Produit vectoriel Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Mise en situation Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur. Cela signifie que pour définir le produit, il faut donner la direction, le sens et le module du vecteur obtenu. Lorsque les vecteurs algébriques sont exprimés dans la base orthonormée usuelle, le produit vectoriel de deux vecteurs peut être obtenu par un calcul de déterminant. Nous verrons d’abord le produit vectoriel de deux vecteurs algébriques de R3 en cherchant à déterminer un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs donnés. Nous généraliserons par la suite par l’interprétation géométrique de ce produit.

y = –(af – dc) et z = (ae – db) Mise en situation Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R3. Déterminons un vecteur w = (x; y; z) perpendiculaire à u et à v. Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul. On doit donc avoir : Le vecteur retenu est : = (x; y; z) = (bf – ce; –(af – dc); ae – db) w On constate que chaque composante de ce vecteur a la forme d’un cofacteur d’ordre 2. De plus, en écrivant le vecteur comme combinaison linéaire de la base orthonormée usuelle, on obtient : (x; y; z) • (a; b; c) = 0 (x; y; z) • (d; e; f) = 0 ax + by + cz = 0 dx + ey + fz = 0 ce qui donne le système homogène : = (bf – ec) w i – (af – dc) j k + (ae – db) a b c ae – db af – dc a b c d e f ≈ L1 aL2 – dL1 S S S Cette combinaison linéaire a la forme d’un déterminant d’ordre 3, soit : Tous les vecteurs satisfaisant à la condition (ae – db)y = –(af – dc)z sont perpendiculaires aux deux vecteurs donnés. Il y en a donc une infinité. i j k a b c Parmi tous ces vecteurs, considérons celui pour lequel : w = d e f y = –(af – dc) et z = (ae – db) En substituant dans la première équation, on trouve x = (bf – ce).

Produit vectoriel S Définition Produit vectoriel de vecteurs algébriques Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R3. Le produit vectoriel de ces deux vecteurs, noté u ´ v, est défini par : i j k u ´ v = a b c S d e f Théorème Perpendicularité du vecteur obtenu par le produit vectoriel Soit u = (a; b; c) et v = (c; d; e), deux vecteurs de R3. Alors, w = u ´ v est un vecteur perpendiculaire au plan défini par les vecteurs u et v.

Exemple 9.3.1 Déterminer un vecteur w perpendiculaire aux vecteurs u = (3; –2; 5) et v = (2; 4; –3). i j k u ´ v = 3 –2 5 = i (6 – 20) – j (–9 – 10) + k (12 + 4) 2 4 –3 = –14 i + 19 j + 16 k Le vecteur cherché est donc : w = (–14; 19; 16). S Remarque Les composantes du vecteur à gauche du symbole d’opération occupent la deuxième ligne et celles du vecteur à droite du symbole d’opération occupent la troisième ligne. En permutant ces deux lignes, on change le signe, donc le sens, du vecteur obtenu.

Exercice Déterminer un vecteur w perpendiculaire aux vecteurs u = (2; –3; –4) et v = (–3; 2; 2). Vérifier que le vecteur obtenu est bien perpendiculaire aux vecteurs donnés. i j k u ´ v = 2 –3 –4 = i (–6 + 8) – j (4 – 12) + k (4 – 9) –3 2 2 = 2 i + 8 j – 5 k Le vecteur cherché est donc : w = (2; 8; –5). On peut vérifier la perpendicularité des vecteurs par le produit scalaire. S S u • w = (2; –3; –4) • (2; 8; –5) = 4 –24 + 20 = 0 v • w = (–3; 2; 2) • (2; 8; –5) = –6 + 16 – 10 = 0 Puisque les deux produits scalaires sont nuls, le vecteur obtenu est bien perpendiculaire aux deux vecteurs donnés.

Produit vectoriel Propriétés du produit vectoriel Pour tout vecteur u, v et w et pour tout scalaire p et q : 1. Anticommutativité u ´ v = –(v ´ u) 2. Associativité pour la multiplication par un scalaire pu ´ qv = pq(u ´ v) 3. Distributivité sur l’addition vectorielle w u ´ (v + w) = v + u ´ w u = (v + w) ´ u ´ w + v ´

Module du produit vectoriel Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R3. Alors : i j k a b c d e f u ´ v = = (bf – ec) i – (af – dc) j k + (ae – db) Déterminons le carré du module du produit vectoriel. En développant le membre de droite, on obtient : u ´ v 2 = (bf – ec)2 + (af – dc)2 + (ae – db)2 u ´ v 2 = u 2 v 2 – (u • v)2 = b2f2 + e2c2 + a2f2 + d2c2 + a2e2 + d2b2 – 2bfec – 2afdc – 2aedb = u 2 v 2 – u 2 v 2 cos2 q En ajoutant et en retranchant a2d2 + b2e2 + c2f2 au membre de droite, on obtient : = u 2 v 2 (1 – cos2 q) u ´ v 2 = b2f2 + e2c2 + a2f2 + d2c2 + a2e2 + d2b2 + a2d2 + b2e2 + c2f2– (a2d2 + b2e2 + c2f2 + 2bfec + 2afdc + 2aedb) = u 2 v 2 sin2 q Puisque 0° ≤ q ≤ 180°, sin q > 0 et on peut conclure que : S S S En factorisant, on a ainsi : u ´ v = (a2 + b2 + c2)(d2 + e2 + f2) – (ad + be + cf)2 = u v sin q , où q est l’angle entre les vecteurs. u ´ v 2 = u 2 v 2 – (u • v)2

Module du produit vectoriel Théorème Module du produit vectoriel Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R3. Alors, le module du produit vectoriel u ´ v est donné par : u ´ v = u v sin q , où q est l’angle entre les vecteurs. Remarque Les vecteurs algébriques de R3 étant représentés graphiquement par des vecteurs géométriques dont l’origine coïncide avec l’origine d’un système d’axes, les résultats sur la direction et le module du produit vectoriel sont également valides pour les vecteurs géométriques de R3.

Produit vectoriel des vecteurs orthonormés Il nous reste à préciser le sens du produit vectoriel u ´ v. Pour simplifier la réflexion considérons les vecteurs de la base orthonormée. Considérons d’abord le produit i ´ j. Considérons maintenant le produit j ´ k. Considérons maintenant le produit j ´ i. Considérons maintenant le produit k ´ i. i j k 1 i j k 1 i j k 1 i j k 1 i ´j = k ´i = j ´ i = j ´k = = 0 i + 1 j k + 0 = 0 i – 0 j k + 1 = 0 i + 0 j k – 1 = 1 i – 0 j k + 0 S S S S On peut de la même façon, considérer les autres produits. La règle de la main droite permet toujours d’indiquer le sens du produit vectoriel. Plaçons la main droite pour qu’elle pointe dans le sens du vecteur à gauche du symbole d’opération et de telle sorte que l’on puisse fermer la main en tournant vers le vecteur qui est à droite du symbole d’opération. Le pouce indique alors le sens du produit vectoriel.

Sens du produit vectoriel Théorème Sens du produit vectoriel Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R3. Alors, le sens du produit vectoriel u ´ v est donné par la règle de la main droite (ou règle de la vis ou règle du tire-bouchon). Pour appliquer la règle de la main droite, on tend celle-ci dans le sens du vecteur à gauche du symbole d’opération de telle sorte que l’on puisse fermer la main en tournant vers le vecteur qui est à droite du symbole d’opération. Le pouce indique le sens du produit vectoriel. Pour appliquer la règle du tire-bouchon ou la règle de la vis, on imagine un tire-bouchon dont la pointe doit tourner du vecteur à gauche du symbole vers le vecteur à droite du symbole d’opération. Le tire-bouchon ira alors dans le sens du produit vectoriel.

Produit vectoriel Théorème Produit vectoriel de vecteurs géométriques Soit u et v deux vecteurs géométriques. v donne un vecteur w tel que : Alors, le produit vectoriel u ´ • sa direction est perpendiculaire au plan défini par u et v; • son sens est obtenu en appliquant la règle de la main droite en tournant de u vers v; • sa longueur est égale au produit des modules des vecteurs u et v et du sinus de l’angle entre ces vecteurs.

Produit vectoriel nul S Considérons u et v, deux vecteurs géométriques non nuls tels que u ´ v = 0, Alors : v = 0 u ´ Û u ´ v = 0 Û u v sin q = 0 Û sin q = 0, car u ≠ 0 et v ≠ 0 Û q = 0° ou q = 180° Û u et v ont la même direction (ou sont colinéaires). S Théorème Produit vectoriel nul Soit u et v deux vecteurs non nuls. Alors, u ´ v = 0 si et seulement si les deux u et v ont la même direction (ou sont colinéaires).

Exemple 9.3.2 Dans la figure ci-contre, les vecteurs géométriques e1, e2 et e3 forment une base. e1 ´u = 2 e2 Effectuer, en utilisant cette base, les produits vectoriels indiqués. Exprimer le vecteur obtenu en fonction des vecteurs de la base. a) e1 ´ u b) u ´ v a) Le produit vectoriel donne un vecteur perpendiculaire au plan défini par e1 et u. b) En exprimant les vecteurs u et v en fonction des vecteurs de la base, on obtient : S S Par la règle de la main droite, le sens du produit est le même que le vecteur e2. u = 2 e1 + 2 e3 et v = 2 e1 + e2 En utilisant les propriétés et le fait que sin 0° = 0 et sin 90° = 1, on obtient : De plus, e1 = 1, u = 22 + 22 = 8 = 2 2 et sin 45° = 2 u ´ v = (2 e1 + 2 e3) ´ (2 e1 + e2 ) = 4 (e1 ´ e1) + 2 (e1´ e2) + 4 (e3´ e1) + 2 (e3´ e2) On a donc, e1 ´ u = 2. = 4 (0) + 2 (–e3) + 4 (–e2) + 2 (e1) u = 2e2 Par conséquent, e1 ´ = 2 e1 – 4 e2 – 2 e3

Interprétation géométrique du module Dans le produit vectoriel, le module est égal au produit des modules et du sinus de l’angle entre ceux-ci. Théorème Aire du parallélogramme Soit u et v deux vecteurs de R3. Alors, le module du produit vectoriel u ´ v donne l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs u et v.

Exemple 9.3.3 Dans la figure ci-contre, les vecteurs géométriques e1, e2 et e3 forment une base orthonormée. Utiliser le produit vectoriel pour calculer l’aire du parallélogramme ABCD. Pour déterminer l’aire du parallélo-gramme, il faut calculer le module du produit vectoriel AB ´ AD. En exprimant ces vecteurs dans la base, on a : On a donc : AB ´ AD = 2 e1 + 2 e2 + 4 e3 AB = 2 e2 – e3 et AD = 2 e1 – e3 S S Le module est alors : Le produit vectoriel donne alors : AB ´ AD = (2 e2 – e3) ´ (2 e1 – e3 ) AB ´ AD = 22 + 22 + 42 = 24 ≈ 4,90 = 4 (e2 ´ e1) – 2 (e2´ e3) – 2 (e3 ´ e1) + (e3 ´ e3) Par conséquent, l’aire du parallélogramme est d’environ 4,90 unités d’aire. = 4 (e3) – 2 (–e1) – 2 (–e2) + 2 (0) = 2 e1 + 2 e2 + 4 e3

Exemple 9.3.4 S S Effectuer le produit vectoriel u ´ v , sachant que : u = 2 i – 3 j + k et v = –5 i + 2 j + 3 k Calculer l’aire du parallélogramme construit sur ces vecteurs. Le produit vectoriel est donné par : i j k 2 –3 1 –5 3 u ´ v = = (–9 – 2) i – (6 + 5) j + (4 – 15) k = –11 i – 11 j k –11 On sait que ce vecteur est perpendiculaire aux deux vecteurs donnés et que son module donne l’aire du parallélogramme construit sur ceux-ci. S S u ´ v = (–11)2 + (–11)2 + (–11)2 = 3 ´112 ≈ 19,05 Par conséquent, l’aire du parallélogramme est d’environ 19,05 unités d’aire.

Conclusion Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs dont on effectue le produit, dont le sens est donné par la règle de la main droite et dont le module est égal au produit des modules et du sinus de l’angle entre les vecteurs. Lorsque les vecteurs sont donnés dans la base orthonormée usuelle, on peut trouver ce vecteur, exprimé dans cette même base, en effectuant le calcul d’un déterminant. Le module du produit vectoriel donne l’aire du parallélogramme construit sur ceux-ci.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 9,3, p.256-273. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 8.3, p.205-211. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 9.4, p. 274-277. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 8,4, p.212-213.