Algèbre matricielle Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Penser globalement pour agir localement de façon efficace Introduction Cette présentation va vous permettre de revoir les différentes notions présentées dans la partie sur l’algèbre matricielle. Il n’y a pas d’exemples ni d’exercices, seulement des éléments théoriques. Il faut être conscient que les exemples et les exercices sont des interventions dans des cas particuliers à partir d’un cadre général, la théorie. Les exercices peuvent parfois sembler difficiles ou déroutants sans une bonne compréhension de la théorie et de ses éléments clés, les définitions et les théorèmes. Il faut : Penser globalement pour agir localement de façon efficace L’action locale, c’est la résolution de problèmes dans les exercices. Cette action est guidée par la pensée globale, c’est-à-dire la connaissance que l’on a de la théorie. L’efficacité des interventions locales dépend de la qualité des connaissances théoriques. Sans une bonne compréhension du cadre théorique, les procédures de résolution ne sont que des recettes vite oubliées ou mal appliquées.

Matrices et opérations Dans cette première section, nous reverrons la notion de matrice et les opérations sur celles-ci.

. . ... . Matrice a11 a21 am1 a12 a22 am2 aij a1n a2n amn DÉFINITION On appelle matrice tout tableau rectangulaire de la forme : . a11 a21 am1 . a12 a22 am2 aij ... . a1n a2n amn m´n où les aij sont les éléments de la matrice. L’indice i indique la ligne de l’élément et l’indice j, sa colonne. Ces indices donnent l’adresse de l’élément. a12 est l’élément «a un deux» et non pas «a douze». On dit qu’une matrice qui comporte m lignes et n colonnes est une matrice de dimension mxn (ce qui se lit m par n).

Opérations sur les matrices DÉFINITION Soit A = (aij) et B = (bij), deux matrices de même dimension m´n. La somme de ces matrices, notée A + B, est une matrice de dimen-sion m´n définie par : A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) DÉFINITION Soit A = (aij), une matrice de dimension m ´n et k, un scalaire (nombre réel). La multiplication de la matrice A par le scalaire k donne une matrice notée kA et définie par l’égalité : kA = k(aij) = (kaij)

Transposition et produit DÉFINITION Soit A = (aij), une matrice de dimension m ´n. On appelle matrice transposée de A, notée At, la matrice de dimension n ´m dont la ie colonne est la ie ligne de la matrice A pour i = 1, 2, ..., m. DÉFINITION Soit A = (aik)m ´p et B = (bkj)p ´n, deux matrices. Le produit de ces matrices, noté A • B (ou AB), est une matrice C = (cij)m ´n dont les éléments cij sont définis par : cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ... + aipbpj , pour tout i et pour tout j.

Applications des matrices Dans le cours, on a utilisé les matrices et les opérations sur celles-ci dans les situations suivantes : pour décrire des problèmes de production; pour représenter les systèmes d’équations; pour résoudre des systèmes d’équations selon différents contextes; - problème de production; - chaînes de Markov; - combinaisons linéaires; - indépendance linéaire; - positions relatives et intersections de droites et de plans.

Systèmes d’équations et matrices Dans cette deuxième section, nous reverrons les notions présentées sur les systèmes d’équations linéaires, homogènes et non homogènes, et l’information que donne la matrice échelon-née sur le type de solution du système.

Représentation matricielle On peut décrire tout système d’équations linéaires par un produit de matrices. Matrice des coefficients Matrice des constantes Matrice des variables . a11 a21 am1 . a12 a22 am2 . a1n a2n amn . x1 x2 xn . b1 b2 bm aij ... = L’équation matricielle doit être sous cette forme pour que l’on puisse appliquer les procédures de résolution présentées dans le cours.

Problème de production Plusieurs problèmes de production peuvent se représenter par une équation matricielle. Matrice des coefficients Matrice des constantes Matrice des variables . a11 a21 am1 Quantité de chacun des matériaux par unité de chacun des articles à produire . a12 a22 am2 Nombre d’unités à produire . x1 x2 xn . b1 b2 bm aij ... . a1n a2n amn Quantité totale des matériaux = Lorsque le nombre d’unités à produire est connu, on doit effectuer le produit des matrices pour déterminer la quantité de matériaux. Lorsque la quantité totale des matériaux disponibles est connue, on doit résoudre un système d’équations linéaires pour déterminer le nombre d’unités que l’on peut produire.

Opérations élémentaires Pour résoudre par la méthode de Gauss, ou par la méthode de Gauss-Jordan, on échelonne en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes. Opérations élémentaires sur les lignes Soit A, une matrice. On appelle opérations élémentaires sur les lignes de A les opérations suivantes : 1. Interchanger la ligne i et la ligne j. Cette opération est notée par : Li « Lj 2. Multiplier la ligne i par un scalaire non nul. Cette opération est notée par : Li ® aLi , où a Î R\{0} 3. Substituer à la ligne i la somme d’un multiple non nul de la ligne i et d’un multiple de la ligne j. Cette opération est notée par : Li ® aLi + bLj , où a Î R\{0} et b Î R

Matrice échelonnée DÉFINITION On utilise les opérations élémentaires pour déterminer la matrice échelonnée (par la méthode de Gauss) ou la matrice échelonnée ré-duite (par la méthode de Gauss-Jordan). Une matrice échelonnée est une matrice dont le nombre de zéros précédant le premier élément non nul de chaque ligne augmente de ligne en ligne jusqu’à n’avoir éventuellement que des zéros. Dans une matrice échelonnée, le premier élément non nul de chaque ligne est appelé le pivot de cette ligne. 2 1 3 –2 8 4 5 7 12 5 1 1 1 9 –3 4 DÉFINITION Une matrice échelonnée réduite est une matrice dont : le pivot de chaque ligne de la matrice des coefficients est 1; le pivot est le seul élément non nul de la colonne où il se trouve.

Variables liées et variables libres DÉFINITION Dans un système d’équations linéaires, une variable liée est une variable dont la valeur est constante ou dépend d’une autre variable. Dans la matrice échelonnée d’un système d’équations, les variables liées sont les variables associées au pivot de chaque ligne. Les autres variables sont des variables libres. x y z u x est une variable liée. 1 –2 3 –5 z est une variable liée. –1 13 y est une variable libre. u est une variable libre.

Système d’équations non homogène Un système d’équations linéaires non homogène est un système dont au moins une des constantes est non nulle. Nous avons eu à résoudre des systèmes d’équations linéaires non homogènes dans les situations suivantes : pour établir un plan de production, connaissant les quantités de matériaux disponibles; pour déterminer le point invariant d’une chaîne de Markov; pour déterminer si un vecteur donné est combinaison linéaire ou est engendré par un ensemble de vecteurs; pour déterminer la position relative de droites et de plans dans l’espace.

Système d’équations non homogène On rencontre également des systèmes d’équations linéaires non homogènes dont les constantes sont des paramètres. Il faut alors déterminer la condition ou les conditions auxquelles doivent satisfaire les paramètres a, b et c pour que le système ait des solutions. Par exemple : a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 x y z = a b c On rencontre ces situations lorsqu’il faut décrire le sous-espace engendré par un ensemble donné de vecteurs.

Systèmes non homogènes à deux inconnues Dans un système non homogène de deux équations à deux inconnues, on peut rencontrer trois situations après avoir échelonné la matrice. Matrice échelonnée Types de solution Types de graphique a b c d e autant d’équations que d’inconnues Droites concourantes , où a ≠ 0 et d ≠ 0. Solution unique message d’impossibilité 0 = e ≠ 0 a b c e Droites parallèles , où e ≠ 0. Aucune solution moins d’équations que d’inconnues a b c Droites confondues Infinité de solutions

Systèmes non homogènes à deux inconnues Un système d’équations non homogène peut, initialement, avoir plus d’équations que d’inconnues. Ce n’est qu’après avoir échelonné, en comparant le nombre d’équations et le nombre d’inconnues, que l’on peut déterminer le type de solution de ce système. a b c d e f g h i Matrice initiale d’un système non homogène de trois équations à deux inconnues Matrice échelonnée Types de solution Types de graphique a b c e f autant d’équations que d’inconnues , où a ≠ 0 et e ≠ 0. Solution unique a b c f message d’impossibilité 0 = e ≠ 0 , où f ≠ 0. Aucune solution a b c moins d’équations que d’inconnues Infinité de solutions

Types de solution, systèmes à trois inconnues Un système d’équations linéaires à trois inconnues peut, initialement, avoir plus d’équations que d’inconnues ou moins d’équations que d’inconnues. Ce n’est qu’après avoir échelonné, en comparant le nombre d’équations et d’inconnues, que l’on peut déterminer le type de solution du système. La représentation graphique d’une équation à trois inconnues est un plan dans l’espace. Voici quelques cas concernant les systèmes de trois équations à trois inconnues. S S Infinité de solutions Aucune solution Solution unique Lorsque la matrice échelonnée com-porte une équation impossible, le système n’a aucune solution. Lorsqu’il reste moins d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une infinité de solutions. Lorsqu’il reste autant d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une solution unique. a b c d a a b b c d e f c g d , où a ≠ 0 et i ≠ 0. , où h ≠ 0. e e f f g i g h i Deux des plans peuvent être parallèles distincts. Les trois plans se rencontrent alors en un même point. Les trois plans peuvent être confondus ou avoir une droite comme intersection. Les plans pris deux à deux peuvent se couper selon des droites parallèles distinctes.

Système d’équations homogène Un système d’équations linéaires homogène est un système dont toutes les constantes sont nulles. Un tel système peut avoir une solution unique ou une infinité de solutions. Lorsque les équations du système ont deux inconnues, ils décrivent des droites passant à l’origine. Ces droites peuvent être concourantes ou confondues. Lorsque les équa-tions du système ont trois inconnues, ils décrivent des plans passant à l’origine. Nous avons eu à résoudre des systèmes d’équations linéaires homogènes pour déterminer si les vecteurs d’un ensemble sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants.

Systèmes homogènes à deux inconnues Dans un système homogène de deux équations à deux inconnues, les équations décrivent des droites passant à l’origine. On peut ren-contrer deux situations après avoir échelonné la matrice. Matrice échelonnée Types de solution Types de graphique autant d’équations que d’inconnues a b d , où a ≠ 0 et d ≠ 0. Solution unique Cette solution est (0; 0), on l’appelle la solution triviale. moins d’équations que d’inconnues a b Infinité de solutions On exprime les solutions en fonction de la variable libre.

Systèmes homogènes à deux inconnues Un système d’équations homogène peut, initialement, avoir plus d’équations que d’inconnues. Ce n’est qu’après avoir échelonné, en comparant le nombre d’équations et le nombre d’inconnues, que l’on peut déterminer le type de solution de ce système. a b c d e f Matrice initiale d’un système homogène de trois équations à deux inconnues Matrice échelonnée Types de solution Types de graphique autant d’équations que d’inconnues a b d , où a ≠ 0 et d ≠ 0. Solution unique Cette solution est (0; 0), on l’appelle la solution triviale. moins d’équations que d’inconnues a b Infinité de solutions On exprime les solutions en fonction de la variable libre.

Systèmes homogènes à trois inconnues Dans un système homogène à trois inconnues, les équations décrivent des plans passant à l’origine, (0; 0; 0), qui est toujours une solution. Lorsque le système homogène échelonné comporte autant d’équa-tions que d’inconnues, c’est la seule solution. On l’appelle la solution triviale. Lorsque le système homogène échelonné comporte moins d’équa-tions que d’inconnues, il y a infinité de solutions qu’il faut décrire en représentant les variables libres par des paramètres et en exprimant les variables liées en fonction de ces paramètres.

Déterminant Dans cette troisième section, nous reverrons la notion de déterminant et les différentes utilisations qui en ont été faites dans le cours.

Développement de Laplace DÉFINITION Le déterminant d’une matrice carrée A d’ordre n est défini symbo-liquement de la façon suivante : Pour un développement selon une ligne p quelconque : det A = ap1Cp1 + ap2Cp2 + ... + apnCpn Pour un développement selon une colonne r quelconque : det A = a1rC1r + a2rC2r + ... + anrCnr Remarque Le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n est obtenu en effectuant la somme des produits de chaque élément d’une ligne (ou d’une colonne) quelconque par son cofacteur.

Ci ® Ci + kCj , où k Î R ou Li ® Li + kLj , où k Î R Calcul et propriétés Procédure pour calculer un déterminant à l’aide des propriétés 1. Repérer la colonne (ou la ligne) où il est plus simple de faire apparaître des zéros. 2. Faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne). Répéter le procédé au plus grand nombre de colonnes (ou de lignes) : Ci ® Ci + kCj , où k Î R ou Li ® Li + kLj , où k Î R 3. Développer le déterminant selon la colonne (ou la ligne) conte-nant les zéros. 4. Si nécessaire, refaire les opérations dans le déterminant d’ordre n – 1.

Déterminant et systèmes d’équations Lorsqu’un système d’équations linéaires comporte autant d’équa-tions que d’inconnues, on peut calculer le déterminant de la matrice des coefficients du système, puisque cette matrice est carrée. Pour un système de trois équations à trois inconnues, on a alors : Système non homogène Un triplet (a; b; c) Solution unique Si det A ≠ 0 homogène (0; 0; 0) Système Infinité de solutions Aucune solution ou non homogène Si det A = 0 homogène Infinité de solutions

Méthode de Cramer Théorème Soit un système de trois équations à trois inconnues : a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a12x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 Ce système admet une solution unique (x1; x2; x3) = (k1; k2; k3) si et seulement si le déterminant de la matrice des coefficients, det A, est différent de 0 et cette solution est : b1 b2 b3 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 b1 b2 b3 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 b1 b2 b3 k1 = , k2 = et k3 = a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33

Méthode de Cramer Procédure pour résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues par la méthode de Cramer 1. Calculer le déterminant de la matrice des coefficients pour s’assurer que le système a une solution unique : det A ≠ 0. 2. Construire et calculer le déterminant associé à la ie inconnue en substituant la colonne des constantes à la colonne des coefficients de cette inconnue : det Ai , où i est la colonne associée à la ie inconnue (i = 1, ..., n). 3. Calculer le quotient du déterminant associé à l’inconnue sur le déterminant de la matrice des coefficients : xi = (det Ai)/(det A). 4. Répéter les étapes 2 et 3 pour chacune des inconnues du système.

Applications du déterminant Dans le cours, on a calculé un déterminant dans les situations suivantes : pour déterminer si un système d’équations linéaires comportant autant d’équations que d’inconnues a une solution unique ou non; pour résoudre un système d’équations par la méthode de Cramer; pour déterminer si trois vecteurs de R3 sont linéairement indépen-dants ou linéairement dépendants; pour déterminer si trois vecteurs de R3 sont coplanaires ou non; pour déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans R3; pour déterminer le produit mixte de trois vecteurs dans R3; pour calculer le volume d’un parallélépipède; pour trouver l’équation d’un plan passant par trois points connus; pour calculer des distances dans R3.

Matrice inverse Dans cette quatrième section, nous reverrons les procédures pour déterminer une matrice inverse et l’utilisation que l’on peut en faire pour résoudre un système d’équations linéaires ou pour déterminer une transformation linéaire inverse.

Matrice inverse DÉFINITION Soit A, une matrice carrée d’ordre n. On appelle matrice inverse de A, si elle existe, la matrice A–1 telle que : A • A–1 = A–1 • A = I où I est la matrice identité d’ordre n.

Procédure de Gauss-Jordan pour construire la matrice inverse 1. Construire une matrice augmentée dont la partie gauche est la matrice à inverser et la partie droite, la matrice identité du même ordre. 2. Effectuer les opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir la matrice échelonnée réduite dans la partie gauche de la matrice augmentée. 3. Écrire la matrice inverse lorsque celle-ci existe. 4. S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que A • A–1 = I.

Procédure de la matrice adjointe pour construire la matrice inverse 1. Calculer le déterminant de A pour déterminer si la matrice A est inversible. 2. Construire la matrice des cofacteurs (cof A). 3. Transposer la matrice des cofacteurs pour obtenir la matrice adjointe (adj A = (cof A)t) et multiplier cette matrice par le scalaire 1/det A pour obtenir la matrice inverse. 4. S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que A • A–1 = I ou encore en vérifiant que A • (adjA) = (det A)I.

Matrice inversible Théorème Critère d’inversibilité d’une matrice Soit A, une matrice carrée. A est inversible si et seulement si : det A ≠ 0 Théorème Unicité de la matrice inverse Soit A, une matrice carrée. Si A est inversible alors l’inverse de A est unique.

Matrice inverse et système d’équations linéaires Soit un système d’équations linéaires représenté sous forme matricielle par A • X = B, où A est une matrice carrée d’ordre n inversible. On peut alors multiplier des deux côtés de l’égalité par la matrice inverse A–1. Cela donne : A–1 • A • X = A–1 • B d’où : I • X = A–1 • B , puisque A–1 • A = I et : X = A–1 • B , car I • X = X Par conséquent, en multipliant la matrice des constantes B par A–1, la matrice inverse de A, on isole la matrice des inconnues X, cela donne la solution du système d’équations linéaires.

Applications de la matrice inverse Dans le cours, on a utilisé la matrice inverse dans les situations suivantes : pour résoudre un système d’équations linéaires comportant autant d’équations que d’inconnues et dont le déterminant de la matrice des coefficients est non nul; pour déterminer le point invariant d’une chaîne de Markov; pour décoder un message qui a été codé par une matrice;

Conclusion Cette présentation avait pour but de rappeler certains éléments importants de la partie sur l’algèbre matricielle et des applications qui ont été faites de ces notions dans l’ensemble du cours. Vous devriez normalement avoir identifié, grâce à cette présentation, les notions et applications que vous ne maîtrisez pas. Il est important pour votre préparation à l’examen synthèse que vous preniez le temps de relire les exemples et refaire des exercices sur les notions et applications que vous ne maîtrisez pas.

Exercices de synthèse Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Chapitre 13.