1 Théorie des Graphes Cycle Eulérien

2 Rappels de définitions On dit qu'une chaîne est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe. On dit qu'un cycle est une chaîne ayant le même point de départ et darrivée. Cest donc un chemin passant par toutes les arêtes du graphe, et ayant le même point de départ et darrivée. Cest donc une chaîne « qui se referme ».arêtes

3 Exemple 1 On dit qu'une chaîne est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe. On dit qu'un cycle est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe, et ayant le même point de départ et darrivée. Cest donc une chaîne « qui se referme ». Le chemin a-b-c-d-a nest ni une chaîne ni un cycle car il ignore larête a-earêtes a b c d e

4 Exemple 2 On dit qu'une chaîne est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe. On dit qu'un cycle est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe, et ayant le même point de départ et darrivée. Cest donc une chaîne « qui se referme ». Le chemin a-b-c-d-a-e est une chaîne mais pas un cycle.arêtes a b c d e

5 Exemple 3 On dit qu'une chaîne est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe. On dit qu'un cycle est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe, et ayant le même point de départ et darrivée. Cest donc une chaîne « qui se referme ». Le chemin a-b-c-d-a-e-b-a est un cycle (donc une chaîne).arêtes a b c d e

6 Nouvelles définitions On dit qu'un graphe est eulérien s'il est possible de trouver un cycle passant une et une seule fois par toutes les arêtes. On dit qu'un graphe est semi-eulérien s'il est possible de trouver une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes. Plus simplement, on peut dire qu'un graphe est eulérien (ou semi-eulérien) s'il est possible de dessiner le graphe sans lever le crayon et sans passer deux fois sur le même trait !

7 Cycle eulérien : Exemple 1 Définition : On dit qu'un graphe est eulérien s'il est possible de trouver un cycle passant une et une seule fois par toutes les arêtes. Plus simplement, on peut dire qu'un graphe est eulérien s'il est possible de dessiner le graphe sans lever le crayon et sans passer deux fois sur le même trait, tout en revenant au point de départ ! Le chemin a-b-c-d-a est un cycle eulérien a b c d

8 Cycle eulérien : Exemple 2 Définition : On dit qu'un graphe est eulérien s'il est possible de trouver un cycle passant une et une seule fois par toutes les arêtes. Plus simplement, on peut dire qu'un graphe est eulérien s'il est possible de dessiner le graphe sans lever le crayon et sans passer deux fois sur le même trait, tout en revenant au point de départ ! Le chemin a-b-c-d-a-e-b-a est un cycle mais nest pas un cycle eulérien car on utilise deux fois larête reliant les sommets a et b. a b c d e

9 Graphe semi-eulérien : Exemple 1 Définition : On dit qu'un graphe est semi- eulérien s'il est possible de trouver une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes. Plus simplement, on peut dire qu'un graphe est semi-eulérien s'il est possible de dessiner le graphe sans lever le crayon et sans passer deux fois sur le même trait, sans revenir forcément au point de départ ! Le chemin a-b-c-d-a-e est une chaîne mais pas un cycle, comme elle comporte une seule fois chacune des arrêtes, le graphe est par définiton semi-eulérien a b c d e

10 Graphe semi-eulérien : Exemple 2 Définition : On dit qu'un graphe est semi- eulérien s'il est possible de trouver une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes. Plus simplement, on peut dire qu'un graphe est semi-eulérien s'il est possible de dessiner le graphe sans lever le crayon et sans passer deux fois sur le même trait, sans revenir forcément au point de départ ! Le chemin a-b-c-d-a-e est une chaîne mais pas un cycle, comme elle comporte une seule fois chacune des arrêtes, le graphe est par définiton semi-eulérien a b c d e

11 À vous de jouer…

12 Un jeu bien connu… Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant quune seule fois par chaque arête ? Même question si on impose en plus le même point de départ et darrivée ?

13 Méthode : on nomme les sommets Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant quune seule fois par chaque arête ? i.e ce graphe est-il un graphe semi-eulérien ? Même question si on impose en plus le même point de départ et darrivée ? i.e ce graphe est-il un graphe eulérien ? ab c d e

14 Ce graphe est semi-eulérien Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant quune seule fois par chaque arête ? i.e ce graphe est-il un graphe semi-eulérien ? EXEMPLE de chemin : ab c d e

15 Ce graphe nest pas eulérien Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant quune seule fois par chaque arête, et en ayant le même point de départ et darrivée ? i.e ce graphe est-il un graphe eulérien ? Réponse : Non ! Pourquoi ? Cest lobjet de ce chapitre… ab c d e

16 Que manquait-il ? pour le savoir on va étudier un second exemple…

17 À vous de jouer (2)… Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant quune seule fois par chaque arête ? i.e ce graphe est-il un graphe semi-eulérien ? Même question si on impose en plus le même point de départ et darrivée ? i.e ce graphe est-il un graphe eulérien ? e ab c d

18 Ce graphe est semi-eulérien Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant quune seule fois par chaque arête ? i.e ce graphe est-il un graphe semi-eulérien ? EXEMPLE de chemin : e ab c d

19 Ce graphe nest pas eulérien Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant quune seule fois par chaque arête, et en ayant le même point de départ et darrivée ? i.e ce graphe est-il un graphe eulérien ? Réponse : Non ! Pourquoi ? …. e ab c d

20 La question est en lien avec le point de départ et le point darrivée…. Le sommet d peut-il être le point de départ et darrivée dun cycle eulérien ? Même question pour le sommet e ? Et pour a ? Pourquoi ? Quelle règle est-il nécessaire davoir quant au nombre darêtes partant du point de départ ? Mais ce nest pas fini… e ab c d

21 La question est aussi en lien avec tous les sommets du graphe... La règle nécessaire quant au nombre darêtes partant de chaque point est la même que précédemment. Pourquoi ? e ab c d

22 CONCLUSION : Condition nécessaire pour avoir un cycle eulérien La condition nécessaire pour avoir un cycle eulérien est : le nombre de chemins ayant un degré ______ est _____ On admet que cette condition est suffisante, cest-à-dire que si elle a lieu, alors on peut trouver un cycle eulérien !

23 Exemple Expliquez pourquoi ce graphe nadmet pas de cycle eulérien : a b c d e f g h i j k l m n op q r s t u v w x y z

24 Exemple Expliquez pourquoi ce graphe admet un cycle eulérien : a b c d e f g h i j k l m n op q r s t u v w x y z

25 Comment passer dun graphe semi-eulérien à un graphe eulérien ? Étudiez cet exemple : comment en rajoutant un arête peut-on passer de lun à lautre ? En déduire à quelle condition nécessaire on peut trouver un graphe semi-eulérien. Condition nécessaire pour avoir un graphe semi-eulérien ab c d e ab c d e Une arête à rajouter ?

26 Comment passer dun graphe semi-eulérien à un graphe eulérien ? Étudiez cet exemple : comment en rajoutant un arête peut-on passer de lun à lautre ? En déduire à quelle condition nécessaire on peut trouver un graphe semi-eulérien. Condition nécessaire pour avoir un graphe semi-eulérien ab c d e ab c d e

27 Condition nécessaire pour avoir un graphe semi-eulérien La condition nécessaire pour avoir un graphe semi- eulérien est : le nombre de chemins ayant un degré ______ est _____ On admet que cette condition est suffisante, cest-à-dire que si elle a lieu, alors on peut trouver un graphe semi-eulérien ! Dans ce cas, le point de départ et darrivée sont ceux qui ont un degré _______ CONCLUSION : Condition nécessaire pour avoir un graphe semi-eulérien

28 Conclusion de létude…

29 CONCLUSIONS : Condition nécessaire pour avoir un cycle eulérien La condition nécessaire pour avoir un cycle eulérien est : le nombre de chemins ayant un degré ______ est _____.On admet que cette condition est suffisante, cest- à-dire que si elle a lieu, alors on peut trouver un cycle eulérien ! La condition nécessaire pour avoir un graphe semi- eulérien est : le nombre de chemins ayant un degré ______ est _____.On admet que cette condition est suffisante, cest-à-dire que si elle a lieu, alors on peut trouver un graphe semi-eulérien ! Dans ce cas, le point de départ et darrivée sont ceux qui ont un degré _______.