Modèle affine Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Lorsqu’on tente de comprendre un aspect d’un phénomène naturel, une approche possible est d’effectuer des mesures et de tenter d’en déduire une relation. Dans cette approche, on modifie la valeur d’une des variables, appelée alors variable indépendante, et on mesure l’impact de ce changement sur une autre variable appelée variable dépendante. On obtient alors des couples de valeurs correspondante dont la représentation graphique donne une image du lien entre les variables. Lorsque les points qui représentent graphiquement les couples d’une relation forment une droite, le lien entre les variables est décrit par l’équation de cette droite. La démarche pour trouver cette équation et déterminer son domaine de validité est appelée modélisation affine.

Relation et fonction On soupçonne qu’il y a un lien entre la résistance d’un conducteur et la température. Pour s’en assurer, on peut appliquer le protocole suivant : 1. Construire un circuit suivant le schéma ci-contre. 2. Refroidir celui-ci jusqu’à –20 °C, fermer le circuit. 3. Réchauffer le circuit jusqu’à 30 °C. 4. Mesurer la résistance à différentes températures à intervalles de 10 °C. Supposons que les mesures observées sont celles du tableau suivant : T (°C) –20 –10 0 10 20 30 R (Ω) 17,2 19,4 21,5 23,7 25,7 28,0

f : {(–20; 17,2), …,(–10; 19,4), …, (0; 21,5), …, (30; 28,0), …} Relation et fonction En récoltant les données de ce tableau, on a couplé des mesures. L’ensemble de ces couples constitue une relation. Dans notre mise en situation, ces couples donnent un aperçu de la relation entre la résistance et la température. L’ensemble de ces couples peut également être représenté de la façon suivante : Couple f : {(–20; 17,2), …,(–10; 19,4), …, (0; 21,5), …, (30; 28,0), …} Préimage du couple Image du couple DÉFINITION Fonction Une fonction est une relation pour laquelle chaque préimage a une et une seule image.

Représentations d’une fonction Extension Représentation sous la forme d’un tableau ou d’une liste de couples. Compréhension Représentation sous la forme : f : {(T; R) Î R2 | ••• } où ••• devrait être une phrase ou une équation décrivant la relation entre les variables observées et permettant d’en faire l’analyse dans des cas complexes. Graphique En associant à chaque couple d’une relation un point dans un système de référence cartésien, on obtient une courbe qui est la représentation graphique de cette relation. La variable indépendante est représentée sur l’axe horizontal et la variable dépendante sur l’axe vertical.

Fonction affine DÉFINITION Fonction affine Une fonction affine est une fonction de la forme : f(x) = ax + b où a et b sont des nombres réels et a ≠ 0. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite dont l’intersection avec l’axe vertical est (0; b). ( x2; y2) (0; b) ∆y = y2 – y1 Le coefficient a est appelé pente de la droite ou taux de variation de la relation. ( x1; y1) ∆x = x2 – x1 ∆y ∆x y2 – y1 x2 – x1 a = =

Critère algébrique Supposons que des mesures expé-rimentales ont été prises pour des valeurs à intervalles réguliers de la variable indépendante. Le taux de variation constant est une caractéristique du modèle affine. Dès que l’on peut déterminer, dans une situation donnée, que le taux de variation est constant, on peut conclure que le phénomène est modélisable par une fonction affine. Voyons comment on peut tirer cette conclusion pour des données expérimentales à pas constant. ∆f Si le phénomène est descriptible par un modèle affine. La représentation des couples aura l’aspect ci-contre. ∆f ∆f ∆f Cela permet d’obtenir le critère algébrique suivant : ∆f p f(x + p) – f(x) p = = a p p p p On remarquera qu’il est simple de faire appliquer ce critère en utilisant un tableur électronique comme Excel. S

Application du critère algébrique Considérons à nouveau les données obtenues en utilisant une résistance à différentes températures. Utilisation du modèle Définition du lien entre les variables ∆Ri p T (°C) R (Ω) R(Ti) – 0,216Ti Le modèle est donc : R(T) = 0,216T + 21,50 –20 –10 10 20 30 17,2 19,4 21,5 23,7 25,7 28,0 – 0,22 0,21 0,20 0,23 21,52 21,56 21,50 21,54 21,38 Identification des variables Calculer la résistance à 15°C. La variable indépendante est la température T (°C) et la variable dépendante est la résistance R (Ω). À quelle température la résistance est-elle de 26 Ω? On doit déterminer l’image de 15°C. Cela donne : On doit déterminer la préimage de 26 Ω. Cela donne : R(15) = 0,216 ´ 15 + 21,50 = 24,74 Définition du lien entre les variables La résistance sera de 24,7 Ω. En appliquant le critère algébrique, on constate que les rapports sont relativement constants. 0,216T + 21,50 = 26 0,216T = 4,50 T= 20,83 Le lien entre les variables est donc de la forme : Moyenne 0,216 21,50 La résistance est de 26 Ω à une température de 20,8 °C. S S R(T) = 0,216T + b, d’où b = R(T) – 0,216T

Équation d’une droite On a parfois à trouver le modèle affine entre deux variables dont seulement deux couples sont connus ou dont un couple et le taux de variation (pente de la droite est connu). ( x2; y2) ( x; y) Un point variable (x; y) est sur la même droite que les points connus si et seulement si le taux de variation est constant. Cela donne: ( x1; y1) y – y1 x – x1 y2 – y1 x2 – x1 = = a

Exemple 2.1.3 Trouver l’équation de la droite passant par les points (–3; 1) et (4; 6). ( 4; 6) ( x; y) Un point variable (x; y) est sur la même droite que les points connus si et seulement si le taux de variation est constant. Cela donne : ( –3; 1) = 6 – 1 4 – (–3) y – 1 x – (–3) = 5 7 y – 1 x + 3 , d’où : On obtient alors : 7y – 7 = 5x + 15 , d’où : 7y = 5x + 22 y = 5x 7 + 22 En isolant y, on trouve : S

Variations directement proportionnelles Une variation directement proportionnelle est une relation décrite par une expression de la forme : y = ax Graphiquement, elle est représentée par une droite passant par l’origine. Cette caractéristique graphique permet de déceler visuellement l’existence d’un lien directement proportionnel. y3 y2 y1 Pour confirmer l’existence d’un tel lien, on utilise la forme : x1 = a y x x2 x3 La confirmation de l’existence de ce lien est obtenue si les rapports sont constants pour l’ensemble des données. y1 x1 y2 x2 y3 x3 = = = … = a

Application du critère algébrique On a relevé expérimentalement les corres-pondances ci-contre. y/x x y Quelle hypothèse peut-on faire sur le lien entre ces variables? Confirmer l’existence de ce lien par un critère algébrique. Représenter graphiquement ces données. 2 4 6 8 10 12 14 5,71 11,41 17,12 22,83 28,54 34,24 39,95 – 2,855 2,853 2,854 y 48 36 24 12 Moyenne 2,854 4 8 12 x Le nuage de points suggère une droite passant par l’origine. On peut donc supposer que le lien entre les variables est une variation directement proportionnelle. Pour les valeurs non nulles, les quotients sont relativement constants, ce qui confirme l’existence d’un lien de variation directement proportionnelle. S S S y = 2,854x

Conclusion On peut détecter que le lien entre deux variables est affine en représentant graphiquement les données. Le nuage de points doit former une droite pour que le lien soit affine. Un lien de variation directement proportionnelle est un cas particulier de lien affine, la constante est nulle et le nuage de points suggère une droite passant par l’origine. Pour confirmer l’existence d’un lien, il faut appliquer un critère algébrique. Critères algébriques Lien affine Variation directement proportionnelle ∆f p = f(x + p) – f(x) = a = a y x

Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 2.1, p.34 à 49. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 2.2, p. 50 à 53.