CHAPITRE 8 Equations - Inéquations

Objectifs: Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B sont des expressions du 1er degré de la même variable. Résoudre l’équation x² = a, où a est un nombre positif. Comparer des nombres en utilisant l’addition et la multiplication. Résoudre une inéquation du 1er degré à une inconnue. aaaaaa

- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850) consiste en: - al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui. Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s’attache à s’en débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation. - al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9) Les termes semblables sont réduits. A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la « famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tard xay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations.

Equations du 1er degré à une inconnue 1) Les deux règles de résolution Pour résoudre une équation, on peut appliquer les deux règles suivantes : Règle n°1 : On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres d’une équation. Règle n°2 : On ne change pas les solutions d’une équation en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre non nul.

Vocabulaire Inconnue Equation Résoudre une équation Solution c’est une lettre qui cache un nombre cherché → c’est une opération « à trous » dont « les trous » sont remplacés par une inconnue → Equation c’est chercher et trouver le nombre caché sous l’inconnue. Résoudre une équation Solution c’est le nombre caché sous l’inconnue  → Vérification : 10 x 0,625 - 2 = 2 x 0,625 + 3 donc 0,625 est solution.

2) Quatre exemples Résoudre les équations suivantes : Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite. On élimine +4 à gauche en ajoutant dans chaque membre -4 (Règle n°1 ) On élimine 12 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 12 (Règle n°2 ) La solution de cette équation est

Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite. On élimine -13 à gauche en ajoutant dans chaque membre +13 (Règle n°1 ) On élimine -5x à droite en ajoutant dans chaque membre +5x (Règle n°1 ) On élimine 9 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 9 (Règle n°2 ) La solution de cette équation est

On va d’abord développer et réduire chaque membre de l’équation avant de passer à la résolution. On peut maintenant passer à la résolution comme pour l’exemple n°2. La solution de cette équation est

On va d’abord réduire chaque membre 2x x7 On va d’abord réduire chaque membre de l’équation au même dénominateur, ici 14. x7 2x On peut supprimer maintenant les dénominateurs qui sont égaux (Règle n°2 ) On peut maintenant passer à la résolution comme pour l’exemple n°1. La solution de cette équation est

II. Equations du 2nd degré à une inconnue 1) Equation produit nul Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Exemple: Résoudre l’équation (4x + 6)(3 - 7x) = 0 Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit 4x + 6 = 0 Soit 3 - 7x = 0 4x = -6 - 7x = -3 x = -6/4 x = -3/-7 x = 3/7 x = -3/2 Les deux solutions de l’équation sont : x = -3/2 et x = 3/7 Remarque : on peut noter aussi S = {-3/2 ; 3/7}

2) Etude d’équations se ramenant à une équation produit nul Voici quelques équations du 2nd degré  : (1 - x)² - (1 - x)( 9 + 3x) = 0 4x² + 12x + 9 = 0 25x² = 70x - 49 3x = 5x² (x + 3)² = 64 Pour toutes ces équations du 2nd degré, on va basculer toutes les « quantités » dans le membre de gauche afin que le membre de droite soit égal à 0. Puis on va factoriser le membre de gauche afin de se ramener à une équation produit nul. Puis résoudre.

(1 - x)² - (1 - x)( 9 + 3x) = 0 (1 - x)[ (1 - x) - ( 9 + 3x)] = 0 Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit 1 - x = 0 Soit -8 - 4x = 0 - x = - 1 - 4 x = 8 x = 1 x = 8/-4 x = - 2 S = { 1 ; - 2 }

4x² + 12x + 9 = 0 (2 x + 3)² = 0 (2 x + 3) (2 x + 3) = 0 Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit 2 x + 3 = 0 Soit 2 x + 3 = 0 2 x = - 3 idem x = -3/2 S = { -3/2 } Solution double

25x² = 70x - 49 25x² - 70x + 49 = 0 (5 x - 7)² = 0 (5 x - 7) (5 x - 7) = 0 Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit 5 x - 7 = 0 Soit 5 x - 7 = 0 5 x = 7 idem x = 7/5 S = { 7/5 } Solution double

3x = 5x² - 5x² + 3x = 0 x (-5 x + 3 ) = 0 Soit x = 0 Soit - 5x +3 = 0 Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit x = 0 Soit - 5x +3 = 0 - 5 x = -3 x = -3/-5 x = 3/5 S = { 0 ; 3/5 }

[(x + 3) - 8] [(x + 3) + 8] = 0 (x + 3)² = 64 (x + 3)² - 64 = 0 Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit x - 5 = 0 Soit x +11 = 0 x = 5 x = - 11 S = { 5 ; - 11 }

Inéquations du 1er degré à une inconnue 1) Ordre et inégalités Règle n°3 : On ne change pas le sens d’une inégalité si on ajoute ou on retranche un même nombre (positif ou négatif) aux deux membres d’une inéquation. Règle n°4 : On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie ou on divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre POSITIF. Règle n°4 bis: On change le sens d’une inégalité si on multiplie ou on divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre NEGATIF.

2) Résolution d’une inéquation Inéquation inégalité qui contient une inconnue x. Résoudre une inéquation c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient cette inégalité. il s’agit d’un ensemble de valeurs. On résout une inéquation du 1er degré à une inconnue de la même manière qu’une équation du 1er degré à une inconnue, en veillant à bien appliquer les règles 3, 4 et 4bis. Remarque :

Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à Exemples : Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite graduée. . solutions 1 1/7 Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à

On divise par un nombre négatif donc on change le sens de l’inégalité. ≥ solutions -1 - 2 1 2 -3/2 Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à