Introduction aux PROBABILITES et STATISTIQUES LOI DE PARETO Introduction aux PROBABILITES et STATISTIQUES

INTRODUCTION L’utilisation des probabilités et statistiques est ancestrale. Les premiers concepts simples des probabilités, liés au hasard, sont apparus dés l’antiquité : jeux de hasard, divination, sortilèges, Méthode de décision : « il était un petit navire » Les activités humaines sont pratiquement toutes affectées par le hasard : Un accident Le temps qu’il fait Une maladie qu’on attrape au mauvais moment Un mouvement inattendu de la bourse, Tirage au sort d’une équipe de foot, sont des exemples courants.

Dans les sociétés actuelles les statistiques sont quasi-présentes : Les premiers concepts des statistiques sont nés du besoin de répertorier l’ensemble de la population. Mesures des récoltes Recensement de la population, des armes… Dans les sociétés actuelles les statistiques sont quasi-présentes : démographie Politique (élections) médecine Consommation

PROBABILITES DEFINITIONS La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d’un événement. Le mot probable signifie « qui peut se produire » dans le cas de futures éventualités, ou « certainement vrai », « vraisemblable ». La probabilité est une des théories mathématiques utilisée pour décrire et quantifier l’incertain.

DEFINITION CLASSIQUE HISTORIQUE La probabilité d’un événement était définie comme le nombre de cas favorables pour l’événement, divisé par le nombre total d’issues possibles à l’expérience aléatoire. Par exemple on a une probabilité de ½ d’obtenir un nombre pair en lançant un dé non pipé.

DEFINITION RIGOUREUSE MODERNE Étant donné un espace probabilisable ( Ω ; A ), on appelle probabilité sur ( Ω ; A ) toute application P : A → IR satisfaisant aux trois axiomes suivants : - Axiome (1) : ∀ A ∈ A, P(A) ≥0. - Axiome (2) : P( Ω) = 1. - Axiome (3) : Pour toute suite (An) d'éléments deux à deux disjoints, P( U An) = ∑ P(An) (additivité)

PROBABILITES - ORIGINE Les probabilités sont nées du désir de prévoir l’imprévisible ou de quantifier l’incertain. C’est en cherchant à résoudre des problèmes posés par les jeux de hasard que les mathématiciens donnent naissance aux probabilités. Les jeux de hasard motivèrent depuis la nuit des temps et jusque de nos jours l’intérêt d’estimer aussi précisément que possible une probabilité.

HASARD De l’arabe AZ-ZAHR, désigne « jeu de dés », transformé en espagnol AZAR « dé à jouer » (12ème siècle) Événement non prévisible sans cause apparente ALEATOIRE Du latin ALEA « jeu de dés » (1596) Imprévisible, lié au hasard.

JEUX DE HASARD ANCIENS (Asie et Orient) Jeu de l’astragale « jeu du senet » jeu du passage, pratiqué en Egypte 3000 ans av J-C Jeux de dés en Grèce et à Rome Jeu des osselets chez les grecs Jeu des talus chez les romains

EVOLUTION Les archéologues ont montré la présence et pratiques de ces jeux dans les sociétés antiques mais n’ont trouvé nulle trace de leur étude. Les premiers calculs de probabilité Études sur la régularité d’apparition de certaines séquences dans les jeux de hasard par des mathématiciens italiens de la Renaissance GEROLAMO CARDANO GALILEE LUCA PACIOLI (1501-1576) (1564-1642) (1445-1517)

Le jeu de passe-dix (Cardano) Pourquoi, alors que 9 et 10 s’écrivent d’autant de façon différentes (6) comme somme de 3 dés, a-t-on plus de chances d’obtenir 10 que 9 en lançant trois dés ?

: Chevalier de MÉRÉ soumet 2 problèmes à PASCAL LE PROBLEME DU DOUBLE-SIX Est-il plus probable d’obtenir au moins un six lors de 4 lancers d’un seul dé qu’au moins un double-six lors de 24 lancers de deux dés ? LE PROBLEME DES PARTIS Comment répartir les mises de manière équitable entre participants d’un jeu de hasard lors d’une interruption prématurée de la partie ?

SOLUTIONS PAR PASCAL ET FERMAT Une correspondance a lieu entre PASCAL et FERMAT Blaise PASCAL Pierre de FERMAT (1623-1662) (≃1610-1665) PASCAL a finalement trouvé la solution du problème mais n’écrira jamais de traité sur le sujet Synthèse des résultats du calcul des probabilités établie par HUYGENS lors de la publication d’un traité en 1657 « TRAITE SUR LES RAISONNEMENTS DANS LE JEU DE DES » Christian de HUYGENS (1629-1695)

Pierre-Simon de LAPLACE (1749-1827) Jacques BERNOUILLI « LOI DES GRANDS NOMBRES » (1654-1705) Abraham de MOIVRE « CONVERGENCE VERS LOI GAUSSIENNE » (1668-1754) Pierre-Simon de LAPLACE (1749-1827) « TRAITE ANALYTIQUE DES PROBABILITES » Andeï KOLMOGOROV « AXIOMATISATION DU CALCUL DES PROBABILITES » (1903-1987)

STATISTIQUES DEFINITION La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de ces ressources. Ce domaine des mathématiques ne doit pas être confondu avec une statistique qui est un nombre calculé à partir d'observations.

ORIGINE ET EVOLUTION 1ère époque LES RECENSEMENTS : POPULATION : Il y a plus de 2000 ans, les peuples sentaient le besoin de répertorier l’ensemble de leur population. RECOLTES : la Chine recensait ses productions agricoles 2238 ans avant J.C CADASTRE : l’Egypte établie son institution du cadastre et du cens 1700 ans avant J.C ARMEMEMT : les grands empires de l’époque réalisaient des enquêtes afin de répertorier leur armes et afficher leur puissance.

2ème époque DEVELOPPEMENT DE LA METHODE STATISTIQUE Le développement des mathématiques des 18ème et 19ème siècles a ouvert une voie nouvelle pour la statistique. FERMAT et PASCAL Précurseurs des statistiques actuelles Karl Friedrich GAUSS (1777-1855) « LA LOI NORMALE DES STATISTIQUES ACTUELLES » Thomas BAYES (1702-1761) « LA REGLE DE BAYES » très utilisée en classification automatique Florence NIGHTINGALE (1820-1910) Première utilisation des statistiques dans les médias

Notre époque : L’ERE DES ORDINATEURS SYSTEMATISATION DES ETUDES STATISTIQUES Dans le domaine industriel Dans le domaine politique DEMOCRATISATION DES ETUDES STATISTIQUES Associations particuliers

QUELQUES APPLICATIONS DES PROBABILITES ET STATISTIQUES GEOPHYSIQUE, pour les prévisions météorologiques, la climatologie, la pollution, les études des rivières et des océans ; DEMOGRAPHIE : le recensement permet de faire une photographie à un instant donné d'une population et permettra par la suite des sondages dans des échantillons représentatifs ;

SCIENCES ECONOMIQUES et SOCIALES, en économétrie : l'étude du comportement d'un groupe de population ou d'un secteur économique s'appuie sur des statistiques. C'est dans cette direction que travaille l'INSEE. Les questions environnementales s'appuient également sur des données statistiques ;

SOCIOLOGIE : MARKETING : METROLOGIE, les sources statistiques constituent des matériaux d'enquête, et les méthodes statistiques sont utilisées comme techniques de traitement des données ; MARKETING : le sondage d'opinion devient un outil pour la décision ou l'investissement ; METROLOGIE, pour tout ce qui concerne les systèmes de mesure et les mesures elles-mêmes ;

PHYSIQUE : l'étude de la mécanique statistique et de la thermodynamique statistique, permet de déduire du comportement de particules individuelles un comportement global (passage du microscopique au macroscopique) ; Tambour tournant contenant 13000 billes d’acier. Ce dispositif réalise un écoulement stable de matière granulaire qui est analysé par une caméra rapide (D. Bonamy SPEC).

MEDECINE ET PSYCHOLOGIE, tant pour le comportement des maladies que leur fréquence ou la validité d'un traitement ou d'un dépistage ; ARCHEOLOGIE, appliquée aux vestiges (céramologie...) ECOLOGIE, pour l'étude des communautés végétales et des écosystèmes. ASSURANCE et FINANCE (calcul des risques,...)

LOI DE PARETO L’AUTEUR Vilfredo Pareto, italien (1848-1923) Physicien, sociologue et économiste. Spécialiste de l’élasticité des corps solides, il s’intéressa aux statistiques et établit des lois mathématiques régissant certains phénomènes économiques (économétrie), voire sociaux.

DECOUVERTE ET EVOLUTION DE LA LOI DE PARETO Pareto a découvert vers 1875 la distribution en étudiant la répartition des revenus des familles en Suisse. Il était communément admis qu'il y a plus de familles avec un bas revenu que de familles avec un revenu élevé et l’observation factuelle confirmait cette idée. Ce qui était moins connu c’est que ces distributions ont une forme très régulière. D’après ses études, 80% des revenus d’une société vont vers 20% de la population.

                     Au vue de l’importance des données, il regroupa ses observations en utilisant le papier graphique Log-Log afin de condenser les échelles et de pouvoir représenter toutes les valeurs sur un même diagramme. La ligne droite, en échelle logarithmique, sur une partie du graphique se prête aux calculs mathématiques faciles.

Y = A X + B Dans laquelle grand X est le logarithme du niveau de revenu petit x, et grand  Y est le logarithme du nombre de personnes ayant un revenu petit x  ce qui évite la notation lourde : Log( y ) = A log (x) + B Cette forme de droite est très reconnaissable et permet d’orienter les recherches ultérieures. Elle permet aussi l'interpolation de valeurs intermédiaires absentes, l'évaluation de valeurs pour des limites de classe de taille différentes, etc.

DR JOSEPH JURAN, pionnier en matière de gestion de qualité, élabore ce principe dans les années 1940 et découvre qu’il pouvait s’appliquer universellement. 1904 2008 Ce principe est alors nommé « Loi de Pareto »

ESTIMATION JOINTE DANS LA LOI DE PARETO recherche d’un estimateur joint du couple des paramètres de la loi de Pareto et étude de la consistance faible et forte de cet estimateur

GENERALISATION DE LA LOI

ESTIMATEURS DES PARAMETRES

ESTIMATEURS DES PARAMETRES

THEOREMES

THEOREMES

THEOREMES

THEOREMES

SIMULATIONS

SIMULATIONS

SIMULATIONS

SIMULATIONS

EXPERIMENTATION Expérimentation des résultats : En pétrochimie Biologie Economie

DOMAINES D’APPLICATION DE LA LOI GENERAL : 20% des causes provoquent 80% des effets ; 20% des problèmes représentent 80% des préoccupations ;

DOMAINES D’APPLICATION DE LA LOI ACCOMPLISSEMENT : 20% des facteurs influent sur 80% des objectifs ; 20% des moyens permettent d'atteindre 20% du temps de travail suffit à accomplir 80% d'une tâche ; 20% du personnel assure 80% du travail ; 20% de votre activité fournit 80% de vos résultats ; 80% d'accomplissement d'une mise au point nécessite 20% de l'effort en gestion de projets ; 80% d'une production résulte de 20% de l'investissement qui lui a été consacré ;

DOMAINES D’APPLICATION DE LA LOI RESSOURCES : 20% des gens possèdent 80% des richesses ; 20% de la population mondiale a accès à 80% de l'eau potable ; 20% des salariés perçoivent 80% de la masse salariale ; 20% de la population mondiale tire profit de 80% des ressources globales de la planète ;

DOMAINES D’APPLICATION DE LA LOI COMMERCE : 20% des produits représentent 80% du chiffre d'affaires ; 20% des ventes représentent 80% de la marge bénéficiaire ; 20% de l'inventaire représente 80% de la valeur du stock ; 20% des fournisseurs représentent 80% du volume d'achat total ; 20% des entreprises réalisent 80% du PIB ; 80% du chiffre d'affaires est réalisé avec seulement 20% des clients ; 80% du chiffre d'affaires est réalisé par 20% des commerciaux ; 20% de nos activités produisent 80% des résultats

DOMAINES D’APPLICATION DE LA LOI DEFAILLANCES : 20% des clients sont à l'origine de 80% des réclamations ; 20% du personnel est concerné par 80% des accidents du travail ; 20% des défaillances de production sont à l'origine de 80% des défauts des produits ; 20% des défauts du matériel sont à l'origine de 80% des défaillances à l'utilisation ; 20% des automobilistes causent 80% des accidents ;

DOMAINES D’APPLICATION DE LA LOI INFORMATION : 20% des indicateurs fournissent 80% de l'information de gestion ; 20% seulement des documents archivés apportent 80% de l'information utile ; 20% des e-mails reçus apportent 80% de l'information utile ; 20% des lecteurs lisent 80% des livres vendus ; 20% des mots dans une langue suffisent pour s'exprimer dans 80% des cas ; 20% des pages de Wikipédia sont consultées par 80% des Wikinautes ;

DOMAINES D’APPLICATION DE LA LOI CONSOMMATION : 20% de vos vêtements et chaussures sont portés 80% du temps ; 20% des pays émettent 80% des gaz à effet de serre ; 20% des articles pèsent 80% du prix total de vos achats ;

DOMAINES D’APPLICATION DE LA LOI ECOLE : 20% des élèves produisent 80% des perturbations dans la classe ; 20% des élèves d'une classes font 80% de la participation utile ; 20% des étudiants demandent 80% de l'énergie de leur enseignant ; 20% du temps d'apprentissage est consacré à 80% de ce qu’il faut savoir de votre leçon ;

DOMAINES D’APPLICATION DE LA LOI SOCIETE : 20% des hommes politiques détiennent 80% de l'espace débat ; 20% des délinquants génèrent 80% des délits ; 80% de l'intelligence humaine est le fruit de 20% des humains ; 80% de la bêtise humaine est le produit de 20% du genre humain ; 20% des députés font voter 80% des lois ; 20% des noms de familles sont portés par 80% des habitants ; 20% des citoyens imposables génèrent 80% de la trésorerie publique ;

DOMAINES D’APPLICATION DE LA LOI INFORMATIQUE : 20% du jeu d'instructions d'un microprocesseur est utilisé 80% du temps de calcul ;

DOMAINES D’APPLICATION DE LA LOI SPORT : 20% de l'effort à l'entrainement permet d'atteindre 80% de la performance pour un sportif ; 20% des joueurs de foot marquent 80% des buts ;

DOMAINES D’APPLICATION DE LA LOI EMPLOI DU TEMPS : Vous consacrez 80% de votre temps à 20% de vos activités Vous consacrez 80% de votre temps libre à 20% de vos loisirs

CITATIONS   « Le vrai génie réside dans l’aptitude à évaluer l’incertain, le hasardeux, les informations conflictuelles. » Sir Winston Leonard Spencer CHURCHILL « Il est dans la probabilité que mille choses arrivent qui sont contraires à la probabilité. » Henry Louis MENCKEN A ceux qui lui demandaient à quoi servaient les recherches mathématiques, Galilée répondait que la géométrie servait principalement à peser, à mesurer et à compter : à peser les ignorants, à mesurer les sots, et à compter les uns et les autres. Jean le Rond d’ALEMBERT

CITATIONS « Il est très curieux de constater que dans l’armée, les statistiques le prouvent, la mortalité augmente bizarrement en temps de guerre. » Alphonse ALLAIS « Je ne crois aux statistiques que lorsque je les ai moi-même falsifiées. » Sir Winston Leonard Spencer CHURCHILL « L’homme a 100% de chances de mourir une fois dans sa vie. » Denis LANGLOIS « Les statistiques sont formelles. Ce sont les vieux qui vivent le plus longtemps. » « Le calcul des probabilités, appliqué à la mortalité humaine a donné naissance à une science nouvelle : celle des assurances. » Emile de GIRARDIN