Vecteurs algébriques Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction L’étude des combinaisons linéaires de vecteurs géométriques nous a permis de voir qu’il est possible, dans un repère donné, de caractériser un vecteur par ses composantes. Lorsque le repère est celui d’une droite, il suffit d’une composante pour caractériser un vecteur de cette droite. Dans un plan de repère connu, un vecteur du plan peut être caractérisé par un couple de composantes. Pour caractériser un vecteur de l’espace, il faut trois composantes. La description d’un vecteur par ses composantes dans un repère est appelé vecteur algébrique et c’est sur cette représentation des vecteurs que nous porterons maintenant notre attention. Dans cette étude, nous considérerons des repères particuliers du plan cartésien et de l’espace cartésien.

Repère orthonormé DÉFINITION Repère orthonormé d’un plan Un repère orthonormé d’un plan est un ensemble contenant un point du plan et deux vecteurs de ce plan, unitaires et perpendiculaires entre eux (orthogonaux). On utilise un repère orthonormé dans la construction du plan cartésien ou plan réel que l’on désigne également par R2. En fait, il y a plusieurs repères orthonormés possibles, nous allons en privilégier un.

Plan cartésien DÉFINITION Plan cartésien Le plan cartésien (ou plan réel) est un plan de repère orthonormé {O, i , j }, où i est horizontal et orienté vers la droite et j est vertical et orienté vers le haut. Tout vecteur du plan peut alors s’écrire sous la forme : v = v1 i + v2 j ou sous la forme : v = (v1; v2). En particulier : i = 1 i + 0 j = (1; 0) et j = 0 i + 1 j = (0; 1)

Vecteur algébrique S S S DÉFINITION Vecteur algébrique dans R2 Un vecteur algébrique de R2 est un couple (v1; v2). Il est représenté dans le plan cartésien par un vecteur dont l’origine coïncide avec l’origine du système d’axes et dont l’extrémité est le point (v1; v2). Le vecteur algébrique de R2 possède les caractéristiques suivantes : • une longueur appelée module, notée v et définie par v = v12 + v22 • une direction définie par l’angle a entre la droite support du vecteur et la partie positive de l’axe horizontal, où :  v2 v1 a = arctan • un sens défini par l’angle q mesuré dans le sens antihoraire à partir de la direc-tion positive de l’axe horizontal. S S S

Égalité Nous avons défini de nouveaux objets d’études, les vecteurs algébriques. Il nous faut maintenant définir l’égalité de tels objets. DÉFINITION Égalité de vecteurs algébriques dans R2 Deux vecteurs sont égaux (ou équipol-lents) si et seulement si leurs composantes respectives sont égales. Symboliquement : u = (u1; u2) et v = (v1; v2) Û u1 = v1 et u2 = v2 u = v On peut maintenant avoir recours à l’égalité pour définir les opérations sur les vecteurs algébriques.

Opérations S DÉFINITIONS Addition de vecteurs algébriques dans R2 , deux vec-teurs algébriques dans R2. Soit u = (u1; u2) et v = (v1; v2) Le vecteur somme est défini par l’égalité suivante : u + v = (u1; u2) + (v1; v2) = (u1+ v1; u2+ v2) Multiplication d’un vecteur algébrique par un scalaire dans R2 = (u1; u2), un vecteur algébrique dans R2 et k un scalaire. Soit u La multiplication du vecteur par le scalaire k donne le vecteur défini par l’égalité suivante : k u = k(u1; u2) = (ku1; ku2) S

Propriétés des opérations Î R2, l’ensemble des vecteurs algébriques, et pour tout scalaire p et q Î  R, les propriétés suivantes s’appliquent : Pour tout vecteur u, v et w 1. Fermeture de l’addition sur l’ensemble des vecteurs Î R2 u + v 2. Commutativité de l’addition des vecteurs = u + v 3. Associativité de l’addition des vecteurs    = u ( + ) + v + ( + ) w 4. Existence d’un élément neutre pour l’addition des vecteurs Il existe, dans R2, un vecteur nul, noté  , tel que :  = u + 5. Existence d’un élément opposé ( symétrique) pour l’addition des vecteurs   Pour tout vecteur Î R2, il existe, dans R2, un vecteur opposé, noté – u tel que : u + (– ) = (– ) + =

Propriétés des opérations Pour tout vecteur Î R2, l’ensemble des vecteurs algébriques, et pour tout scalaire p et q Î  R, les propriétés suivantes s’appliquent : u, v et w 6. Fermeture de la multiplication par un scalaire sur l’ensemble des vecteurs p Î R2 u 7. Distributivité de la multiplication d’un vecteur sur une somme de scalaires   (p + q) = p + q u 8. Distributivité de la multiplication par un scalaire sur une somme de vecteurs  p( + ) = p + p u v 9. Associativité de la multiplication d’un vecteur avec le produit de scalaires  (pq) = p (q ) u 10. Élément neutre pour la multiplication d’un vecteur par un scalaire 1 = u

Exemple 8.1.2 S Représenter graphiquement les vecteurs u v = (6; 4) et = (1; –2) 1 2 w Déterminer les composantes, le module et le sens du vecteur : = u + 3 v S En effectuant les opérations de multiplication par un scalaire et d’addition des vecteurs, on obtient : w = 1 2 u + 3 v (6; 4) + 3(1; –2) = (3; 2) + (3; –6) = (6; –4) Les composantes sont 6 et –4. Le module est : w = 62 + (–4)2 = 7,211… ≈ 7,2 –4 6 L’angle a est : a = arctan = –33,69° Puisque le vecteur est dans le quatrième quadrant, on a : q = 360° – 33,69° = 326,31°

Exercice S Représenter graphiquement les vecteurs u = (2; 3) et v = (2; 1) Déterminer les composantes, le module et le sens du vecteur : S w = 2 u – 3 v En effectuant les opérations, on obtient : w = 2 u – 3 v = 2(2; 3) – 3(2; 1) = (4; 6) + (–6; –3) = (–2; 3) Les composantes sont –2 et 3. Le module est : w = (–2)2 + 32 = 3,60555… ≈ 3,61 3 –2 L’angle a est : a = arctan = –56,31° Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant, on a : q = a + 180° = – 56,31° + 180° = 123,69°

Localisation d’un vecteur géométrique Pour définir un vecteur géométrique de R2, il suffit de donner son origine et son extrémité. Ainsi, le vecteur dont l’origine est le point (5; 3) et l’extrémité le point (–2; 9) est entièrement défini. On remarque que, à chaque vecteur géométrique dont l’origine est au point (0; 0), on associe un vecteur algébrique qui est défini en ne donnant que les coordonnées du point à son extrémité. Ainsi, au vecteur géométrique OA , on associe le vecteur algébrique OA = (5; 3). On dit que ce vecteur algébrique est le vecteur position du point A.

Translation d’un vecteur DÉFINITION Translation d’un vecteur La translation d’un vecteur géométrique libre dans un repère est un déplacement qui conserve les caractéristiques du vecteur (module, direction et sens). Tout vecteur géométrique de R2 peut être translaté de telle sorte que son origine coïncide avec l’origine du système d’axes; on peut alors associer un vecteur algébrique au vecteur géométrique translaté. Pour translater un vecteur à l’origine, on peut utiliser la relation de Chasles. Rappelons ce théorème. THÉORÈME Relation de Chasles Pour tout point A, B et X du plan ou de l’espace, l’égalité : AX + XB = AB est vérifiée.

Translation d’un vecteur Considérons le vecteur dont l’origine est le point A(a1; a2) et dont l’extrémité est le point B(b1; b2). Considérons de plus le point O(0; 0). Par la relation de Chasles, on peut écrire que : AB = AO + OB D’où : AB = – OA + OB = OB – OA Le vecteur géométrique translaté à l’origine est alors : AB = OB – OA En considérant les vecteurs positions OB = (b1; b2) et OA = (a1; a2), on a alors : AB = (b1; b2) – (a1; a2) = (b1 – a1; b2 – a2).   Le vecteur géométrique obtenu est un vecteur dont l’origine est le point O(0; 0) et l’extrémité le point (b1 – a1; b2 – a2). On peut donc lui associer un vecteur algébrique. Nous le noterons : AB = (b1 – a1; b2 – a2)

Composantes d’un vecteur dans R2 DÉFINITION Composantes d’un vecteur dans R2 Considérons dans un système d’axes un vecteur géométrique dont l’origine est le point A(a1; a2) et l’extrémité le point B(b1; b2). AB On appelle projections orthogonales du vecteur les vecteurs obtenus en proje-tant le vecteur perpendiculairement sur les axes. AB La longueur dirigée de la projection horizontale, ABx , est b1 – a1, celle de la projection verticale, ABy , est b2 – a2. Ces longueurs dirigées sont les composantes algébriques du vecteur.

Exemple 8.1.3 S Trouver les composantes du vecteur où A(5; 3) et B(–2; 9). À l’aide des com-posantes, déterminer les caractéristiques du vecteur. AB , Par la relation de Chasles, on a : AB = OB – OA Puisque OB = (–2; 9) et OA = (5; 3), on a : AB = OB – OA = (–2; 9) – (5; 3) = (–7; 6) = (a; b) Les composantes sont –7 et 6. Le module est : AB = (–7)2 + 62 = 85 = 9,219… ≈ 9,22 6 –7 L’angle a est : a = arctan = –40,6° S Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant, on a : q = a + 180° = –40,6° + 180° = 139,4°

Exercice S Trouver les composantes du vecteur où A(4; 7) et B(–3; 2). À l’aide des com-posantes, déterminer les caractéristiques du vecteur. AB , Par la relation de Chasles, on a : AB = OB – OA Puisque OB = (–3; 2) et OA = (4; 7), on a : AB = OB – OA = (–3; 2) – (4; 7) = (–7; –5) = (a; b) Les composantes sont –7 et –5. Le module est : AB = (–7)2 + (–5)2 = 74 = 8,6023… ≈ 8,60 –5 –7 L’angle a est : a = arctan = 35,54° S Puisque le vecteur est dans le troisième quadrant, on a : q = a + 180° = 35,54° + 180° = 215,54°

Espace cartésien DÉFINITION Espace cartésien L’espace cartésien est un espace de repère orthonormé {O, i , j , k }. Les vecteurs du repère sont orientés comme dans l’illustration ci-contre. Tout vecteur de l’espace peut alors s’écrire sous l’une des formes suivantes : u = u1 i + u2 j + u3 k ou u = (u1; u2 ; u3). En particulier : i = 1 i + 0 j + 0 k = (1; 0; 0) j = 0 i + 1 j + 0 k = (0; 1; 0) et k = 0 i + 0 j + 1 k = (0; 0; 1)

Espace R3 On désigne par R3 l’espace tridi-mensionnel dans lequel chaque point est caractérisé par trois coordonnées qui forment un triplet. Les axes sont désignés par x, y et z et représentés comme dans l’illustration ci-contre. Pour représenter un triplet dans cet espace, on procède comme dans R2, en reportant perpendiculairement les coordonnées sur les axes. Représentons les triplets (3; –4; 4) et (–4; 3; 4). On peut, tout comme dans R2, considérer un vecteur dont l’origine est un point A et l’extrémité un point B, et déterminer un vecteur algébrique égal dont l’origine est au point (0; 0; 0). Dans R3, un vecteur algébrique est un triplet de la forme : u = (u1; u2; u3) Il est caractérisé par les coordonnées du point à son extrémité.

Vecteur algébrique dans R3 DÉFINITION Vecteur algébrique dans R3 Un vecteur algébrique de R3 est un triplet (u1; u2; u3), où les com-posantes sont toutes des nombres réels, ce que l’on note ui Î R pour tout i. Le vecteur algébrique de R3 est représenté par une flèche dont l’origine coïncide avec l’origine du système d’axes et dont l’extrémité est le point (u1; u2 ; u3). Remarque Pour définir la direction, il n’est pas suffisant de préciser l’angle que le vecteur fait avec l’axe des x; il faut donner les angles que le vecteur fait avec chacun des axes.

Module d’un vecteur algébrique de R3 Le module du vecteur est obtenu par une généralisation du théorème de Pythagore. En effet, d’après la figure ci-contre, on a : OP2 = OR2 +  u32 =  (u12 +  u22) +  u32 On a donc : OP =  u12 +  u22 +  u32 Cela donne le théorème suivant : THÉORÈME Module d’un vecteur algébrique dans R3 Soit , un vecteur algébrique de R3. Son module (ou sa norme) est : u = (u1; u2; u3) u =  u12 +  u22 +  u32 S

Angles directeurs Les angles directeurs d’un vecteur algébrique de R3 sont les angles notés a (alpha), b (bêta) et g (gamma), que le vecteur fait avec les axes orientés x, y et z respectivement : On a alors : u1 u2 cos a = , cos b = u u u3 et cos g = u où u est le module du vecteur. Les cosinus directeurs satisfont donc à la relation suivante : cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1

Égalité de vecteurs algébriques de R3 La définition de l’égalité sur les vecteurs algébriques de R3 est une simple généralisation de l’égalité dans R2. Il en est de même pour l’addition et la multiplication par un scalaire. Ces opérations ont les mêmes propriétés que les opérations dans R2. DÉFINITION Égalité de vecteurs algébriques dans R3 Deux vecteurs de R3, sont égaux (ou équipollents) si et seulement si leurs composantes respectives sont égales. Symboliquement : u = (u1; u2; u3) et v = (v1; v2; v3) Û u1 = v1, u2 = v2 et u3 = v3 u = v

Opérations dans R3 S DÉFINITION Addition de vecteurs algébriques dans R3 deux vecteurs algébriques dans R3. Soit u = (u1; u2; u3) et v = (v1; v2; v3), Le vecteur somme est défini par l’égalité suivante : u + v = (u1; u2; u3) + (v1; v2; v3) = (u1+ v1; u2+ v2; u3+ v3) DÉFINITION Multiplication d’un vecteur algébrique par un scalaire dans R3 = (u1; u2; u3) un vecteur algébrique dans R3 et k un scalaire. Soit u La multiplication du vecteur par le scalaire k donne le vecteur défini par l’égalité suivante : k u = k(u1; u2; u3) = (ku1; ku2; ku3) S

Vecteurs colinéaires Rappelons la définition de vecteurs colinéaires avant de voir un critère algébrique pour déterminer si deux vecteurs de R3 le sont. DÉFINITION Vecteurs colinéaires On dit que des vecteurs sont colinéaires si et seulement si, ramenés à une origine commune, ils ont la même droite support. Deux vecteurs algébriques sont colinéaires si et seulement si il existe un scalaire k tel que : (u1; u2; u3) = k (v1; v2; v3), d’où l’on tire : THÉORÈME Vecteurs colinéaires Deux vecteurs algébriques dans R3, u = (u1; u2; u3) et v = (v1; v2; v3), sont colinéaires si et seulement si : u1 v1 u2 v2 u3 v3 = = = k

Exemple 8.1.6 S S S Soit u = (2; –4; 6) et v = (–1; 2; 0). a) Déterminer w , la somme des vecteurs. b) Calculer le cosinus des angles que le vecteur somme fait avec les axes et vérifier que : cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1. c) Calculer ces angles. a) u + v = (2; –4; 6) + (–1; 2; 0) = (1; –2; 6) b) On trouve : w = 12 + (–2)2 + 62 = 41 1 S S S –2 6 et cos a = , cos b = , cos g = 41 41 41 1 41 4 41 36 41 Cela donne : cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1 + –2 + a = arccos = 1 c) = 81,02°, b = arccos = 108,20° 41 41 –2 et g = arccos = 20,44° 41

Exercice S S S Soit u = (3; 5; –3) et v = (5; 2; 4). a) Déterminer w , la somme des vecteurs. b) Calculer le cosinus des angles que le vecteur somme fait avec les axes et vérifier que : cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1 c) Calculer ces angles. a) u + v = (3; 5; –3) + (5; 2; 4) = (8; 7; 1) b) On trouve : w = 82 + 72 + 12 = 114 8 S S S 7 1 et cos a = , cos b = , cos g = 114 114 114 64 114 49 114 1 114 Cela donne : cos2 a + cos2 b + cos2 g = 8 7 + + c) a = arccos = 41,47°, b = arccos = 49,03° = 1 114 114 1 et g = arccos = 84,63° 114

Exemple 8.1.7 S Trouver les caractéristiques de AB , où A(2; –3; 5) et B(–3; 4; 2). Par la relation de Chasles, on a : AB = OB – OA Puisque OB = (–3; 4; 2) et OA = (2; –3; 5), AB = OB – OA = (–3; 4; 2)– (2; –3; 5) = (–5; 7; –3) = (a; b; c) Le module est : AB = (–5)2 + 72 + (–3)2 = 83 ≈ 9,11 S –5 7 –3 et cos a = , cos b = , cos g = 83 83 83 –5 7 a = arccos = 123,29°, b = arccos = 39,79° 83 83 –3 et g = arccos = 109,23° 83

Exercice S Trouver les caractéristiques de AB , où A(7; –6; 2) et B(–1; 4; 3). Par la relation de Chasles, on a : AB = OB – OA Puisque OB = (–1; 4; 3) et OA = (7; –6; 2), AB = OB – OA = (–1; 4; 3) – (7; –6; 2) = (–8; 10; 1) = (a; b; c) Le module est : AB = (–8)2 + 102 + 12 = 165 ≈ 12,85 –8 10 1 et cos a = , cos b = , cos g = 165 165 165 –8 10 a = arccos b = arccos = 128,52°, = 38,88° 165 165 1 et g = arccos = 85,54° S 165

Vecteur algébrique dans Rn On ne peut donner de représentation géométrique d’un vecteur algébrique de Rn. Cependant, tout phénomène comportant n variables se traite avec des vecteurs de Rn. DÉFINITION Vecteur algébrique dans Rn Un vecteur algébrique de Rn est une suite (u1; u2; …; un), où les composantes sont toutes des nombres réels, ce que l’on note ui Î R pour tout i. Le module ( ou la norme) du vecteur algébrique de Rn est : u =  u12 +  u22 + … +  un2

Égalité de vecteurs algébriques de Rn La définition de l’égalité sur les vecteurs algébriques de Rn est une simple généralisation de l’égalité dans R2 et dans R3. Il en est de même pour l’addition et la multiplication par un scalaire. Ces opérations ont les mêmes propriétés que les opérations dans R2 et dans R3. DÉFINITION Égalité de vecteurs algébriques dans Rn Deux vecteurs de Rn, sont égaux (ou équipollents) si et seulement si leurs composantes respectives sont égales. Symboliquement : u = (u1; u2 ; ….; un) et v = (v1; v2 ; …; vn) Û u1 = v1, u2 = v2, … et un = vn u = v

Opérations dans Rn S DÉFINITION Addition de vecteurs algébriques dans Rn deux vecteurs algé-briques dans Rn. Soit u = (u1; u2; …; un) et v = (v1; v2; …; vn), Le vecteur somme est défini par l’égalité suivante : u + v = (u1; u2; …; un) + (v1; v2; …; vn) = (u1+ v1; u2+ v2 ; …; un+ vn) DÉFINITION Multiplication d’un vecteur algébrique par un scalaire dans Rn = (u1; u2;…; un) un vecteur algébrique dans Rn et k un scalaire. Soit u La multiplication du vecteur par le scalaire k donne le vecteur défini par l’égalité suivante : S k u = k(u1; u2; …; un) = (ku1; ku2; …; kun)

Conclusion Nous avons défini de nouveaux objets d’étude, les vecteurs algébriques. Nous avons déterminé à quelles conditions deux vecteurs algébriques sont égaux et défini deux opérations sur ces vecteurs : l’addition et la multiplication par un scalaire. Nous avons également présenté les propriétés des opérations dont nous nous sommes servies pour manipuler des expressions algébriques comportant des vecteurs. On remarque que les propriétés de ces deux opérations sont les mêmes que celles des opérations d’addition et de multiplication par un scalaire dans l’ensemble des matrices et dans l’ensemble des vecteurs géométriques.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 6.1, p. 147 à 157. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 6.1, p. 147 à 158 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 6.2, p. 16, no 1 à 18. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 6.2, p. 159 et 160.