Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon 2 - Equations différentielles dans le plan

Equations différentielles dans le plan x2 x’ = f(x) x = (x1, x2) f = (f1, f2) x1’=f1 (x1, x2) x2’=f2(x1, x2) Contrairement à la dimension 1, impossible de déterminer la dynamique uniquement à l’aide d’un dessin. On va devoir calculer. En général les solutions ne se calculent pas. x1

Etude locale au voisinage d’un équilibre Linéarisation au voisinage d’un équilibre : f(xe)=0 x = xe + ey e y’ = f(xe + ey) = Df(xe) . e y + O(e2) y’ = Df(xe) . y + O(e) y’ = Df(xe) . y y2 x2 y1 e xe x x1 Linéarisation en dimension un : x’ = f(x) f : R->R f(xe) = 0 y’ = Df(xe) . y = f’(xe) . y f(x) e x y x xe

Equations différentielles linéaires en dimension 2 a b c d x1’ = a x1 + b x2 x2’ = c x1 + c x2 x’ = Ax x = (x1, x2) A = 1. Cas où la matrice A est diagonale l1 0 0 l2 x1’ = l1 x1 x2’ = l2 x2 x1(t) = x1(0) exp(l1 t) x2(t) = x2(0) exp(l2 t) A = 1.a. l1 < l2 < 0 1.a/b l1 < l2 = 0 x2 x1 « nœud attractif »

1.b l1 < 0 < l2 1.b/c l1 = 0 < l2 x2 x2 x1 x1 x2 « col » x2 1.c 0 < l1 < l2 x1 « nœud répulsif »

2. Cas où la matrice A est diagonalisable (sur R) y2 x2 y2 y1 y1 x1

Plan Trace - Déterminant nœud répulsif nœud attractif T col col Polynôme caractéristique : P(l) = l2- Tl + D Discriminant : D = T2-4D

3. Cas où la matrice A a deux valeurs propres complexes conjuguées z’ = l z z = r exp (i q) r‘ = Re (l) r q‘ = Im (l) Av=lv l C , v C2   Av=lv x = z v + z v Re (l) < 0 -> « Foyer attractif » Re (l) > 0 -> « Foyer répulsif » Re (l) = 0 -> « Centre » Im (z) x2 Re (z) x1

Plan Trace – Déterminant (suite) foyer attractif foyer répulsif nœud répulsif nœud attractif T col col Polynôme caractéristique : P(l) = l2- Tl + D Discriminant : D = T2-4D foyer attractif / foyer répulsif nœud / foyer nœud / col

Allure locale au voisinage d’un point d’équilibre La stabilité locale de l’équilibre est donnée par la stabilité du linéarisé à l’équilibre Un point selle (linéarisé de type « col ») admet une variété stable et une variété instable La variété stable va jouer un rôle de séparatrice entre des comportements asymptotiques différents En dimension supérieure, la stabilité d’un point d’équilibre est donnée par la partie réelle des valeurs propres du linéarisé Un point d’équilibre est dit non dégénéré (= transverse) si aucune de ses valeurs propres n’est égale à zéro Un point d’équilibre non dégénéré est robuste (si on perturbe légèrement le système, on conserve un unique équilibre, du même type, au voisinage) Les bifurcations de codimension un d’équilibres sont de trois types : Une valeur propre s’annule (« nœud-col ») Deux valeurs propres complexes conjuguées ont une partie réelle qui s’annule (Hopf) Deux valeurs propres réelles deviennent complexes conjuguées (nœud-foyer) (la troisième bifurcation est moins importante, car elle ne modifie pas la stabilité de l’équilibre) Cette classification reste valable en dimension supérieure

Bifurcation nœud-col

Point « selle » (ou « col ») et sa séparatrice

Bifurcation nœud-col

Application de premier retour

Application de premier retour pour une bifurcation de Hopf

Bifurcation de Hopf super-critique Bifurcation de Hopf sous-critique Espace des paramètres…

Bifurcation de Hopf super-critique en dimension 3

Bifurcation de confusion de deux orbites périodiques