les nombres en maternelle SEAP-4a les nombres en maternelle Compte rendu de la conférence Charnay M. Furstenberger C. Benmimoune Roland Charnay-2008 1

Historique de l’enseignement des nombres Avant 1970: Les nombres étaient enseignés sous la forme de leçons de choses. Après les années 1970 : L’enfant entre psychologie et Bourbaki, entre organiser les connaissances mathématiques et structurer la pensée (Piaget). Troisième période : Les apports des neurosciences et de l’anthropologie ont montré que la notion de quantité était présente très tôt. Comment alors l’école accompagne le passage de l’idée de quantité à la notion de nombre?

Domaines d'activités de la maternelle Structuration de l'espace à poursuivre et consolider au cycle 2 Formes et grandeurs Temps Quantités et nombres Développement de la pensée logique Références : Programmes Document d'accompagnement de 2002 : "Vers les mathématiques : quel travail en maternelle ?" Roland Charnay-2008 3

Quatre aspects de la maîtrise d'une notion Roland Charnay-2008 4

2-Quels résultats, quelles procédures ? 4-Quel langage ? 1-Quels problèmes ? Pour quoi faire ? 2-Quels résultats, quelles procédures ? à mémoriser à savoir élaborer Comment ? 4-Quel langage ? Le triple code Comment dire ? 3-Quelles explications ? Pourquoi ? Roland Charnay-2008 5

Le language Le triple code Roland Charnay-2008 6

Modèle du triple code (Dehaene-Cohens) Code analogique Représentation sémantique non-verbale de la taille des nombres comparaison des nombres calculs approximatifs Code arabe Manipulation de chiffres calculs à plusieurs chiffres parité… Code verbal Oral ou écrit (mots-nombres) comptage tables 3 trois Roland Charnay-2008 7

Les connaissances La comptine numérique Roland Charnay-2008 8

Importance de la "comptine" orale et du dénombrement L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures… Conclusion d'une synthèse de P. Barouillet et V. Camos Roland Charnay-2008 9

L'acquisition de la comptine : quelques étapes Grande variabilité selon les enfants (donc valeurs moyennes) 4 ans et demi : récitation jusqu'à seize 5 ans et demi : récitation jusqu'à quarante Mais savoir réciter n'est ni connaître complètement ni savoir utiliser Roland Charnay-2008 10

« Développer des compétences qui mènent au calcul » Connaître la "comptine" Jusqu'à 6 ans Compter à partir de 1 jusqu'à… Compter à partir de … jusqu'à… Compter à rebours (décompter) Utiliser la comptine pour dénombrer A partir de 6-7 ans Compter et décompter n nombres à partir de … Compter ou décompter de … à …, en comptant les nombres énumérés « Développer des compétences qui mènent au calcul » Roland Charnay-2008 11

Les techniques Le dénombrement Roland Charnay-2008 12

Dénombrement Plusieurs compétences à développer Reconnaissance immédiate de petites quantités Quantités repères : constellations, doigts… Comptage un par un (3 principes importants) Correspondance nombre – objet Dernier nombre dit Indépendance du parcours des objets Estimation Roland Charnay-2008 13

Etude de Mandler & Shebo (1982) rapportée dans "La cognition mathématique chez l'enfant" (Ed. Solal) Roland Charnay-2008 14

3 ans 4 ans 5 ans 7 objets 19 % 47 % 80 % 11 objets 5 % 37 % Dénombrement par comptage un à un avec le principe du dernier nombre dit Quelques repères 3 ans 4 ans 5 ans 7 objets 19 % 47 % 80 % 11 objets 5 % 37 % Etude de Gelman, 1983, rapportée dans "L'enfant et le nombre" de M. Fayol Roland Charnay-2008 15

Cinq objectifs importants pour la Maternelle 1-Suite orale des nombres : stabilisation 2-Dénombrement : différentes méthodes 3-Correspondance suite orale - suite écrite: par le biais de la bande numérique Roland Charnay-2008 16

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 un deux trois quatre cinq 4-Trouver l’écriture chiffrée associée à un mot-nombre: un deux trois quatre cinq 1 2 3 4 5 6 7 5-Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée: un deux trois quatre cinq 1 2 3 4 5 6 7 Roland Charnay-2008 17

Les problèmes Des nombres pour mémoriser. Des nombres pour anticiper. Roland Charnay-2008 18

Les nombres outil pour mémoriser… …des quantités aspect cardinal Réaliser une collection équipotente à une collection donnée Compléter une collection pour la rendre équipotente… Comparer des collections … des positions dans une liste rangée aspect ordinal Indiquer une position Replacer un objet à sa position Comparer des positions Roland Charnay-2008 19

Nombres et mémoire des quantités Une situation "de référence” Préparer juste ce qu'il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille. Roland Charnay-2008 20

Exemples de problèmes en PS et MS Collections assez nombreuses et proches Placer les bouchons : respect de la contrainte Jusqu'à 5 ou 6 bouteilles, bouchons proches Préparer sur un plateau avant de placer Jusqu'à 4 bouteilles, bouchons éloignés Aller chercher avec un plateau (en plusieurs fois, puis en une seule fois) Jusqu'à 10 bouteilles, bouchons éloignés mais dans paniers de 1, 2 ou 3 bouchons Aller chercher en plusieurs fois Aller chercher en une seule fois Roland Charnay-2008 21

Autre exemple d'activité à l'articulation Maternelle-CP 1. Placer (puis seulement préparer) les gommettes (MS) 2. Aller chercher, en une seule fois, juste assez de gommettes pour réparer le ziglotron (GS, CP) 3. Les commander oralement (GS, CP) 4. Les commander par écrit (éventuellement GS, CP) D'après Cap maths CP Roland Charnay-2008 22

Ces deux aspects se gênent mutuellement Les quantités Quantités Se décomposent Se dénombrent Ces deux aspects se gênent mutuellement

ANTICIPER / VALIDER aspect essentiel de ce type de situation Manipuler Favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticiper Incite à l'expérience mentale Oblige à élaborer des procédures Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Roland Charnay-2008 24

Deux exemples de situations d'entraînement sur quantités - nombres Roland Charnay-2008 25

Réaliser une quantité en une ou deux fois (d'après Dominique Valentin, Découvrir le monde avec les mathématiques PS-MS, Hatier) Jeu - activité : Tirer une carte au hasard Réunir autant d'objets que ce qu'indique la carte Cartes de 1 à 6 4 Variantes : Se servir librement dans la panier et placer dans une boîte avant de poser sur la carte Prendre un plateau, le poser dans une boîte et, si nécessaire, compléter en prenant dans le plateau Prendre uniquement des plateaux Panier avec 50 objets identiques de la taille des points Petits plateaux contenant de 1 à 6 de ces objets : 6 de 1 objets 5 de 2 objets 3 de 3 objets 2 de 4 objets 1 de 5 objets Conditions : Nombre et points au recto ou recto-verso Objets proches ou éloignés Se servir ou demander Roland Charnay-2008 26

Le dortoir (autour de dix) (d'après Dominique Valentin, Découvrir le monde avec les mathématiques GS, Hatier) - Au début, tous les bébés sont dans leur lit. - Pendant que les enfants ont les yeux fermés, en prendre un certain nombre et les mettre dans la salle de jeux. Dortoir avec 10 lits 10 bébés Question 1 : - Trouver combien de bébés sont dans la salle de jeux, seul le dortoir étant visible Question 2 : - Trouver combien de bébés sont dans le dortoir, seule la seule de jeux étant visible - Salle de jeux, à distance Roland Charnay-2008 27

POUR RÉSOUDRE DES PROBLÈMES ARITHMÉTIQUES… LES NOMBRES OUTIL POUR RÉSOUDRE DES PROBLÈMES ARITHMÉTIQUES… Problèmes "arithmétiques" sans calcul en GS Les problèmes d'abord Roland Charnay-2008 28

Quels résultats, quelles procédures ? "Calcul" en GS ? Quels problèmes ? Pour quoi faire ? Quels résultats, quelles procédures ? à mémoriser à savoir élaborer Comment ? Quel langage ? verbal Symbolique Comment dire ? Quelles explications ? Pourquoi ? Roland Charnay-2008 29

Positions sur une piste 1-Quels problèmes en GS ? Sur les quantités Résultat d’une augmentation ou d’une diminution Valeur de la transformation Etat avant transformation Résultat d’un partage ou d'un échange Positions sur une piste Position après un déplacement (en avant ou en arrière) Valeur du déplacement Position avant déplacement Roland Charnay-2008 30

Comment mettre en évidence la dualité des nombres ? Par la comparaison 4 et 7 lequel est le plus petit, lequel est le plus grand ? 4<7 aspect cardinal. 4 est meilleur que 7 (ordinal) Réponse : Récite et le premier qui arrive est le plus petit. Roland Charnay-2008 31

2-Quelles procédures ? Dessin et dénombrement Recomptage mental ou aidé (doigts…) Surcomptage mental ou aidé (doigts…) Décomptage mental ou aidé (doigts…) Double comptage de … à …mental ou aidé (doigts…) Utilisation de résultats déjà connus Commencer à travailler la décomposition des nombres Roland Charnay-2008 32

Problème ordinal : Jeu de l’oie Un ou deux dés à 6 faces. Jeu - activité : règles normales du jeu de l’oie pour s’approprier la situation. partant de…, où serais-je si je fais … avec le dé. partant de … et étant …, combien ai-je fait avec mon dé pour y arriver ? que faire pour arriver à … en un saut ?, en deux sauts ? … Un plateau de Jeu de l’oie avec des pions. Il faut détacher l’enfant de l’action pour le mettre en situation d’anticipation : « Dis moi le résultat avant de le faire, dis moi ce que tu vas faire avant de le faire » Comment obliger l’enfant à penser et non à commenter l’action… Roland Charnay-2008 33

L'enfant qui entre au CP… … a déjà une longue pratique de "l'addition" et de la "soustraction" et a développé diverses stratégies pour résoudre les problèmes qui lui ont été proposés… … sans disposer du langage symbolique (+, -, =) et sans nécessairement avoir mémorisé de résultat. Roland Charnay-2008 35

S'approprier les nombres EN CONCLUSION… S'approprier les nombres dans un rapport avec des expériences réelles… …en réservant l’utilisation de fiches écrites aux phases d’entraînement individuel En maternelle et au cycle 2, le travail sur fiche nuit gravement aux apprentissages mathématiques Roland Charnay-2008 36

Les nombres vivent en bande, en relations (arithmétiques) les uns avec les autres.