Construire des surfaces avec des polygones Par Nanna et Marine Lycée français Saint Louis de Stockholm

Problématique Combien de surfaces différentes peut-on construire avec un triangle ? En assemblant deux triangles ? 3 ou 48 triangles ? Et avec des carrés ? Des pentagones ?

Les Règles Les formes sont indéfiniment extensibles On colle les arêtes deux par deux On ne peut pas coller trois ou plus arêtes entre elles On ne peut pas coller une arête le long de deux arêtes On s’arrête quand chaque arête a été collée à une autre.

Un premier exemple : 2 carrés Nous avons utilisé 2 carrés de tissu cousus ensemble : Pour utiliser le fait que les faces soient extensibles, nous avons utilisé un ballon de baudruche, introduit entre les carrés En soufflant nous obtenons alors ... une sphère !!

Un deuxième exemple : 4 triangles Nous avons utilisé quatre triangles de tissu que nous avons cousus ensemble En déformant nous obtenons encore une sphère.

Un troisième exemple : 1 carré Nous avons utilisé un seul carré de tissu 1ère étape : relier les côtés faces opposés du carré Nous obtenons alors un cylindre 2ème étape : relier les deux bases du cylindre Nous obtenons alors un tore

Questions 1) Est-ce qu’on peut obtenir une sphère à partir de 3 triangles ? 4 triangles ? n triangles ? 2) Même question pour un tore. 3) Quelles sont les différentes façons de recoller six carrés pour faire une sphère ? 4) Est-ce que l’on peut obtenir une surface différente d’une sphère ou d’un tore ? 5) Qu’est-ce que cela veut dire pour deux surfaces d’être différentes ?

Deux figures identiques superposées forment toujours une sphère. 1) Est-ce qu'on peut obtenir une sphère à partir de 3 triangles ? 4 triangles ? n triangles ? Deux figures identiques superposées forment toujours une sphère. Soit un nombre n de triangles, où n est un nombre pair. En construisant une figure avec n triangles et en la superposant sur son identique formé de n triangles aussi, on a une sphère. Si il y a un nombre pair d'arêtes et donc de triangles, on peut faire une sphère car 3*nombre pair = nombre pair.

2) Est-ce qu'on peut obtenir un tore à partir de 3 triangles 2) Est-ce qu'on peut obtenir un tore à partir de 3 triangles ? 4 triangles ? n triangles ? Comme précédement, il faut un nombre pair d'arêtes pour que la figure puisse se fermer.On ne peut donc pas former de tore avec trois triangles car il y aurait deux arêtes collées sur une seule.On peut former un tore avec quatre triangles. Dès que les triangles forment un quadrilatère, on peut former un tore.

3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ?( même question pour 1, 2 ,3 carrés) Les différentes façons de recoller six carrés pour obtenir une sphère sont : tous les patrons du cube un alignement de six carrés deux alignements de trois carrés  

une sphère avec un carré : 3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ?( même question pour 1, 2 ,3 carrés) On peut aussi obtenir une sphère avec un carré :  Ou avec deux carrés (cf exemple précédent)

Pour deux carrés, 2ème méthode : 3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ?( même question pour 1, 2 ,3 carrés) Pour deux carrés, 2ème méthode :

Pour deux carrés, 3ème méthode : 3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ? (même question pour 1, 2 ,3 carrés) Pour deux carrés, 3ème méthode :

Avec trois carrés : 1ère méthode 3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ? (même question pour 1, 2 ,3 carrés) Avec trois carrés : 1ère méthode

Avec trois carrés : 2ème méthode 3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ? (même question pour 1, 2 ,3 carrés) Avec trois carrés : 2ème méthode

Avec trois carrés : 3ème méthode 3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ? (même question pour 1, 2 ,3 carrés) Avec trois carrés : 3ème méthode

On obtient un tore à deux trous. 4) Est-ce que l'on peut obtenir une surface différente d'une sphère ou d'un tore ? On peut obtenir plusieurs surfaces différentes d'une sphère et d'un tore. Application : On obtient un tore à deux trous. 

4) Est-ce que l'on peut obtenir une surface différente d'une sphère ou d'un tore ? Remarque : si les différentes arêtes recollées se croisent selon n points d’intersection, alors la surface obtenue sera un tore à n trous. 1 point d’intersection, 2 points d’intersection, tore à un 1 trou tore à 2 trous

4) Est-ce que l'on peut obtenir une surface différente d'une sphère ou d'un tore ? A partir d’un polygone à n cotés, on pourra obtenir un tore à (n / 2) – 1 trous.  Excemple de tore à trois trous obtenu à partir d’un Octogone :

La façon dont elles ont été construites n'est pas importante, 5) Qu'est ce que cela veut dire pour deux surfaces d’être différentes ? Deux surfaces sont différentes en fonction du nombre de trous qu'elles ont. La façon dont elles ont été construites n'est pas importante, ni le nombre ou la nature des figures avec lesquelles elles ont été construites, car les surfaces sont extensibles et déformables. 

Question générale (conclusion) : Avec un nombre fixé de triangles (carrés, pentagones . . .) on peut construire une surface de plusieurs manières. La sphère peut être construite de nombreuses manières qui diffèrent selon le nombre de figures utilisées, leur nature et leur façon d'être assemblées. Le point commun entre toutes ces manières est le fait qu'il y ait toujours un nombre pair d'arêtes au total lorsque l'on a assemblé toutes les figures. Ceci est valable pour n'importe quelle surface.