Encadrés: Chapitre 13 Distances Cylindre: S = 2πRh V = πR²h Cône: S = πRg V = (1/3).πR²h

La distance d’un point à un plan est la distance de ce point à sa projection orthogonale sur ce plan La distance d’un point à un plan est la plus petite des distances de ce point aux points du plan La distance de deux plans parallèles est la distance des points de l’un des plans à l’autre

Sphère: S = 4πR² V = (4/3). πR³ L’ensemble des points situés à une distance R d’un point O est la sphère de centre O et de rayon R Le plan tangent à une sphère en un de ces points est le plan perpendiculaire en ce point au rayon qui comprend ce point Toute droite contenue dans un plan tangent à une sphère et comprenant son point de contact est tangente à cette sphère

Le lieu géométrique des points équidistants de deux droites sécantes est la réunion des plans perpendiculaires au plan déterminé par ces droites et contenant les bissectrices des angles qu’elles déterminent

Chapitre 14: Produit scalaire B A’ Dans l’espace métrique, Le produit scalaire des vecteurs OA et OB est le produit scalaire des vecteurs OA et OB considérés comme des vecteurs d’un plan comprenant les point O, A et B O A B’ Deux vecteurs sont orthogonaux ssi le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul Le carré scalaire d’un vecteur est le produit de ce vecteur par lui même La norme d’un vecteur est la racine carrée de son carré scalaire

Le produit scalaire est commutatif Le produit scalaire jouit de l’associativité mixte Le produit scalaire distribue l’addition des vecteurs

Une droite est perpendiculaire à un plan Deux droites sont orthogonales ssi un vecteur de l’une est orthogonal à un vecteur de l’autre Une droite est perpendiculaire à un plan ssi un vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan

Un angle droit se projette orthogonalement sur un angle droit Deux plans sont perpendiculaires ssi un vecteur non nul de l’un est orthogonal à un vecteur non nul de l’autre Un angle droit se projette orthogonalement sur un angle droit ssi un des côtés de l’angle que l’on projette est parallèle au plan de projection et l’autre côté n’est pas perpendiculaire à ce plan

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits des coordonnées de même nom de ces deux vecteurs Dans un repère orthonormé, la norme d’un vecteur est la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées

Chapitre 15: Angles Deux droites gauches déterminent les angles formés par deux droites sécantes qui leur sont parallèles L’angle d’une droite et d’un plan est l’angle aigu déterminé par cette droite et sa projection orthogonale sur ce plan Le lieu géométrique des points équidistants de deux plans sécants est la réunion des plans bissecteurs des dièdres déterminés par ces deux plans Les angles déterminés par deux plans sécants sont les angles des dièdres déterminés par ces plans

Chapitre 16: Quelques transformations de l’Espace Une isométrie de l’espace est une transformation bijective de l’espace qui conserve les distances Toute symétrie orthogonale par rapport à un plan est une isométrie Toute composée de symétries orthogonales par rapport à un plan est une isométrie

Une dilatation de rapport r (r = 0) est une transformation bijective telle que • si A et B désignent deux points quelconques et • si A’ et B’ désignent leurs images respectives, on a : A’B’ = r.AB Une dilatation est • Une translation si son rapport est 1 • Une homothétie si son rapport est différent de 1

L’ensemble des dilatations est un groupe pour la composition La composée de deux homothéties dont les rapports ne sont pas inverse est une homothétie • dont le rapport est le produit des deux homothéties composantes • dont le centre appartient à la droite comprenant les centres des homothéties composantes

Chapitre 17: Espaces vectoriels Un espace vectoriel réel est un ensemble structuré par une addition et par une multiplication scalaire assujetties aux règles de calcul encadrées Une partie non vide V’ d’un espace vectoriel V est un espace vectoriel si les deux conditions suivantes sont vérifiées: 1: La somme de deux vecteurs quelconques de V’ est un vecteur de V’ 2: Le produit d’un vecteur quelconque de V’ par un nombre réel quelconque est un vecteur de V’

Un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel est une partie de cet espace vectoriel qui est elle-même un espace vectoriel L’ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs d’un espace vectoriel est un sous espace vectoriel