Exercice 1 : A Roland-Garros, un balayeur doit, lors d’une interruption de jeu, nettoyer les lignes de la moitié d’un court de tennis. Pour gagner du temps, peut-il ne pas repasser par une ligne déjà balayée ?

Il doit passer une seule fois sur toutes les arêtes du graphe, donc réaliser une chaine eulérienne. Les sommets sont tous de degrés impairs, donc d’après le théorème d’Euler qui nécessite 2 sommets de degrés impairs ( ou 0 si la chaine eulérienne est aussi un cycle eulérien ), c’est impossible Remarque : mettre ou non des sommets aux coins du terrain ne change rien ( degrés 2 ).

Exercice 2 : 1°) Peut-on réaliser les figures suivantes d’un seul trait de crayon non décollé de la feuille ? Ce trait se terminera-t-il alors là où il a commencé ? 2°) Donnez dans les cas possibles le trajet du crayon. A A E B F B E B E B E C D C D D C D C

« Un seul trait de crayon non décollé de la feuille » correspond à une chaine eulérienne. « Ce trait se terminera-t-il alors là où il a commencé » correspond à un cycle eulérien. Donc d’après le théorème d’Euler il faut qu’il y ait respectivement 2 et 0 sommets de degrés impairs. 6 sommets de degrés 4 A2 L A2 G A2 A3 E2 B2 F2 B2 E2 B3 E3 B3 E2 C2 D2 C2 J D2 I D3 C2 D2 C3 0 sommets de degrés impairs Réponse : oui oui oui oui oui non non non ACEBDA BCADBED GBHCIDJEKFLAGHIJKLG

Exercice 3 : A B E C D 1°) Quelle est la distance AD ? 2°) Quel est le diamètre du graphe ? 3°) Quel est le nombre d’arêtes ? 4°) Combien y a-t-il de chaines de longueur 3 de B à E ? Nommez-les. 5°) Peut-on avoir une chaine eulérienne ? Si oui, donnez un exemple. 6°) Peut-on avoir un cycle eulérien ? Si non, ajoutez une arête et donnez un exemple.

Exercice 3 : A B E C D 1°) Quelle est la distance AD ? C’est la longueur de la chaine la plus courte de A à D : c’est 1.

Exercice 3 : A B Autre justif. : le graphe serait complet s’il y avait l’arête BE, E C donc B et E vont augmenter les distances, donc la maximale D sera BE = 2 donc diamètre = 2 2°) Quel est le diamètre du graphe ? C’est la plus grande distance entre 2 sommets du graphe : c’est 2. ABCDE A01111 B10112 C11011 D11101 E12110

Exercice 3 : A B E C D 3°) Quel est le nombre d’arêtes ? Soit je les compte 1 à 1 au risque d’en oublier ou d’en compter une deux fois, soit je fais la somme S des degrés car le graphe est non ordonné : total 18 n = 18/2 = 9 sommetsABCDE degrés43443

A B E C D matrice du graphe : A B C D E A B C D E A A B B M =C M 3 = C D D E E Il y a donc 6 chaines de longueur 3 de B à E, ce sont : BCDE BCAE BACE BADE BDAE BDCE 4°) Combien y a-t-il de chaines de longueur 3 de B à E ? Nommez- les.

5°) Peut-on avoir une chaine eulérienne ? Si oui, donnez un exemple. degrés A4 B3 E3 C4 D4 Il y a 2 sommets de degrés impairs, donc d’après le théorème d’Euler on a une chaine eulérienne. Elle commence et finit obligatoirement aux sommets de degrés impairs, soit B et E. Par exemples BCDEABDACE ECDEADBACB

6°) Peut-on avoir un cycle eulérien ? Si non, ajoutez une arête et donnez un exemple. degrés A4 B3(4) E3(4) C4 D4 Il y a 2 sommets de degrés impairs, donc d’après le théorème d’Euler on n’a pas de cycle eulérien qui nécessite 0 sommets de degrés impairs. La seule modification possible est d’ajouter une arête entre ces 2 sommets B et E pour que tous les sommets soient de degrés pairs. Les cycles eulériens partent et arrivent au même point, et l’on peut choisir n’importe quel point. Par exemples BCDEABDACEB ADEABCDBECA