Chapitre VII :Commande par retour d’état VII-1 Introduction VII-2 Méthode de placement des Pôles VII-3 Régulation et asservissement par retour d’état VII-4 Reconstructeur d’état

VII-1 Introduction La commande par retour d'état consiste à utiliser le vecteur d’état en contre réaction pour améliorer le comportement propre du processus. Dans le cas d’un commande analogique le schéma général pourra être le suivant : e(t) ou consigne + + Système quelconque C(p) s(t) - - L Exemple Prenons le cas d’un moteur à courant continu approximé au premier ordre (la constante de temps électrique étant négligée)

Si nous effectuons une correction classique avec un correcteur proportionnel par exemple, nous constatons que le correcteur permet de régler la pulsation caractéristique en imposant le facteur d’amortissement ou vice-versa. + - Examinons maintenant le cas où l’on conserve le correcteur proportionnel et l’on rajoute une contre réaction tachymétrique : + + - - L Dans cette configuration, on s’aperçoit que la pulsation caractéristique n’a pas changé et surtout qu’il est possible à l’aide des paramètres L et KC de choisir indépendant les caractéristiques du système (facteur d’amortissement, temps de réponse, …)

Équations du système bouclé Principe La loi de commande u(t) peut être une combinaison linéaire des variables d’état et de la consigne (ou entrée). Partant d’un système d’ordre n (p entrées et q sorties) : On lui adresse : Équations du système bouclé La matrice L n’altère que la matrice dynamique. L permettra donc de régler la dynamique pure du système La matrice V n’altère que la matrice de commande. V permettra de changer les entrées mais généralement on prend V=I Remarques : Si l’on veut utiliser ce type de commande, on doit répondre à deux questions 1 - Problème d’observabilité : On a besoin du vecteur d’état : est-il observable? Sinon, peut-on le reconstruire? IL FAUT DONC S’ASSURER QUE LE SYSTEME EST OBSERVABLE

IL FAUT DONC S’ASSURER QUE LE SYSTEME EST COMMANDABLE 2 - Problème de commandabilité : Est-il possible de commander le vecteur d’état à partir de l’entrée? IL FAUT DONC S’ASSURER QUE LE SYSTEME EST COMMANDABLE VII-2 Méthode de placement des Pôles But : fixer ou déplacer les valeurs propres d’un système suivant les caractéristiques voulues. Remarque : nous supposerons que les systèmes sont observable et commandable. Cas Monovariables + Système quelconque Le système schématisé ci-contre est décrit par les équations suivantes : - L la loi de commande est la suivante : La transmittance de la boucle fermée est :

Donc les pôles de Fb(p) sont les racines du polynôme : Le système étudié F(p) peut se mettre sous la forme : Si on écrit la première réalisation compagne du système : La nouvelle matrice compagne du système en boucle fermé est :

Par conséquent la transmittance en boucle fermé est: Après avoir choisi les pôles de Fb (p1, p2, …, pn), il suffira d’identifier les deux expressions suivantes pour déterminer les li : Cas Multivariables : exemple du déplacement d’une valeur propre Au départ on a : Le système possède n valeurs propres 1 à n.

On se place en représentation diagonale, d’état z : La loi de commande s’écrit : Le système en boucle fermée est : M : matrice modale de A La matrice b n’a aucune raison d’être diagonale. On veut déplacer i en i. Pour résoudre ce problème i devrait apparaître dans b. Ceci est possible si BdLM ne possède qu’une colonne non nulle à la position i Le déterminant de b reste égale au produit des termes de la diagonale.

On veut que BdLM ne possède qu’une seule colonne non nulle à la position i : Il suffit donc que LM ne possède qu’une seule colonne non nulle à la position i On sait que : ième ligne de I ième position Finalement :

Solution du problème : Placer i en i On cherche un vecteur ki tel que : une infinité de solution en k, donc on impose n-1 composantes de k On choisit finalement : Cas particulier mono-variable  k est scalaire

VII-3 Régulation et asservissement par retour d’état Principe Pour un système à q sorties si, on crée un vecteur consigne ou entrée e de taille q. Dans la loi de commande doit apparaître la quantité e-s. On se place dans une représentation ou les sorties sont les premières variables d’états : On utilise la loi de commande : Avec V égale aux q premières colonnes de L Structure de commande - + Système quelconque A, B, C - L

Cas monovariable (u et e sont des scalaires) Le retour d’état n’a aucun pouvoir sur les qualités d’un système. Solution : On place autant d’intégrateur que d’erreur stationnaires à annuler On obtient finalement un système augmenté d’une variable d’état. Intégrateur - + Système quelconque A, B, C - L Calcul de L Etat augmenté :

La loi de commande s’écrit : On calcule la matrice de dynamique du système augmenté bouclé : Finalement on identifie Det(pI-Ab) au dénominateur de son choix.

VII-4 Reconstructeur d’état Dans les paragraphes précédents la connaissance du vecteur d’état x est nécessaire pour le fonctionnement des différentes méthodes, malheureusement il n’est pas toujours accessible ou avec une précision suffisante. La solution est de "Reconstruire" le vecteur d’état à d’un dispositif appelé "Reconstructeur d'état" ou encore "Observateur" L'observation d'un système d'ordre n d'équations est un système linéaire dont les entrées sont u et s, et la sortie est une estimation de x arbitrairement proche de x Si z est l'état de l'observateur : DO peut exister si certaines composantes de s sont des variables d'états. Dans certains cas si les si sont variables d'états il n'y a que n-q xi à estimer.  Observateur d'ordre ou de taille réduite On dit que l'observateur est d'ordre plein si toutes les variables d'état sont à estimer.  n = dim(x) = dim(z)

BO constitue l'organe de réglage de l'observateur Observateur identité : On prend CO = I L'état estimé est celui de l'observateur Observateur identité d'ordre plein (de Luenberger) : Pas d'équation d'observation : L'état estimé peut s'écrire : On a aussi : x, u et  sont indépendantes : BO constitue l'organe de réglage de l'observateur

Simulation du système à observer + + + s BO C - + A L'observateur est une simulation du système à observer recevant la même entrée u et dont la sortie est asservie (en commande proportionnelle de gain BO) à la sortie s du système. L'erreur d'observation : On règle BO de manière a ce que ait des valeurs propres : Et de manière à ce que l'observateur soit plus rapide que le système à observer.

Exemple cas continu : Soit le système du 2nd ordre : Simulation du système à observer : 1/2 1/4 - - + + u 1/2 + +   + s -

Réglage de l'observateur, détermination de  et : On veut que cet observateur soit 10 fois plus rapide que le système à observer. Détermination des temps caractéristiques du système à observer:  Système apériodique de constante de temps 2 sec et 4 sec. On peut choisir par exemple pour l'observateur, qui est un 2nd ordre, 1 pôle double associé à une constante de temps de 0.2 sec. Observateur désiré

La simulation peut se faire analogiquement ou numériquement Réalisation de l'observateur : On calcul sa matrice de transfert : Ceci nous permet de ne sortir ou estimer seulement que la variable La simulation peut se faire analogiquement ou numériquement s + + u