Dérivation implicite et Taux de variation instantané Jacques Paradis Professeur

Plan de la rencontre Taux de variation instantané (exemple) Définition : équation implicite Exemples d’équations implicites Dérivées de base Technique de dérivation implicite Exemples de dérivation implicite Département de mathématiques

Taux de variation instantané (exemple) Du haut d’un pont, une pierre est lancée verticalement vers le haut. La position de la pierre au-dessus du fleuve, en fonction du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t – 4,9t2, où t est en secondes et x(t), en mètres. a) Déterminer la fonction donnant la vitesse de la pierre en fonction du temps. b) Déterminer la vitesse initiale de la pierre. c) Déterminer le temps nécessaire pour que la pierre cesse de monter. d) Calculer la vitesse de la pierre après 4 secondes. e) Déterminer la hauteur maximale qu’atteindra la pierre. Département de mathématiques

Exemple (suite) Du haut d’un pont, une pierre est lancée verticalement vers le haut. La position de la pierre au-dessus de la rivière , en fonction du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t – 4,9t2, où t est en secondes et x(t), en mètres. f) Déterminer la hauteur du pont. g) Déterminer la distance totale parcourue par la balle. h) Déterminer à quelle vitesse la balle touche à l’eau. i) Déterminer la fonction donnant l’accélération de la pierre en fonction du temps. k) Représenter la fonction x(t) sur [0 , 6]. Département de mathématiques

Définition Une équation implicite est une relation entre différentes variables où une variable n’est pas explicitée en fonction des autres. Équations explicites (habituelles): y = x2 - 2x + 3 x = 3y2 – y + 2 Équations implicites: x2 – 2xy + 2y3 = 5x2y (y2 + x)/(y2 – 2xy) =0 Remarque :Il faut noter qu’une équation implicite n’est pas nécessairement une fonction. Département de mathématiques

Exemples Soit x2 – xy + y2 = 3 : Soit x2 + y2 =25 Soit x3 + y3 = 9xy Remarque : À l’époque de la création du calcul différentiel, presque toutes les expressions algébriques représentant des courbes prenaient la forme implicite. Le folium de Descartes : x3 + y3 = 3xy Département de mathématiques

Dérivées de base (1 de 2) Dérivée de x par rapport à x : Dérivée de y par rapport à y : Dérivée de y par rapport à x : Dérivée de x2 par rapport à x : Département de mathématiques

Dérivées de base (2 de 2) Dérivée de y2 par rapport à y : Dérivée de y2 par rapport à x : Dérivée de x2 y2 par rapport à x : u = y2 du/dx du/dy dy/dx u v u’ v’ v u Département de mathématiques

Technique de dérivation implicite Soit une équation implicite : F(x,y) = G(x,y) Exemple : x2 + y2 = 3 + xy Étape 1 : Calculer la dérivée des deux membres de l’équation Exemple : Étape 2 : Isoler dy/dx de l’équation obtenue à l’étape 1. Remarque : dy/dx au point (1 , -1) est égal à 1 et l’équation de la tangente en ce point est y = x – 2. Département de mathématiques

Exemple Trouver la dérivée de y par rapport à x si x3 + y3 – 3xy2 = 4. Département de mathématiques

Exemple Trouver l’équation de la tangente et de la normale à la courbe x2 +y2 = 25 au point (3 , -4). tangente normale Département de mathématiques

Exercice Trouver la pente de la tangente au point (1 , 4) de la courbe y3 + x4 – x2y + y3 = 69. Département de mathématiques

Devoir Exercices 5.1, page 189, nos 1 à 3, 4 (sauf d et e). Exercices récapitulatifs, page 164, nos 6 (f est facultatif), 7a, 7b, 7e et 15 Réponses pour le no 6 : d) y’ = –x/y; e) y’ = Réponse pour le no 7 e) Exercices récapitulatifs, page 200, no 1 Réponses : a)1 225 m; b) v(t)=-9,8t + 4,9 m/s et a(t) = -9,8 m/s2; c) 4,9 m/s, -14,7 m/s et -9,8m/s2; d) 1 226,225; e) -155 m/s. Département de mathématiques

Exemples de roses et de cardioïde Cardioïde : dernière figure Département de mathématiques