deuxième rangée de carreaux, puis la largeur de la troisième, et ainsi de suite? Alberti rapporte que certains peintres prenaient pour largeur de la deuxième rangée les deux tiers de la largeur de la première, et pour largeur de la troisième les deux tiers de la largeur de la deuxième, et ainsi de suite en progression géométrique. Cette méthode aboutit-elle à un dessin conforme à celui que donnerait une fenêtre d’Alberti ?

La figure 12 montre le carrelage vu du dessus, et sur lequel on a dessiné un réseau de diagonales. Celles-ci sont évidemment parallèles, donc convergent vers un point de fuite. Prolongeons-les jusqu’à ce point (figure 13). La figure fait alors apparaître quelques sommets de carreaux de la deuxième et de la troisième rangée. On dessine alors les joints du carrelage qui sont parallèles à la vitre et qui passent par ces points. Comme le montre la figure 14, on peut recommencer ce processus et dessiner ainsi le carrelage sur une profondeur aussi grande que l’on veut.

Règle « d’Alberti » : Dans la représentation d’un carrelage en perspective à point de fuite, les points situés en diagonale des carreaux doivent être alignés.

Tableaux et dessins ne respectant pas cette règle : La figure ci-dessous montre L’annonciation d’Ambrogio Lorenzetti (Pinacothèque de Sienne, 1344). Dans cette peinture, le carrelage n’a pas été dessiné selon la règle d’Alberti. En effet, la figure ci-dessous montre, sur un agrandissement d’une partie de ce carrelage, que les diagonales des carreaux ne convergent pas vers le même point de fuite.

Exercices :

b/ La perspective à deux points point de fuite (si le tableau n’est pas parallèle à l’objet à représenter, seules les verticales resteront parallèles entre elles dans la perspective).

David Rolland, pEN et PIUFM Fin du diaporama David Rolland, pEN et PIUFM