Un parcours d’étude et de recherche sur les nombres relatifs en 5e Des pistes pour un atelier de travail et de débat Groupe didactique de l’IREM d’Aix-Marseille Journées AMPERES des 19 & 20 mai 2009

Notre choix didactique On se place dans un cadre interne aux mathématiques, ce qui évite de devoir immédiatement traiter de la modélisation Les relatifs sont des programmes de calcul P1 : « à un nombre on ajoute un deuxième et on soustrait un troisième ». Le relatif est le programme P2, simplifié à partir de P1 tout en lui étant équivalent : « à un nombre on ajoute ou soustrait un deuxième » 

Notre choix didactique Avant d’aborder ce PER, les élèves ont travaillé la définition de la différence (dans N ou dans D ) ; c’est une connaissance disponible, non problématique. La différence des nombres a et b est d tel que a + d = b et on note d = b – a Le début de l’enseignement s’appuie sur des moments courts de calcul mental et réfléchi (10 min en début d’heure) étalés dans la durée 

Temps 1 : élaboration d’un stratégie pour calculer mentalement a + b - c Etape 1 : cas b > c Consigne 1 : Effectue mentalement les calculs suivants : 17 + 21 - 1 ; 148 + 199 - 99 ; 17 + 35 - 15 ; 131 + 256 - 56 ; 39 + 58 – 8 ; 185 + 2017 - 17. P : Faisant de la sorte, est-on sûr d’avoir obtenu les résultats exacts  ? Institutionnalisation de cette nouvelle technique Exercice :15 + 37 – 7 ; 121 + 229 – 29 ; 58 + 1024 – 24 ; 104 + 72 – 12.

Temps 1 : élaboration d’un stratégie pour calculer mentalement a + b - c Etape 2 : b > c ou b < c Consigne 2 : Effectue mentalement les calculs suivants : 14 + 17 - 15 ; 114 + 17 - 15 ; 1802 + 319 - 315 ; 4374 + 62 - 61 ; 4374 + 61 – 62 ; 7081 + 61 – 62 . P : A quoi équivaut le programme de calcul « ajouter 61 puis soustraire 62 » ? Nouvelle institutionnalisation : « Ajouter 61 et soustraire 62 à un nombre revient à soustraire 1 à ce nombre  »

Temps 1 : élaboration d’un stratégie pour calculer mentalement a + b - c Etape 3 : c > b Consigne 3 : Effectue mentalement les calculs suivants : 458 + 45 - 46 ; 3469 + 45 – 46 ; 3469 + 124 - 125 ; 15627 + 124 – 125 ; 15627 + 313 - 314 ; 823 + 313 – 314 ; 823 + 32 - 33 ; 4586 + 32 – 33 ; 4586 + 7538 – 7539 ; 3,5 + 32 – 31 ; 823 + 7,2 – 8,2. P : « Qu’avons-nous appris de ces calculs ? » L’attention des élèves est attirée par ce qui se fait avec + b – c.

Temps 1 : élaboration d’un stratégie pour calculer mentalement a + b - c Institutionnalisation : 3. Une nouvelle notation pour simplifier l’écriture  Pour simplifier l’écriture du programme de calcul, « à un nombre, on ajoute 45 et on soustrait 46 », on aurait pu écrire : … + 45 – 46 = … - 1. On a préféré écrire : +45 – 46 = -1 qui signifie que si à un nombre, on ajoute 45 puis on soustrait 46, alors on lui soustrait 1. Exercice : Trouver d’autres écritures qui donnent –1.

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs Etape 4 : mise en évidence de nombres négatifs 1re voie : Trouvez des programmes de calculs revenant à soustraire 2, 3, 4, 5 ou 6 au premier nombre, donc à écrire –2, -3, -4, -5 ou –6 2de voie : liste de calculs en travail à la maison Ecris sous forme simplifiée à quoi équivaut l’application au premier nombre de l’addition suivie de la soustraction, dans ces calculs : 15627 + 314 - 316 ; 823 + 31- 34 ; 4586 + 44 – 48 ; 26 + 52 – 55 ; 364,5 + 524,1 – 524,6 ; 1010 + 0,21 – 0,31 ; 23,6 + 2,2 – 2,9.

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs Exercice : pour chaque programme de calcul ci-dessous, donnez le programme de calcul équivalent le plus simple : +4 – 5 ; +3,7 – 4,7 ; +6,34 – 9,34 ; +503,9 – 510,9 ; +54 – 70 ; +768,3 – 769, 5 ; +72,165 – 74,166  +0,8 – 0,9 ; +1,7 – 1,79 ; +2,85 – 22,85. Question par P ou les élèves : « On a vu qu’on pouvait écrire de manière simplifiée un programme de calcul qui aboutit à soustraire, peut-on faire de même pour ajouter ? »

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs + 21 – 1 = + 20 (ajouter 21 puis soustraire 1 équivaut à ajouter 20) On décide, par commodité, de ne pas écrire le premier nombre Institutionnalisation : Si à un nombre on ajoute 2017 puis on soustrait 17, alors on ajoute 2000 à ce nombre : on le note : + 2017 – 17 = + 2000 . Remarque, pour gagner du temps, cette phrase peut être remplacée par: … + 2017 – 17 = … + 2000 Exercice : + 7 – 11 = ; + 5 – 2 = ; + 8 – 13 = ; - 12 + 10 = ; + 8 – 3 = ; - 7 + 4 = ; - 11 + 7 = ; - 2 + 5 =; - 13 + 8 = ; + 10 – 12 = ; - 3 + 8 = ; + 4 – 7 =

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs Cours II. Un nouveau type de calculs 1. Exemples +7 – 11 = -4 - 3 + 8 = + 5  2. Propriété de ce nouveau type de calculs Si on change l’ordre des opérations dans un programme de calcul contenant des additions et des soustractions, on obtient un programme de calcul équivalent : +7 – 11 = - 11 + 7 = - 4 - 3 + 8 = + 8 – 3 = + 5 Type d’exercices : - 8 + 5 = ; - 8 – 8 = ; + 4 + 5 = ; - 10 – 20 = ; -8 + 8 = ; - 5 + 5 – 1= ; + 7 – 4 – 3 = ;+ 4 – 4 + 2 =

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs III. De nouveaux nombres : les nombres négatifs 1. Les nombres négatifs, les nombres relatifs Définition : On décide de considérer -1, -2, -3 … comme de nouveaux nombres. Ils sont précédés d’un signe « - » et on les appelle « nombres négatifs ». On les écrit : -1, -2, -3,… Remarques : a) - 5 + 5 – 1= - 1 Donc : 0 – 1= -1 b) + 4– 4 + 2 = + 2 Or 0 + 2 = 2 Donc +2 = 2  

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs Définitions : Les nombres (arithmétiques), utilisés jusqu’à présent, peuvent donc être notés avec un signe + ; on les appelle des nombres positifs. b) Nombres positifs et négatifs sont appelés « nombres relatifs » Remarque : Le nombre 0 est un nombre à la fois positif et négatif (un programme de calcul ne change pas s’il est équivalent à ajouter ou soustraire 0)

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs Etape 5 : addition des relatifs P : Comment savoir si ces nombres nouveaux, que l’on appelle nombres relatifs, se comportent comme les nombres que l’on connaissait auparavant ? Pour cela, recherchons ce qui se fait avec des nombres. En principe, les élèves répondent qu’on calcule avec les nombres  P : par exemple peut-on calculer la somme et la différence de +7 et +2, de +7 et -2, de -7 et -2, de -5 et +3 ? AU TRAVAIL !!!

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs Consigne 5 : Calculer les sommes suivantes de nombres relatifs : +7 + (-2) ; -7 + (-2)  Une difficulté : le raisonnement utilisé, basé sur les programmes de calcul, s’applique à 7 - 2 mais son extension à +7 + (-2) mérite d’être interrogée, de même que pour la transformation de -7 + (-2) en –7 – 2. ATTENTION !!! CHANGEMENT PAR RAPPORT AU FICHIER EN LIGNE… Une 1re voie : P reprend la main : une idée difficile à trouver, est « d’emprunter 2 à 7 » dans le calcul de +7 + (-2)

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 1re voie (non testée) +7 + (-2) = 7 + (-2) = 5 + 2 + (-2) On admet l’associativité de + dans Z Nouvelle question : à quoi peut être égal 2 + (-2) ? P : 2 + (-2) est-il ou non égal à 0, comme certains le disent ? Qu’est-ce qui nous le prouve ? On transforme ainsi la question « 2 + (-2) = 0 ? » en résoudre : « l’équation 2 + x = 0 », donc trouver x qui, ajouté à 2, donne 0. 2 + … = 0, c’est la définition de la différence de 0 et 2, notée 0 – 2 = -2

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 1re voie (non testée) On vient donc de démontrer que 2 + (-2) = 0. Il en est de même pour 3 + (-3), etc. -2 + (+2) = -2 + 2 = 0 (puisque +2 = 2), On dit que - 8 est l’opposé de + 8 et que + 8 est l’opposé de - 8, ou encore que + 8 et – 8 sont opposés. On a établi la commutativité pour l’addition des opposés. Terminez le calcul

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 1re voie (non testée) En utilisant le résultat présupposé par les élèves, « ce calcul donne -9 ». On sait déjà que -7 - 2 = -9, donc : -7 + (-2) = -7 - 2 + 2 + (-2) = -7 - 2 + 0 = -9 Exercices d’entraînement du type : Calculer 10 + (-15) = ; -3 + (-9) = ; -4 + (+9) = ; -9 + (-3) = ; 8 + (-5) = ; 5,3 + (-5,12) = ; -5 + (+ 8)= ; -15 + (+ 10) = ; 9 + (-4) =

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 2e voie (testée) Consigne 5 : Calculer les sommes suivantes de nombres relatifs : +7 + (-2) ; -7 + (-2)  Une difficulté : le raisonnement utilisé, basé sur les programmes de calcul, s’applique à 7 - 2 mais son extension à +7 + (-2) mérite d’être interrogée, de même que pour la transformation de -7 + (-2) en –7 – 2. RETOUR AU FICHIER MIS EN LIGNE P reprend la main : une idée difficile à trouver, introduire 0 dans le calcul de +7 + (-2)

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 2e voie (testée) +7 + (-2) = 7 + (-2) = 7 + 0 + (-2) S’entraîner à écrire 0 :  – 8 + 8 = 0, – 5 + 5 = 0 et + 4 – 4 = 0 avec des programmes de calcul P : Quelle écriture pourrait nous servir pour remplacer 0 dans le calcul de 7 + 0 + (-2) ? Quatre possibilités… AU TRAVAIL !!!

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 2e voie (testée) P : Ne peut-on examiner les quatre calculs précédents de manière à faire apparaître la somme de deux opposés et la remplacer par 0 ? P : 2 + (-2) est-il ou non égal à 0 ? Qu’est-ce qui nous le prouve ? Peut-on démontrer qu’ajouter à un nombre son opposé donne une somme nulle ? On transforme ainsi la question « 2 + (-2) = 0 ? » en résoudre : « l’équation 2 + x = 0 », donc trouver x qui, ajouté à 2, donne 0. On vient donc de démontrer que 2 + (-2) = 0. Il en est de même pour 3 + (-3), etc. -2 + (+2) = -2 + 2 = 0 (puisque +2 = 2), ce qui établit la commutativité pour l’addition des opposés.

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 2e voie (testée) = -7 – 2 + 2 + (-2) = -9 + 0 = -9 Exercice : Calculer 10 + (-15) = ; -3 + (-9) = ; -4 + (+9) = ; -9 + (-3) = ; 8 + (-5) = ; 5,3 + (-5,12) = ; -5 + (+ 8)= ; -15 + (+ 10) = ; 9 + (-4) = AU TRAVAIL !!!

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 3e voie (non testée) Consigne 5 : Calculer les sommes suivantes de nombres relatifs : +7 + (-2) ; -7 + (-2)  Une difficulté : le raisonnement utilisé, basé sur les programmes de calcul, s’applique à 7 - 2 mais son extension à +7 + (-2) mérite d’être interrogée, de même que pour la transformation de -7 + (-2) en –7 – 2. P reprend la main : une idée difficile à trouver, « et si on revenait à la définition des programmes de calcul ? »

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 3e voie (non testée) Par exemple que 7 est une simplification pour un programme de calcul, comme « à un nombre on ajoute 9 et on soustrait 2 » et -2 « à un nombre on ajoute 3 et on soustrait 5 » Ainsi le calcul 7 + (-2) revient à dire « qu’à un nombre on ajoute 9, on soustrait 2, puis on ajoute 3 et on soustrait 5 », donc à ce nombre on ajoute 9 – 2 + 3 – 5 qui font 5. Donc 7 + (-2) = 5 = +5

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 3e voie (non testée) On continue avec les autres calculs : -7 + (-2) -7 signifie qu’à un nombre on a soustrait 7, ce qu’on peut par exemple écrire qu’on lui ajoute 2 et soustrait 9 peut-être -2 s’est par exemple encore qu’on ajoute 3 et soustrait 5 Donc : -7 + (-2) signifie qu’à un nombre on ajoute 2, soustrait 9, ajoute 3 et soustrait 5, donc qu’on fait 2 – 9 + 3 – 5, donc qu’on a soustrait 9. Conclusion : -7 + (-2) = -9

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs Remarque : en suivant la 3e voie, on n’a pas eu besoin de rencontrer les nombres opposés On consigne ce que l’on vient de trouver dans le cahier de cours qui porte sur le calcul de la somme de deux relatifs. La commutativité de + est rencontrée en remarquant l’égalité des résultats obtenus en commutant les termes (admise), mais il est possible d’en faire une démonstration orale Exercices : On peut désormais donner aux élèves les exercices classiques d’entraînement au calcul de la somme de deux relatifs.

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 1re voie non testée Etape 6  P : Après l’addition, la soustraction est-elle une autre opération possible avec les relatifs ? On se souvient que l’on avait buté sur les calculs +7 – (-2) et -7 – (-2) … Les élèves se lancent dans diverses tentatives ; certains essaient de faire intervenir la technique de l’emprunt donc faire intervenir l’opposé de -2 mais sans succès car 5 + 2 – (-2) 1re voie non testée P : Peut-on utiliser le technique de l’emprunt en utilisant -2 ? A quoi faut-il « emprunter » ?

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 1re voie non testée Si on écrit : +7 – (-2) = 9 -2 – (-2) = 9 + (-2) – (-2) = 9 + 0 On admet + a – b = + (a – b ) = 9 Puis les élèves résolvent par eux-mêmes, sans l’aide du professeur, le cas du calcul de -7 – (-2) « par emprunt » -7 = -5 – 2 = -5 + (-2)

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 2e voie testée Si on écrit : +7 – (-2) = +7 -2 + (+2) – (-2) ou si on choisit d’écrire : +7 – (-2) = 7 +2 + (-2) – (-2) Que se passe-t-il ??? Puis les élèves résolvent par eux-mêmes, sans l’aide du professeur, le cas du calcul de -7 – (-2)

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs Les élèves continuent à utiliser cette technique dans d’autres calculs, le plus judicieusement possible : 10 - (-15) = ; -3 - (-9) = ; -4 - (+9) = ; -9 - (-3) = ; 8 - (-5) = ; 5,3 - (-5,12) = ; -5 - (+ 8)= : -15 - (+ 10) = ; 9 - (-4) = On consigne dans le cahier de cours la technique la plus économique Exercice : Déterminer les valeurs de d dans les différents cas suivants : 6,3 + d = 2,9 ;d + (-1,7) = -2,4 ; -5,3 = d +(-2,8) ;  

Question génératrice de l’étude : comment faire pour comparer ? L’ordre et les inéquations Le début d’un long parcours de la 5e (et même avant) à la 3e (et même après) Ebauche pour le PER sur les relatifs Question génératrice de l’étude : comment faire pour comparer ?

En 5e : l’ordre dans Z et dans D Les élèves ont étudié la nécessité des nombres relatifs, leur addition et leur soustraction (l’exposé de ce PER sera fait le 16 avril) On se pose la question Q : « Comment faire pour comparer deux relatifs ? » Si l’on a appris à comparer deux positifs, la chose est moins probante lorsqu’il s’agit de comparer un négatif et un positif, ou deux négatifs. Les élèves recourent à la connaissance « sociale » de telles comparaisons ; le professeur explique que l’on va en rechercher une validation mathématique

En 5e : l’ordre dans Z et dans D On a déjà remarqué que lorsqu’on soustrait un positif à un nombre qui lui est plus grand, on obtient un positif ; on obtient un négatif dans le cas contraire : 9 – 3 =  et 3 – 9 = ; 5,7 – 2,3 = et 2,3 – 5,7 = ; etc. On a ainsi travaillé : a et b étant deux nombres positifs si a < b, alors a – b est négatif si a > b, alors a – b est positif Question : Peut-on se servir de cette remarque pour répondre à la question Q : « Comment faire pour comparer deux relatifs ? » ?

En 5e : l’ordre dans Z et dans D Question : La réciproque étant vraie pour les positifs, pourrait-on l’étendre aux autres nombres que l’on souhaite comparer ? On la teste sur des exemples : -7 – (-9) = -7 + 9 = +2 ; ce qui voudrait donc dire que -7 > -9 -1,5 – (+1,2) = -1,5 – 1,2 = -2,7 ; ce qui voudrait donc dire que -1,5 < +1,2 -0,43 - (-0,58) = -0,43 + 0,58 = +0,15 ; ce qui voudrait donc dire que -0,43 > -0,58

En 5e : l’ordre dans Z et dans D La question demeure : comment établir mathématiquement ces résultats ? Le professeur fait remarquer que pour comparer deux nombres, il suffit de les ajouter à un même nombre et de comparer les résultats, si on sait le faire. On postule l’extension à Z et D de la compatibilité de l’ordre avec l’addition dans N ; on se sert de : « Si a + c < b + c alors a < b » Remarque : c’est le programme qui l’impose puisqu’on n’a pas la définition a < b  a – b < 0 qui permet d’établir ensuite la compatibilité. Question : qu’ajouter à -7 et -9 pour pouvoir ainsi les comparer ? A -1,5 et +1,2 ? A -0,43 et -0,58 ?

En 5e : l’ordre dans Z et dans D Nouvelles questions : Quelle est la règle générale de comparaison ? Peut-on ordonner ainsi les entiers relatifs ? Commençons par comparer les négatifs autour de -7 et -9, puis tous les négatifs. On sait que 0 < 1 < 2 < 3 <… Quel lien entre les suites ordonnées des négatifs et des positifs ? Des élèves savent que -1 < 0 : le démontrer ! On étend l’ordre sur Z à D et on s’exerce. On établit ainsi les règles de comparaison des relatifs.

En 4e : ordre et multiplication (ébauche) Sans calcul, dire quel est le signe de 7,352 – 2,302 ? -8,4 – 2,4 ? -0,025 - 0,25 ? On reprend ce qui a été étudié en 5e et qui n’a pas été institutionnalisé, propre à l’ordre et au signe de la différence. On avait vu pour les positifs que si a < b alors a – b négatif. Cette propriété s’étend-elle à tous les relatifs ? Cette propriété a-t-elle une réciproque vraie ? La réponse à cette question passe par l’examen des quatre cas pour les signes de a et b.

En 4e : ordre et multiplication (ébauche) On établit ainsi : a < b  a – b < 0 et a > b  a – b > 0 Remarques : *comme un relatif est soit positif, soit négatif, soit nul, alors étant donnés deux relatifs a et b, on a soit a < b, soit a > b, soit a = b ( Q est totalement ordonné) *a – 0 = a, {a positif}  {a > 0} et {a négatif}  {a < 0} Question : Sachant que n < -1, peut-on établir une inégalité pour n + 1 ? n – 1 ? 5 × n ? -5 × n ? n/5 ? n/(-5) ? Vérifier les affirmations sur des valeurs numériques.

En 4e : ordre et multiplication (ébauche) Question : comment se fait-il que si on ajoute ou retranche un même nombre, l’inégalité ne semble pas changer, mais que c’est faux si on multiplie ? Quelles propriétés expliquent et justifient que partant de n < a, on ait : n ± 1 < a ± 1, 5n < 5a et -5n > -5a ? Pourquoi cela ? On établit ainsi : Si a < b alors a – b < 0 alors (a ± c) – (b ± c) < 0 alors a ± c < b ± c Avec c > 0, si a < b alors (a – b)c < 0 donc ac < bc Avec c < 0, si a < b alors (a – b)c > 0 donc ac > bc