Théorie algorithmique des jeux Claire Mathieu (Brown)

Introduction Algorithmique et informatique: utiliser les données pour construire une solution de faible complexité de calcul. Economie et théorie des jeux: les données et ressources sont partagées ou distribuées entre des participants rationnels égoïstes. En se servant éventuellement d’incitations financières, construire une solution compatible avec les intérêts de chaque participant.

Equilibre de Nash Véracité Liens commerciaux de moteurs de recherche Partage de coût égalitaire

Equilibre de Nash

Equilibre de Nash Un participant a un choix de possibilités (enchères, chemins dans un réseau, etc.) Quand chaque participant choisit une possibilité, la solution ainsi définie a une valeur pour chacun Equilibre: Participant x. Etant donné les choix des autres participants, x n’a pas de raison de changer son choix.

Existence Il n’existe pas toujours d’équilibre (pur) Exemple: deux joueurs, l (ligne) et c (colonne). Chacun a deux possibilités: 0 ou 1. Si l=c, l paye 1 euro à c, sinon c paye 1 euro à l. Il existe toujours un équilibre mixte: chaque participant choisit une distribution sur l’ensemble de ses possibilités. Etant donné la distribution du concurrent, x n’a pas de raison de changer sa distribution (elle maximise la valeur moyenne) Théorème de Nash, théorème de dualité de programmation linéaire, théorème du minmax de Yao.

Calcul Quelle est la complexité de calcul d’un équilibre de Nash? Jeu à 2 joueurs où le perdant paye le gagnant (somme des valeurs = 0): résolution d’un programme linéaire, polynomial Jeu à 2 joueurs général: PPAD-difficile. PPAD: classe des problèmes de recherche (type point fixe)

Truthfulness

Mécanismes Participants ont des valeurs qui leur sont privées Concevoir un mécanisme (algorithme) qui les encourage à révéler leurs vraies valeurs Exemple typique: enchères. Chaque participant a en tête une valeur qu’il attribue aux objets à vendre

Enchères de Vickrey Chaque participant fait une enchère Le gagnant est l’auteur de l’enchère la plus élevée Il paye le montant de la deuxième enchère la plus élevée Aucun participant n’a de raison de mentir, et donc l’objet revient finalement à la personne qui lui donne le plus de valeur: maximisation du “bien-être de la société” (social welfare)

Vickrey-Clarke-Groves Find the solution maximizing the social welfare - the sum of the values which participants give to the solution. If participant x is part of the solution, then charge x an amount equal to the increase in other players’ utility (in best solution) in the absence of x Truthful - no incentive to lie about value Example: buying s-t path in a network. Participants are edges, edge lengths l(e) are private. Find shortest s-t path p, and pay each edge e of p payment(e)=l(p’)-(l(p)-l(e)), where p’ is the shortest path in G-e.

Digital goods auction Downloadable audio file: duplicated at no cost. Infinite supply. Participant j bids v(j), v(1)v(2) v(3)… Vickrey-Clarke-Groves: sells at price 0 How to stay truthful but get some revenue? Without truthfulness, single-price selling to at least 2 participants brings revenue F=max(2*v(2),3*v(3),4*v(4),…) Randomized algorithm, truthful, with revenue Cst* F

Randomized algorithm Partition the participants into two subsets at random Find best single-price p for first set, and sell item at price p to every participant of second set who bid at least p

Sponsored search auctions

Google’s income Keyword searches yields organic results and sponsored results

Liens commerciaux Publicitaires payent Google à chaque clic Enchère similaire a Vickrey. Un mot-clé k espaces publicitaires numerotés 1,2,…,k Publicitaire j, de valeur v(j), fait une enchère b(j) Les k enchères les plus élevées gagnent, dans l’ordre b(1),b(2),…,b(k); un clic sur j coûte b(j+1) au publicitaire

Propriétés t(j) = qualité de l’espace j = proba d’un clic Il peut être avantageux de mentir Stabilité: il existe un equilibre de Nash pur b(k+1)=v(k+1) b(j)=t(j)/t(j+1) b(j+1)+(1-t(j)/t(j+1)) v(j)

t(j)(v-b(j+1))=t(j-1)(v-b) Dynamique Comment arriver à cet équilibre? Par un algorithme glouton: publicitaire fait une enchère de facon à avoir l’espace j qui maximise son profit t(j)(v-b(j+1)), si les autres conservent leurs enchères précédentes Parmi les choix d’enchères, il fait l’enchère b qui donne même profit à l’espace j et à l’espace j-1: t(j)(v-b(j+1))=t(j-1)(v-b) Théorème: Si à chaque répétition un publicitaire aléatoire met à jour son enchère, alors il y a convergence en temps fini.

Cost-sharing

Partage de coûts Comment partager les bénéfices ou les coûts d’une action commune pour que tous soient satisfaits? Problème du multicast avec coût des arêtes partagé entre les participants

Cost-sharing Multicast edge e used by the paths of n(e) terminals charges each terminal c(e)/n(e). Terminals are selfish, non- cooperative. Nash equilibrium (N.E.): no terminal wants to change its path if everything else stays the same. Question: how much more costly is the outcome of selfish choices? That is: bound (cost of N.E.)/ OPT?

Impact of selfishness (cost of worst N.E.)/OPT = n [Koutsoupias Papadimitriou‘99] Price of anarchy (cost of best N.E.)/OPT = O(log n/ loglog n) [Anshelevich Dasgupta Kleinberg Tardos Wexler Roughgarden ‘04, Agarwal Charikar ‘06] Price of stability Question: what about (cost of N.E.)/OPT for N.E. reachable by some process? Best response dynamics: when activated, a terminal always chooses its current cheapest path to root

Two phase model Activation model [Chekuri Chuzhoy Lewin-Eytan Naor Orda ‘06] Phase 1: Terminals are activated one by one Phase 2: Re-activated terminals may change their path (arbitrary sequence of re-activations) Ω(log n/ loglog n)≤ (cost of resulting N.E.)/OPT≤ O(√n log2 n)[CCLNO] r t1 t3 t2 t4 Phase 1 r t1 t3 t2 t4 Phase 2 re-fires

(cost of resulting N.E.)/OPT = O(√n polylog(n)) Results Two phase model Ω(log n) ≤ (cost of resulting N.E.)/OPT ≤ O(log3 n) General sequence of interleaved activations and re- activations, except that terminal arrivals (first activations) are in random order (cost of resulting N.E.)/OPT = O(√n polylog(n)) We now sketch proof of O(log3 n) result

Proving O(log3 n) Potential function cost ≤ potential ≤ O(log n)*cost Re-activations decrease potential So, cost after phase 2 ≤ potential after phase 2 ≤ potential after phase 1 ≤ O(log n)*cost after phase 1 Must prove: (cost after phase 1)≤ O(log2 n)*OPT

Analysis of phase 1 Define “Gap revealing” linear program (cost after phase 1) ≤ Value(LP) Relax the LP and write dual linear program Value(LP) ≤ Value(Dual) by linear programming duality Define feasible dual solution… Value(Dual) ≤ Value(solution) … of value O(log2 n) OPT Value(solution) = O(log2 n) OPT

s(j)≤ d(j,i)+s(i)-b(i)/2 Gap revealing LP s(i): cost of i’s path on arrival of i b(i): cost of new edges bought by i Cost after phase 1 is at most  b(i)’s If terminal j arrives after terminal i, then j could go to i and reuse i’s path with discount: s(j)≤ d(j,i)+s(i)-b(i)/2

Relax, take dual Take a tree T over the terminals, such that child of t arrives after terminal t for all t Relax the linear program by writing the constraint s(j)≤ d(j,i)+s(i)-b(i)/2 for j child of i in T only So, dual LP has one variable z(j) for each edge of T between j and parent(j) (C(i): children of i in T)

How is T defined? Must have: child of t arrives after terminal t for all t Take Eulerian tour π of min spanning tree of terminals. We have: Cost(π)  2 OPT Try to have: parent(j) is in the vicinity of j along π, and so:  d(j,parent(j))=O(log2 n)* Cost(π) r t1 t2 t4 t3 Left subtree Right subtree Path to root

Random Arrivals Result O(√n polylog(n)) proof sketch Arbitrary interleaving of arrivals and reactivations, but: assume order of arrivals is random Analyze potential Φ Reactivations decrease potential Φ(k): potential right after kth terminal arrives; bound E[Φ(k+1) - Φ(k) given Φ(k)]

Analysis: arrival of j Path picked by j could be complicated. Instead, Take Eulerian tour π of min spanning tree of terminals. Pick i randomly from previously arrived terminals in the vicinity of j along π, Connect j to i and follow i’s path.

Open Problem General theme: Bound cost of solutions reachable by best response dynamics Obvious open question: analyze arbitrary mix of arrivals and reactivations

Conclusion Interactions fructueuses entre informatique et economie/theorie des jeux