Taux de variation liés Jacques Paradis Professeur

Département de mathématiques 2 Plan de la rencontre Volet historique Élément de compétence Exemple Méthode de résolution Exemples et exercices

Département de mathématiques3 Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) En 1676, il découvre le calcul différentiel, en même temps que Newton. Il publie en 1684 son traité sur les différentielles.calcul différentiel Plusieurs des notations utilisées actuellement en calcul différentiel et intégral ont été suggérées pour la première fois par Leibniz : dx, dy, dy/dx, d 2 y/dx 2, Dy, D 2 y, D n y,,. Il précise le « concept de fonction » (le terme est de lui, 1692) et de « fonction dérivée ».fonction dérivée On lui doit le terme « différentielle » que Newton appelle «fluxion». On lui doit aussi le terme de « coordonnées ». Il précise les différentielles de u+v, uv et u/v. Il souhaite algébriser les processus qui font appel à linfini, afin de les rendre plus automatiques.

Département de mathématiques 4 Élément de compétence Résoudre des problèmes doptimisation et de taux de variation Résoudre des problèmes de taux de variation instantanés Résoudre des problèmes de taux de variation liés Reconnaître des problèmes de taux de variation liés Résoudre des problèmes de taux de variation liés avec la règle de dérivation en chaîne Résoudre des problèmes doptimisation

Département de mathématiques 5 Exemple Supposons que x désigne le taux hypothécaire à un moment t et y, le nombre de maisons vendues à ce moment : x : taux hypothécaire, y : nombre de maisons et t : temps Supposons de plus que le lien entre x et y soit exprimé au moyen dune équation*: F(x,y) = k En dérivant implicitement ce lien** par rapport à t, nous obtiendrons une équation liant dx/dt et dy/dt (lien entre le taux de variation du taux hypothécaire et le taux de variation du nombre de maison vendues) : dx/dt : taux de variation du taux hypothécaire dy/dt : taux de variation du nombre de maisons vendues Ainsi connaissant le taux de variation du taux hypothécaire, nous pourrons calculer le taux de variation du nombre de maisons vendues à un moment donné.

Département de mathématiques 6 Méthode de résolution Lire attentivement le problème (relire au besoin, le nombre de fois quil faut); 1. Identifier toutes les variables et faire un croquis si possible; 2. Identifier le(s) taux de variation connu(s) et le taux de variation cherché; 3. Formuler une équation liant les variables (Si nécessaire, éliminer une de des variables par substitution); 4. Dériver léquation implicitement par rapport à t; 5. Isoler le taux de variation cherché et évaluer ce taux en remplaçant les variables par les valeurs appropriées.

Département de mathématiques 7 Exemple 1 Une étude préparée pour la Société canadienne dhypothèque et de logement estime que le nombre de mises en chantier N(t) (mesuré en millions) de nouvelles constructions au Québec au cours des cinq prochaines années est lié au taux hypothécaire r(t) (en pour cent par année) par léquation 9N 2 + r = 36. Quel est le taux de variation du nombre de mises en chantier par rapport au temps lorsque le taux hypothécaire est de 3,5 % par an et croît au taux de 1,5 % par an? Remarque : Prenez garde de ne pas remplacer les variables de léquation obtenue à létape 3 par leurs valeurs numériques avant de dériver léquation implicitement,étape 4.

Département de mathématiques 8 Exercice 1 Un manufacturier de disques compacts consent à fabriquer x milliers de coffrets de disques compacts chaque semaine lorsque le prix de gros unitaire des coffrets est p $. La relation entre x et p est modélisée par léquation x 2 – 3xp + p 2 = 5. Quel est le taux de variation de loffre lorsque le prix de gros dun coffret est 11 $, que loffre hebdomadaire se situe à 4000 coffrets et que le prix de gros des coffrets augmente de 0,10 $ chaque semaine?

Département de mathématiques 9 Exemple 2 Posté à une distance de m de la rampe de lancement, une spectatrice assiste au lancement dune fusée. Si celle-ci sélève verticalement et que sa vitesse est de 175 m/s lorsquelle atteint une altitude de m, à quelle vitesse la distance entre la spectatrice et la fusée varie-t-elle à ce moment précis? Rappel : théorème de Pythagorethéorème de Pythagore y z

Département de mathématiques 10 Exercice 2 Un ouvrier se trouve au haut dune échelle de 5 m appuyée contre un mur. Or, léchelle commence à glisser vers le bas de telle sorte que le pied de léchelle séloigne du mur. À quelle vitesse sabaisse le haut de léchelle à linstant où le pied de léchelle se trouve à 4 m du mur dont il séloigne au taux de 2 m/s? x y 5

Département de mathématiques 11 Exemple 3 Une personne mesurant 1,8 m séloigne dun réverbère de 4 m de haut à une vitesse de 2,1 m/s. À quelle vitesse augmente la longueur de lombre de cette personne? ombre (x) 1,8 y 4

Département de mathématiques 12 Exercice 3 Une personne mesurant 1,8 m séloigne dun réverbère de 4 m de haut à une vitesse de 2,1 m/s. À quelle vitesse lextrémité de lombre séloigne-t-elle du réverbère? x 1,8 y 4

Département de mathématiques 13 Devoir Exercices 5.2, page 197, au complet Exercices récapitulatifs, page 200, nos 9, 10, 12, 13, 14,15a, 15b et 15c (pour x = 1200 m seulement). 10a) Oui car la vitesse est de 41,6 km/h, b) 26,8 km/h 13a) 2016 cm 3 /s, 13b) 1512 cm 3 /s 15a) 3000 m, 15b) 6000 m et 120 s, 15c) -40 m/s Problèmes synthèse, page 204, #1a, 1b, 1c, 2, 3a, 4, 5, 6, 7, 8 et 10 2a) 10 cm/s, 2b) 82 cm 2 /s 4a) 20 km/h, b) 18,52 km/h, c) 28 km/h 7a) -0,2 cm/min, 4,906 cm 3, 15 min, 8 cm 3.

Département de mathématiques 14 Triangles semblables On appelle triangles semblables les triangles qui ont la même forme mais qui sont de taille différente. DEC semblable au ABC Deux triangles sont semblables si tous leurs angles sont égaux deux à deux. C = C, E = B et D = A Si deux triangles sont semblables, alors les côtés opposés aux angles égaux sont proportionnels.

Département de mathématiques 15 « La partie du meilleur nest pas nécessairement le meilleur quon pouvait faire de cette partie, puisque la partie dune belle chose nest pas toujours belle. » Leibniz « Ce sont les désordres dans les parties qui relèvent merveilleusement la beauté du tout. » Leibniz