II Opérations avec des vecteurs

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1 II Opérations avec des vecteurs
2°) Addition de deux vecteurs : On le note u + v u v Ddddd

2 II Opérations avec des vecteurs
2°) Addition de deux vecteurs : On le note u + v u v Méthode du bout à bout : le 2ème vecteur doit poursuivre le chemin commencé par le 1er : Ddddd

3 II Opérations avec des vecteurs
2°) Addition de deux vecteurs : On le note u + v u v Méthode du bout à bout : le 2ème vecteur doit poursuivre le chemin commencé par le 1er : Ddddd

4 II Opérations avec des vecteurs
2°) Addition de deux vecteurs : On le note u + v u v Méthode du bout à bout : le 2ème vecteur doit poursuivre le chemin commencé par le 1er : Ddddd

5 II Opérations avec des vecteurs
2°) Addition de deux vecteurs : On le note u + v u v Méthode du bout à bout : le 2ème vecteur doit poursuivre le chemin commencé par le 1er : le vecteur somme est le trajet global : Ddddd

6 II Opérations avec des vecteurs
2°) Addition de deux vecteurs : On le note u + v u v Méthode du bout à bout : le 2ème vecteur doit poursuivre le chemin commencé par le 1er : le vecteur somme est le trajet global : Ddddd

7 II Opérations avec des vecteurs
2°) Addition de deux vecteurs : On le note u + v u v Méthode du bout à bout : le 2ème vecteur doit poursuivre le chemin commencé par le 1er : C A B le vecteur somme est le trajet global : On en déduit la relation : Ddddd

8 II Opérations avec des vecteurs
2°) Addition de deux vecteurs : On le note u + v u v Méthode du bout à bout : le 2ème vecteur doit poursuivre le chemin commencé par le 1er : C A B le vecteur somme est le trajet global : On en déduit la relation : AB + BC = AC Ddddd

9 II Opérations avec des vecteurs
2°) Addition de deux vecteurs : On le note u + v u v Méthode du bout à bout : le 2ème vecteur doit poursuivre le chemin commencé par le 1er : C A B le vecteur somme est le trajet global : On en déduit la relation : AB + BC = AC dite « de Chasles » Ddddd

10 Méthode du parallélogramme :
Avec les 2 vecteurs ( que l’on duplique ), on construit un parallélogramme. Le vecteur somme u + v est celui partant de l’origine commune des deux vecteurs u et v et se terminant à l’extrémité commune :

11 Méthode du parallélogramme :
Avec les 2 vecteurs ( que l’on duplique ), on construit un parallélogramme. Le vecteur somme u + v est celui partant de l’origine commune des deux vecteurs u et v et se terminant à l’extrémité commune :

12 Méthode du parallélogramme :
Avec les 2 vecteurs ( que l’on duplique ), on construit un parallélogramme. Le vecteur somme u + v est celui partant de l’origine commune des deux vecteurs u et v et se terminant à l’extrémité commune :

13 Méthode du parallélogramme :
Avec les 2 vecteurs ( que l’on duplique ), on construit un parallélogramme. Le vecteur somme u + v est celui partant de l’origine commune des deux vecteurs u et v et se terminant à l’extrémité commune :

14 Méthode du parallélogramme :
Avec les 2 vecteurs ( que l’on duplique ), on construit un parallélogramme. Le vecteur somme u + v est celui partant de l’origine commune des deux vecteurs u et v et se terminant à l’extrémité commune :

15 Méthode du parallélogramme :
Remarque : la méthode du parallélogramme exécute … la méthode du …

16 Méthode du parallélogramme :
Remarque : la méthode du parallélogramme exécute deux fois la méthode du bout à bout.

17 Méthode du parallélogramme :
Remarque : la méthode du parallélogramme exécute deux fois la méthode du bout à bout, et nous permet d’en déduire : u + v =

18 Méthode du parallélogramme :
Remarque : la méthode du parallélogramme exécute deux fois la méthode du bout à bout, et nous permet d’en déduire : u + v = v + u

19 Méthode du parallélogramme :
Remarque : la méthode du parallélogramme exécute deux fois la méthode du bout à bout, et nous permet d’en déduire : u + v = v + u On parle de commutativité de l’addition dans les vecteurs.

20 Méthode du parallélogramme :
Remarque : la méthode du parallélogramme exécute deux fois la méthode du bout à bout, et nous permet d’en déduire : u + v = v + u On parle de commutativité de l’addition dans les vecteurs. Avantage de la méthode du bout à bout : en faire 2 fois moins !

21 Méthode du parallélogramme :
Remarque : la méthode du parallélogramme exécute deux fois la méthode du bout à bout, et nous permet d’en déduire : u + v = v + u Avantage de la méthode du bout à bout : en faire 2 fois moins ! Et pouvoir mettre plus de 2 vecteurs bout à bout, alors que l’on ne peut faire un parallélogramme qu’avec 2 vecteurs ! + = ?

22 Méthode du parallélogramme :
u + v + w Avantage de la méthode du bout à bout : en faire 2 fois moins ! Et pouvoir mettre plus de 2 vecteurs bout à bout, alors que l’on ne peut faire un parallélogramme qu’avec 2 vecteurs ! + = ?

23 3°) Propriétés : ( u + v ) + w =

24 2°) Propriétés : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) on parle de l’associativité de l’addition dans les vecteurs.

25 2°) Propriétés : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) u v w

26 2°) Propriétés : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) u v w

27 2°) Propriétés : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) u v w

28 2°) Propriétés : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) u v w

29 2°) Propriétés : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) u v w

30 2°) Propriétés : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) u v w

31 2°) Propriétés : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) u v w

32 2°) Propriétés : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) cela correspond au même trajet global AB en passant par 2 points intermédiaires différents : A C AB = AD + DB relation de Chasles D B AB = AC + CB relation de Chasles

33 2°) Propriétés : k ( u + v ) =

34 2°) Propriétés : k ( u + v ) = ( k u ) + ( k v ) on peut parler de développement / factorisation.

35 2°) Propriétés : k ( u + v ) = ( k u ) + ( k v ) u v

36 2°) Propriétés : k ( u + v ) = ( k u ) + ( k v ) u v u + v

37 2°) Propriétés : k ( u + v ) = ( k u ) + ( k v ) u v u + v k ( u + v )
exemple avec k = 2

38 2°) Propriétés : k ( u + v ) = ( k u ) + ( k v ) u v u + v k ( u + v )
exemple avec k = 2

39 2°) Propriétés : k ( u + v ) = ( k u ) + ( k v ) u v u + v k ( u + v )
exemple avec k = 2

40 2°) Propriétés : k ( u + v ) = ( k u ) + ( k v ) u v u + v k ( u + v )
exemple avec k = 2

41 2°) Propriétés : k ( u + v ) = ( k u ) + ( k v ) qui correspond à la figure : k ( u + v ) u + v k v v u k u

42 2°) Propriétés : k ( u + v ) = ( k u ) + ( k v ) qui correspond à une figure de Thalès : k ( u + v ) u + v k v v u k u

43 2°) Propriétés : k ( u + v ) = ( k u ) + ( k v ) qui correspond à une figure de Thalès : k ( u + v ) u + v k v v u k u car v et k v ont même direction, donc nous avons bien 2 droites parallèles !

44 ( k + k’ ) u = .

45 ( k + k’ ) u = ( k u ) + ( k’ u ) développement / factorisation …
exemple avec k = 2 et k’ = 3

46 ( k + k’ ) u = ( k u ) + ( k’ u ) u ( 2 + 3 ) u
exemple avec k = 2 et k’ = 3

47 ( k + k’ ) u = ( k u ) + ( k’ u ) u ( 2 + 3 ) u 2 u
exemple avec k = 2 et k’ = 3

48 ( k + k’ ) u = ( k u ) + ( k’ u ) u ( 2 + 3 ) u 2 u 3 u
exemple avec k = 2 et k’ = 3

49 4°) Soustraction de deux vecteurs :
On la note u – v Il est défini par : u – v = u + ( - v ) - v étant l’opposé du vecteur v.

50 3°) Soustraction de deux vecteurs :
On la note u – v Il est défini par : u – v = u + ( - v ) u v - v étant l’opposé du vecteur v.

51 3°) Soustraction de deux vecteurs :
On la note u – v Il est défini par : u – v = u + ( - v ) u v - v étant l’opposé du vecteur v. - v

52 3°) Soustraction de deux vecteurs :
On la note u – v Il est défini par : u – v = u + ( - v ) u v v étant l’opposé du vecteur v v u - v

53 3°) Soustraction de deux vecteurs :
On la note u – v Il est défini par : u – v = u + ( - v ) u v v étant l’opposé du vecteur v v Remarque : u – v n’est pas le 3ème côté d’un triangle formé avec u et v u - v

54 3°) Soustraction de deux vecteurs :
On la note u – v Il est défini par : u – v = u + ( - v ) u v v étant l’opposé du vecteur v v Remarque : u – v n’est pas le 3ème côté d’un triangle formé avec u et v u - v et n’a aucun rapport avec u + v

55 Application : simplifiez l’expression 3 AB – 2 CA + CB – 5 AC
.

56 Application : simplifiez l’expression 3 AB – 2 CA + CB – 5 AC
= 3 AB - 2 CA + CB + 5 CA opposé – CA = AC =

57 Application : simplifiez l’expression 3 AB – 2 CA + CB – 5 AC
= 3 AB - 2 CA + CB + 5 CA opposé – CA = AC = 3 AB + CB + 5 CA – 2 CA commutativité u + v = v + u

58 Application : simplifiez l’expression 3 AB – 2 CA + CB – 5 AC
= 3 AB - 2 CA + CB + 5 CA opposé – CA = AC = 3 AB + CB + 5 CA – 2 CA commutativité u + v = v + u = 3 AB + CB + ( 5 – 2 ) CA factorisation ku + kv = k ( u + v )

59 Application : simplifiez l’expression 3 AB – 2 CA + CB – 5 AC
= 3 AB - 2 CA + CB + 5 CA opposé – CA = AC = 3 AB + CB + 5 CA – 2 CA commutativité u + v = v + u = 3 AB + CB + ( 5 – 2 ) CA factorisation ku + kv = k ( u + v ) = 3 AB + CB + 3 CA

60 Application : simplifiez l’expression 3 AB – 2 CA + CB – 5 AC
= 3 AB - 2 CA + CB + 5 CA opposé – CA = AC = 3 AB + CB + 5 CA – 2 CA commutativité u + v = v + u = 3 AB + CB + ( 5 – 2 ) CA factorisation ku + kv = k ( u + v ) = 3 AB + CB + 3 CA = 3 CA + 3 AB + CB commutativité

61 Application : simplifiez l’expression 3 AB – 2 CA + CB – 5 AC
= 3 AB - 2 CA + CB + 5 CA opposé – CA = AC = 3 AB + CB + 5 CA – 2 CA commutativité u + v = v + u = 3 AB + CB + ( 5 – 2 ) CA factorisation ku + kv = k ( u + v ) = 3 AB + CB + 3 CA = 3 CA + 3 AB + CB commutativité = 3 ( CA + AB ) + CB factorisation

62 Application : simplifiez l’expression 3 AB – 2 CA + CB – 5 AC
= 3 AB - 2 CA + CB + 5 CA opposé – CA = AC = 3 AB + CB + 5 CA – 2 CA commutativité u + v = v + u = 3 AB + CB + ( 5 – 2 ) CA factorisation ku + kv = k ( u + v ) = 3 AB + CB + 3 CA = 3 CA + 3 AB + CB commutativité = 3 ( CA + AB ) + CB factorisation = 3 CB + CB relation de Chasles

63 Application : simplifiez l’expression 3 AB – 2 CA + CB – 5 AC
= 3 AB - 2 CA + CB + 5 CA opposé – CA = AC = 3 AB + CB + 5 CA – 2 CA commutativité u + v = v + u = 3 AB + CB + ( 5 – 2 ) CA factorisation ku + kv = k ( u + v ) = 3 AB + CB + 3 CA = 3 CA + 3 AB + CB commutativité = 3 ( CA + AB ) + CB factorisation = 3 CB + CB relation de Chasles = ( ) CB = 4 CB factorisation

64 Exercice : Démontrez que si AB = CD alors AC = BD
1ère méthode : connaissances de collège avec celles du lycée 2ème méthode : connaissances du lycée

65 Exercice : Démontrez que si AB = CD alors AC = BD
1ère méthode : connaissances de collège avec celles du lycée AB = CD ABDC est un parallélogramme [AC] et [BD] sont deux A B côtés parallèles et de mêmes longueurs AC = BD C D 2ème méthode : connaissances du lycée

66 Exercice : Démontrez que si AB = CD alors AC = BD
1ère méthode : connaissances de collège avec celles du lycée AB = CD ABDC est un parallélogramme [AC] et [BD] sont deux A B côtés parallèles et de mêmes longueurs AC = BD C D 2ème méthode : connaissances du lycée AB = CD A … + …B = C … + …D

67 Exercice : Démontrez que si AB = CD alors AC = BD
1ère méthode : connaissances de collège avec celles du lycée AB = CD ABDC est un parallélogramme [AC] et [BD] sont deux A B côtés parallèles et de mêmes longueurs AC = BD C D 2ème méthode : connaissances du lycée AB = CD AC + CB = CB + BD relations de Chasles

68 Exercice : Démontrez que si AB = CD alors AC = BD
1ère méthode : connaissances de collège avec celles du lycée AB = CD ABDC est un parallélogramme [AC] et [BD] sont deux A B côtés parallèles et de mêmes longueurs AC = BD C D 2ème méthode : connaissances du lycée AB = CD AC + CB = CB + BD relations de Chasles AC = CB + BD - CB

69 Exercice : Démontrez que si AB = CD alors AC = BD
1ère méthode : connaissances de collège avec celles du lycée AB = CD ABDC est un parallélogramme [AC] et [BD] sont deux A B côtés parallèles et de mêmes longueurs AC = BD C D 2ème méthode : connaissances du lycée AB = CD AC + CB = CB + BD relations de Chasles AC = CB + BD - CB AC = BD