Les polyèdres suivis des solides dans l’espace Créé à partir de documents de Jean-Marc Schlenker, Université Toulouse III David Rolland, formateur IUFM et professeur Ecole Normale Mixte

Qu’est-ce qu’un polyèdre ? Un polyèdre est un objet mathématique constitué de faces planes, qui se rencontrent en des arêtes droites, dont les extrémités sont des sommets. Un polyèdre est régulier si toutes les faces sont des polygones réguliers identiques et tous les sommets sont identiques. Certains polyèdres réguliers sont connus depuis toujours : le tétraèdre (4 faces, 4 sommets), le cube (6 faces, 8 sommets), l'octaèdre (8 faces, 6 sommets).

Pythagore et le dodécaèdre Pythagore (569-475 avant JC) est un philosophe grec, fondateur de la secte de Pythagoriciens. Il était fasciné par les mathématiques, a découvert la théorie mathématique des gammes musicales. On lui attribue la découverte d'un nouveau polyèdre régulier, le dodécaèdre (12 faces, 20 sommets). Le dodécaèdre a acquis pour les pythagoriciens une importance symbolique. On en déduit un autre polyèdre régulier : l'icosaèdre (20 faces, 12 sommets).

Platon et les polyèdres réguliers Les polyèdres réguliers ont eu une influence considérable dans l'antiquité grecque. Pour Platon (427-347 avant JC), ils étaient en relation avec les éléments constitutifs de l'univers : Le cube, avec la terre, le tétraèdre, avec le feu, l'octaèdre, avec l'air, l'icosaèdre, avec l'eau. Le dodécaèdre, lui, sert à l'arrangement final de l'univers. Ces cinq polyèdres réguliers sont appelés les solides de Platon.

Les solides de Platon Cube ou hexaèdre tétraèdre octaèdre dodécaèdre icosaèdre Ces formes se retrouvent dans la nature, notamment dans certains minéraux, les cristaux.

Euclide et la première classification Euclide (325-265 avant JC) est le plus connu des mathématiciens antiques, Auteur des Eléments, première tentative de formalisation des mathématiques. Le résultat final en est la classification des polyèdres réguliers : il n'y en a que 5. C'est le premier résultat de classification de l'histoire.

Archimède Archimède (287-212 avant JC) est un autre grand mathématicien, et ingénieur, de l'antiquité grecque. Il reprend l'étude d'Euclide, pour des polyèdres semi-réguliers : les sommets sont identiques, les faces des polygones réguliers (pas identiques). Il les classifie : il y a deux familles infinies, et 13 autres polyèdres.·

Prismes et anti-prismes

Les 13 polyèdres semi-réguliers Malheureusement, le traité d'Archimède sur les polyèdres semi-réguliers a été perdu.

Les peintres et les polyèdres Une fascination pour les polyèdres réapparaît à la renaissance, du fait de peintres comme Albrecht Dürer (1471-1528). Ils apparaissent fréquemment dans les gravures, les décorations architecturales, par exemple dans l'oeuvre de Luca Pacioli (1445-1517), illustrée par Léonard de Vinci. Dürer donne aussi une nouvelle description des polyèdres, sous forme de dépliage.

Képler et les polyèdres non convexes La classification des polyèdres réguliers est achevée, deux millénaires après Euclide ! La classification d'Euclide exerce une fascination particulière sur Képler (1571-1630). Képler achève d'abord la classification des polyèdres semi-réguliers, retrouvant le résultat perdu d'Archimède. Il remarque qu'Euclide se limite, sans le dire, aux polyèdres convexes, et découvre deux nouveaux polyèdres réguliers non convexes. Cette liste sera complétée par Poinsot (1777-1859), qui retrouve les deux polyèdres de Képler et en découvre deux autres.

Les principaux solides vus à l’école primaire I/ LE CUBE Figure Patron Il existe 11 patrons différents d’un cube. Si on note c la longueur de l’arête d’un cube, alors : - la diagonale AG a pour mesure ……………. c - le volume V de ce cube vaut : c V = c3 c

II/ LE PARRALLELEPIPEDE RECTANGLE OU « PAVE » Figure Patron Face de derrière Face de droite Face de devant Si on note L, l et h les dimensions respectives du pavé droit, alors : - la diagonale AG a pour mesure……………. G h - le volume V de ce pavé vaut : V = Produit des trois dimensions = A l L

III/ LE CYLINDRE Figure Patron face latérale Face supérieure face latérale Face inférieure Si on note r = OA le rayon du cercle de base et h=OO’ la hauteur du cylindre, alors : O h - l’aire A du cylindre vaut : A = 2 - le volume V du cylindre vaut : O’ r V = =

IV/ LE CONE Figure Patron l =360.r/l Si on note h la hauteur du cône et r le rayon du cercle de base, alors : - le volume V du cône vaut : V =

V/ LE TETRAEDRE Figure Patron Si on note h la hauteur du tétraèdre et B l’aire de sa base, alors : - le volume V du tétraèdre vaut V =

VI/ LA PYRAMIDE à BASE CARREE Figure Patron base Si on note c le côté du carré de base et h la hauteur de la pyramide, alors : - le volume V du la pyramide vaut : V = = C².h

VII/ LE PRISME DROIT Figure Patron Si on note h la hauteur du prisme et B l’aire de sa base, alors : h - le volume V du prisme vaut : V = Base x hauteur = B x h base

VIII/ LA SHERE ET LA BOULE Figure Patron Si on note r le rayon de la sphère, alors : - L’aire A de la sphère est égale à : A = - Le volume V de la boule est égale à : V =

IX. Quelques patrons d’autres solides

X. Propriétés des solides de Platon Figure Nom Faces Sommets Arêtes Angles faces Tétraèdre Cube Octaèdre Dodécaèdre Icosaèdre 4 triangles équilatéraux 6 carrés 8 triangles équilatéraux 12 pentagones réguliers 20 triangles équilatéraux 4 8 6 20 12 6 12 12 30 30 109°29’ 70°32’ 90° 116°34’ 138°11’

Fin du diaporama créé par David ROLLAND, formateur I.U.F.M. et professeur de l’Ecole Normale Mixte de la Polynésie française