V Suite géométrique : 1°) Définition : un+1

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1 V Suite géométrique : 1°) Définition : un+1
La suite (un) est géométrique si et seulement si le rapport entre tous les termes voisins est constant ( et aucun terme nul, qui est le cas courant ). un+1 = Cte pour tous les n de l’ensemble de définition ( N ou N* ). un Ce rapport constant est appelé « Raison de la suite géométrique ». ( notée q pour la différencier de celle d’une suite arithmétique )

2 2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc …

3 un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q
2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q

4 un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q un / u0 = …
2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q un / u0 = …

5 un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q un / u0 = qn-0 donc …
2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q un / u0 = qn-0 donc …

6 2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q
un / u0 = qn-0 donc un = u0 × qn qui correspond avec les notations de fonctions à …

7 2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q
un / u0 = qn-0 donc un = u0 × qn qui correspond avec les notations de fonctions à f(x) = f(0) × qx donc à une fonction f …

8 2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q
un / u0 = qn-0 donc un = u0 × qn qui correspond avec les notations de fonctions à f(x) = f(0) × qx donc à une fonction f exponentielle ( étudiées en Tale ) x fct puissance x fct exponentielle x

9 3°) Relations : un+1 / un = Cte = q donc un / um = qn - m
permet de déterminer n’importe quel terme à partir d’un autre connu lorsque l’on connaît la raison, ou permet de déterminer la raison à partir de deux termes connus.

10 4°) Courbe d’une suite géométrique
un+1 = un × q Etudions les différentes courbes selon la raison q avec u0 > 0

11 4°) Courbe d’une suite géométrique
un+1 = un × q Etudions les différentes courbes selon la raison q avec u0 > 0 1er cas : q = 1

12 4°) Courbe d’une suite géométrique
un+1 = un × q Etudions les différentes courbes selon la raison q avec u0 > 0 1er cas : q = u1 = u0 × 1 = u0

13 4°) Courbe d’une suite géométrique
un+1 = un × q Etudions les différentes courbes selon la raison q avec u0 > 0 1er cas : q = un+1 = un × 1 = un

14 un+1 = un × q u0 > 0 2ème cas : q > 1

15 un+1 = un × q u0 > 0 2ème cas : q > q × u0 > 1 × u u1 > u0

16 un+1 = un × q u0 > 0 2ème cas : q > q × un > 1 × un un+1 > un

17 un+1 = un × q u0 > 0 3ème cas : 0 < q < 1

18 un+1 = un × q u0 > 0 3ème cas : 0 < q < × u0 < q × u0 < 1 × u < u1 < u0

19 un+1 = un × q u0 > 0 3ème cas : 0 < q < × un < q × un < 1 × un < un+1 < un

20 un+1 = un × q u0 > 0 4ème cas : q = 0

21 un+1 = un × q u0 > 0 4ème cas : q = 0 u1 = u0 × q = un × 0 = 0

22 un+1 = un × q u0 > 0 4ème cas : q = 0 un+1 = un × q = un × 0 = 0

23 un+1 = un × q u0 > 0 5ème cas : q = - 1

24 un+1 = un × q u0 > 0 5ème cas : q = u1 = u0 × q = u0 × (-1) = - u0

25 un+1 = un × q u0 > 0 5ème cas : q = un+1 = un × q = un × (-1) = - un

26 un+1 = un × q u0 > 0 6ème cas : - 1 < q < 0

27 un+1 = un × q u0 > 0 6ème cas : - 1 < q < × u0 < q × u0 < 0 × u u0 < u1 < 0

28 un+1 = un × q u0 > 0 6ème cas : - 1 < q < × un < q × un < 0 × un ( si un positif ) un < un+1 < 0 - 1 × un > q × un > 0 × un ( si un négatif ) < un+1 < - un

29 un+1 = un × q u0 > 0 7ème cas : q < - 1

30 un+1 = un × q u0 > 0 7ème cas : q < q × u0 < - 1 × u u1 < - u0

31 un+1 = un × q u0 > 0 7ème cas : q < q × un < - 1 × un ( si un positif ) un+1 < - un q × un > - 1 × un ( si un négatif ) un+1 > - un

32 5°) Sens de variation d’une suite géométrique :
pour des raisons positives ou nulle q ≥ 0 q > 1 q = 1 0 < q < 1 q = 0

33 5°) Sens de variation d’une suite géométrique :
q > str. croissante q = constante 0 < q < 1 str. décroissante q = 0 constante sur N*

34 5°) Sens de variation d’une suite géométrique :
pour des raisons négatives q < 0 q < - 1 q = < q < 0

35 5°) Sens de variation d’une suite géométrique :
alternativement croissantes et décroissantes dès que la raison est < 0 q < - 1 q = < q < 0

36 6°) Limite d’une suite géométrique :

37 6°) Limite d’une suite géométrique :

38 6°) Limite d’une suite géométrique :

39 6°) Limite d’une suite géométrique :

40 6°) Limite d’une suite géométrique :

41 6°) Limite d’une suite géométrique :
q < - 1 q = < q < 0

42 6°) Limite d’une suite géométrique :
q < - 1 pas de limite q = < q < 0

43 6°) Limite d’une suite géométrique :
q < - 1 pas de limite q = - 1 pas de limite < q < 0

44 6°) Limite d’une suite géométrique :
q < - 1 pas de limite q = - 1 pas de limite < q < 0 0

45 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un.

46 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = …

47 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = …

48 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = …

49 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1

50 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S - …

51 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = …

52 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = …

53 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = …

54 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = u1 - un+1 = …

55 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = u1 - un+1 = u1 – qn u1 =

56 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = u1 - un+1 = u1 – qn u1 = u1 ( 1 - qn ) donc S ( … ) = u1 ( 1 - qn )

57 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = u1 - un+1 = u1 – qn u1 = u1 ( 1 - qn ) donc S ( 1 - q ) = u1 ( 1 - qn ) donc S = …

58 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = u1 - un+1 = u1 – qn u1 = u1 ( 1 - qn ) donc S ( 1 - q ) = u1 ( 1 - qn ) donc S = u1 ( 1 - qn ) / ( 1 – q )

59 7°) Somme des n premiers termes :
S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = u1 - un+1 = u1 – qn u1 = u1 ( 1 - qn ) donc S ( 1 - q ) = u1 ( 1 - qn ) donc S = u1 ( 1 - qn ) / ( 1 – q ) si q ≠ 1

60 7°) Somme des n premiers termes :
Cette formule a-t-elle été démontrée dans tous les cas ? S = u1 ( 1 - qn ) / ( 1 – q ) si q ≠ 1

61 7°) Somme des n premiers termes :
Cette formule a-t-elle été démontrée dans tous les cas ? Uniquement lorsque la suite est définie sur N* S = u1 ( 1 - qn ) / ( 1 – q ) si q ≠ 1

62 7°) Somme des n premiers termes :
Cette formule a-t-elle été démontrée dans tous les cas ? Uniquement lorsque la suite est définie sur N* S = u1 ( 1 - qn ) / ( 1 – q ) si q ≠ 1 La même démonstration permet d’obtenir la formule correspondante, et l’on retiendra la formule générale : 1 – q nb de termes S = 1er terme si q ≠ 1 et si la suite est 1 – q géométrique !

63 Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?

64 Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?
Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n.

65 Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?
Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n. Donc un+1 = un + r et un+1 = un × q

66 Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?
Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n. Donc un+1 = un + r et un+1 = un × q Donc un+1 = un + r = un × q

67 Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?
Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n. Donc un+1 = un + r et un+1 = un × q Donc un+1 = un + r = un × q donc un - un × q = - r donc un ( 1 - q ) = - r

68 Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?
Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n. Donc un+1 = un + r et un+1 = un × q Donc un+1 = un + r = un × q donc un - un × q = - r donc un ( 1 - q ) = - r donc un = - r / ( 1 – q )

69 Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?
Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n. Donc un+1 = un + r et un+1 = un × q Donc un+1 = un + r = un × q donc un - un × q = - r donc un ( 1 - q ) = - r donc un = - r / ( 1 – q ) donc un = Cte donc la suite est une suite constante.

70 Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?
Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n. Donc un+1 = un + r et un+1 = un × q Donc un+1 = un + r = un × q donc un - un × q = - r donc un ( 1 - q ) = - r R et q fixés et un dépend de n, donc un = Cte donc la suite est une suite constante. un+1 - un = r donc r = un+1 - un = un - un = 0 et un+1 / un = q donc q = un+1 / un = un / un = 1

71 Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?
Recherche graphique : pour un u0 fixé suites arithmétiques … possibilités

72 Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?
Recherche graphique : pour un u0 fixé suites arithmétiques 3 possibilités

73 Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?
Recherche graphique : pour un u0 fixé suites arithmétiques suites géométriques 3 possibilités … possibilités

74 Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?
Recherche graphique : pour un u0 fixé suites arithmétiques suites géométriques 3 possibilités 7 possibilités

75 Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?
Recherche graphique : pour un u0 fixé suites arithmétiques suites géométriques 3 possibilités 7 possibilités la seule qui convienne est la suite constante arithmétique et géométrique