Approximation Diophantienne Nombres Transcendants 8 septembre 2006 CIRM LUMINY Approximation Diophantienne et Nombres Transcendants Les vaches de Narayana Narayana’s cows Michel Waldschmidt Université P. et M. Curie (Paris VI) http://www.math.jussieu.fr/~miw/
Saxophones: Daniel Kientzy Réalisation: Michel Waldschmidt http://www.pogus.com/21033.html Les vaches de Narayana Narayana's Cows, inspired by an Indian mathematician of the 14th century, and playable on any combination of instruments, is written on three staves: the complete melody, the reduced bass melody, and the drone. The present multi-track saxophone version is probably as rich and energetic as any of the large ensemble versions. The melody is played by threeoverdubbed sopranino saxophones in unison, the bass line is played by three baritones, and the drone is played by three altos. Pogus 21033-2 CD, $14.00 US http://www.pogus.com/21033.html http://kalvos.org/johness1.html Musique: Tom Johnson Saxophones: Daniel Kientzy Réalisation: Michel Waldschmidt http://www.math.jussieu.fr/~miw/
Narayana était un mathématicien indien du 14e siècle Narayana était un mathématicien indien du 14e siècle. Il posa le problème suivant: Chaque année, une vache met au monde un veau. À partir de la quatrième année, chaque veau donne à son tour et au début de chaque année, naissance à un veau. Quel est le nombre de vaches et de veaux après une durée de 17 ans? Le temps que vous mettrez à résoudre ce problème nous suffira pour vous en donner la démonstration musicale.
La première année, nous n’avons que la première vache avec son premier veau. 1 Vache initiale Deuxième génération Total 2 long-court
La deuxième année, nous avons la première vache et deux veaux. 1 2 Vache initiale Deuxième génération Total 3 + = long - court - court
La troisième année, nous avons la première vache et trois veaux. 1 2 3 Vache initiale Deuxième génération Total 4 + = long - court - court - court
long - court - court - court - long - court La quatrième année, le premier veau devient mère, ce qui donne naissance à une troisième génération des vaches de Narayana. Année 1 2 3 4 Vache initiale Deuxième génération Troisième génération Total 6 long - court - court - court - long - court
Année 1 2 3 4 = + long-court long-court-court long-court-court-court
La cinquième année, nous avons une mère ainsi que trois veaux de plus. 1 2 3 4 5 Vache initiale 2ème génération +1 3ème génération +2 Total 6 9 +3 + =
Année 2 3 4 5 = +
La sixième année, nous avons 4 mères, 4 jeunes veaux, et un troupeau de 13 têtes. 2 3 4 5 6 Vache initiale Seconde génération Troisième génération Total 9 13 + =
Sixième année 4 vaches productrices = 4 longues 9 jeunes veaux = 9 courtes Total: 13 vaches = 13 notes
Année 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Vache initiale Seconde génération Troisième génération 21 28 36 45 55 66 78 91 105 Quatrième génération 20 35 56 84 120 165 220 286 Cinquième génération 70 126 210 330 Sixième génération Septième génération Total 19 41 60 88 129 189 277 406 595 872
Référence: Jean-Paul Allouche & Tom Johnson, Narayana’s Cows and Delayed Morphisms, Cahiers du GREYC, troisièmes journées d’informatique musicale, JIM 96 4 (1996), 2–7.
17ème année: 872 vaches