Construction du graphe de Spehner.

Différentes étapes 1) Alphabet. 2) Langage. 3) Création des sommets du graphe de Spehner. 4) Ajout des différents arcs. 5) Recherche dun circuit. 6) Mots en double décomposition si le langage nest pas un code.

Alphabet Notre Alphabet que lon nommera A sera composé pour notre exemple des lettres Notre Alphabet que lon nommera A sera composé pour notre exemple des lettres a et b. a et b.A={a,b}

Langage Après avoir défini notre alphabet, nous construisons notre langage L défini sur lalphabet A={a,b} précédemment créé. Notre langage sera constitué des mots a, ab et ba. Après avoir défini notre alphabet, nous construisons notre langage L défini sur lalphabet A={a,b} précédemment créé. Notre langage sera constitué des mots a, ab et ba.L={a,ab,ba}

Création des sommets Tout dabord, nous créons lensemble K contenant les sommets du graphe. K={a, b, ε}.

Affichage des sommets de notre graphe εba

Construction des arcs : Les arcs sont construits à partir de chaque sommet de notre graphe. Un arc entre les sommets (u,v) détiquette (x,y) est ajouté si : Les arcs sont construits à partir de chaque sommet de notre graphe. Un arc entre les sommets (u,v) détiquette (x,y) est ajouté si : x=u.y.v avec x Є L et y Є L*, x=u.y.v avec x Є L et y Є L*, u.y ε et y.v ε, u.y ε et y.v ε, u,v Є K. u,v Є K.

Ajout des différents arcs : εba (ab,a) (ab,ε) (ba,ε) (ba,a) Voici le graphe de Spehner associé au langage L={ab,ba,a}

Pourquoi ce nest pas un code? Le graphe de Spehner nous permet de conclure que le langage nest pas un code sil existe un circuit menant du sommet ε à lui-même. Recherchons ce circuit. Il existe un arc de ε vers b. εba (ab,a) (ab,ε) (ba,ε) (ba,a)

Pourquoi ce nest pas un code? Le graphe de Spehner nous permet de conclure que le langage nest pas un code sil existe un circuit menant du sommet ε à lui-même. Recherchons ce circuit. Mais aussi un arc de b vers ε. Nous venons donc de trouver un circuit de ε vers ε. Ce qui prouve que le langage L={a, ba, ab} nest pas un code! εba (ab,a) (ab,ε) (ba,ε) (ba,a)

Mots ayant une double décomposition Mais le graphe de Spehner permet aussi de trouver les mots ayant une double décomposition grâce aux étiquettes des différents arcs se trouvant sur un circuit de ε vers ε. Reprenons lexemple précédent : Léquation associée à ce circuit est : a.ba = ab.a donc le mot aab de L* possède une double décomposition. Cette équation est donnée grâce aux différents arcs traversés lors de ce circuit. εba (ab,a) (ab,ε) (ba,ε) (ba,a)

Présentation des primitives et des algorithmes 1°)Alphabet 2°) Mots 3°) Langage 4°) Graphe 5°) Matrice dadjacence Présentation des primitivesExemples dalgorithmes 1°) Obtention dun circuit 2°) Engendrer des mots

Alphabet Clonage Clonage Ajout de lettres Ajout de lettres Test de contenance Test de contenance Engendrement Engendrement Égalité Égalité Union Union Retrait de lettres Retrait de lettres

Mot Test des préfixes et suffixes Test des préfixes et suffixes Comparaison lexicographique Comparaison lexicographique Concaténation Concaténation Égalité Égalité Obtention des préfixes et suffixes Obtention des préfixes et suffixes Soustraction déléments Soustraction déléments

Langage Ajout de mots, densembles Ajout de mots, densembles Test dengendrement Test dengendrement Générateur minimum: test et obtention Générateur minimum: test et obtention Intersection Intersection Langage préfixe, suffixe Langage préfixe, suffixe Retrait de mots Retrait de mots

Graphe Implantation séparée: Implantation séparée: Arcs Arcs Étiquettes Étiquettes Sommets Sommets

Matrice dadjacence Outils de représentation: Outils de représentation: Existence et obtention de chemin Existence et obtention de chemin Existence et obtention de circuits Existence et obtention de circuits Existence et obtention darcs particuliers Existence et obtention darcs particuliers Test daccessibilité des sommets Test daccessibilité des sommets Recherche des sommets sur les mêmes circuits Recherche des sommets sur les mêmes circuits

Obtention dun circuit Circuit={1} Bloqués={1}

Obtention dun circuit Circuit={1,2} Bloqués={1,2}

Obtention dun circuit Circuit={1,2,3} Bloqués={1,2,3}

Obtention dun circuit Circuit={1,2,3,4} Bloqués={1,2,3,4} 4 est un sommet menant vers un autre sommet bloqué

Obtention dun circuit Circuit={1,2,3,5} Bloqués={1,2,3,4,5}

Obtention dun circuit Circuit={1,2,3,5,1} Bloqués={1,2,3,4,5} On obtient le circuit {1,2,3,5,1}

Engendrer des mots Alphabet={a,b} Langage={a,ab,bb} Mot à tester: abbab Préfixes du mot: a,ab,abb,abba,abbab a est un préfixe et un mot du langage

Engendrer des mots Alphabet={a,b} Langage={a,ab,bb} Mot à tester: abbab Préfixes du mot: a,ab,abb,abba,abbab abbab=a.bbab bbab est-il engendré par le langage?

Engendrer des mots Alphabet={a,b} Langage={a,ab,bb} Mot à tester: bbab Préfixes du mot: b,bb,bba,bbab bbab=bb.ab bb est un préfixe et un mot du langage ab est un mot du langage donc le mot de départ, abbab, est bien engendré par le langage. abbab=a.bb.ab