3.1 Portes logiques et algèbre de Boole © Béat Hirsbrunner, University of Fribourg, Switzerland 8 novembre 2006 3.1 Portes logiques et algèbre de Boole 3.1.1 Portes logiques (1/3) Transistor (Inverseur) Vin Vout Vin Vout 5 Vin < Vseuil : résistance  Vin > Vseuil : conducteur (fil) => Vout = Vcc (typiquement +5 volts) 0 (zéro volt par convention) nfnfdnfnfn

3.1.1 Portes logiques (2/3) Exemples Vin Vout 1 V1 V2 Vout 1 V1 V2 Les circuits logiques élémentaires sont appelés portes logiques ou portes (gates en anglais) Vin Vout 1 V1 V2 Vout 1 V1 V2 Vout 1 1 1 Porte inverseur Rappel: Vin = 0 : résistance  Vin = 1 : conducteur (fil de fer) Porte NAND Porte NOR nfnfdnfnfn

3.1.1 Portes logiques (3/3) nfnfdnfnfn

3.1.2 Algèbre de Boole Exemple: Fonction majoritaire M = f(A,B,C) Définition M = 0 si la majorité des entrées est 0; sinon M = 1. Trois représentations Table de vérité (Fig. 3-3a) Table de vérité compact: M = ABC + ABC + ABC + ABC Circuit (Fig. 3-3b) nfnfdnfnfn

3.1.3 Réalisation des fonctions booléennes Etablir la table de vérité pour la fonction Réaliser l’inversion de toutes les variables d’entrée pour disposer de leur complément Construire une porte ET pour chacun des termes égal à 1 dans la colonne résultat de la table de vérité Etablir le câblage des portes ET avec les entrées appropriées Réunir l’ensemble des sorties des portes ET vers une porte OU, dont la sortie est le résultat de la fonction C. à d. il y a toujours une solution avec des portes NON, ET et OU !!! Mais il y a des solutions plus optimales: p. ex. A*B + A*C vs A * (B + C) [Indication: 3 vs 2 circuits élémentaires] nfnfdnfnfn

3.1.4 Equivalence entre circuits (1/3) Lemme 1. Toute fonction booléenne peut être calculée avec des portes NON, ET et OU (appelé forme normale). (Preuve: cf. Fig. 3-3) Lemme 2. Toute fonction booléenne peut être calculée avec des portes : (a) NON-ET (NAND) (b) NON-OU (NOR) (Preuve: Suit du lemme 1 et de la Fig. 3-4) Lemme 3. Toute fonction booléenne peut être calculée avec des portes : (a) NON et ET (b) NON et OU (Preuve: Suit du lemme 1 et des lois de De Morgan, cf. Fig. 3-6) nfnfdnfnfn

3.1.4 Equivalence entre circuits (2/3) Laquelle de ces deux solutions est techniquement plus efficace ? nfnfdnfnfn

3.1.4 Equivalence entre circuits (3/3) nfnfdnfnfn