Structures Pyramidales Luc Brun L.E.R.I., Reims and Walter Kropatsch Vienna Univ. of Technology, Austria

Segmentation Segmentation: Partition de limage en un ensemble de composantes connexes uniformes S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S5S5

Segmentation Problèmes –Quantité importante de données –Lhomogénéité dépend de Résolution/Contexte Besoins –Parallélisme –Notion de Hiérarchie

Contenu du cours Structure de données Hiérarchiques Cartes Combinatoires Pyramides Combinatoires

Pyramides Régulières

Pyramides Matricielles (M-Pyramides) Pile dimage de résolution décroissante Niveau 0 Niveau 1 Niveau 2 2x2/4 Pyramide Niveau 3

Pyramides Arborescentes (T-Pyramides)

M-Pyramides M-Pyramide NxN/q (Ici 2x2/4) –NxN : Fenêtre de Réduction. Pixels utilisés pour calculer la valeur dun père (habituellement un filtre passe bas) –q : Factor de réduction. Rapport entre la taille de deux image consécutives –Champ récepteur:Ensemble des fils au niveau le plus bas

M-Pyramides NxN/q=1: Pyramides non chevauchante sans trous (ex. 2x2/4) NxN/q<1: Pyramide trouée. NxN/q>1: Pyramide Chevauchante

M-Pyramides- T-Pyramides Comment coder une partition ? Sélection de racines a différents niveaux Quad tree

Quad tree Décomposition récursive de l image

Pyramide Non chevauchante 2x2/4 : Pyramide Gaussiène

Pyramide chevauchante NxN/q >1 - Fils internes: Plus proches de leurs pères Fils externes Exemple : 4x4/4

Pyramide Chevauchante NxN/q>1: Chaque pixel contribue à la valeur de plusieurs pères => Chaque pixel a plusieurs pères potentiels

Pyramides Chevauchantes Algorithme de Segmentation –lien (père,fils) –Père légitime: le plus proche (plus fort lien) –Racine: Lien(P,Légitime(P))<seuil)

Pyramides Chevauchantes Pyramid linking[BHR 81] De Bas en haut -Calculer les valeurs -Positionner les liens De Haut en bas -Sélectionner les racines -Lier les pixels non racine à leurs pères légitime

Pyramide chevauchante

Pyramides Régulières Avantages (Bister)[BCR90] –réduit l influence du bruit –Rend les traitements indépendants de la résolution –Converti des propriétés globales en propriétés locales –Réduit les coûts de calcul –Analyse d image a coût réduit en utilisant des images faible résolution.

Pyramides Régulières Inconvénients(Bister) –Sensible aux : Décalages - Zooms - Rotations –La préservation de la connexité n est pas garantie.

Pyramides Régulières Inconvénients(Bister) –Sensible aux : Décalages - Zooms - Rotations –La préservation de la connexité n est pas garantie. –Nombre limité de régions à un certain niveau Peut être décris seulement au niveau 3 4 pixels au niveau 3 (8 bandes) 4x4/4 Pyramide

Pyramides Régulières Inconvénients(Bister) –Sensible aux : Décalages - Zooms - Rotations –La préservation de la connexité n est pas garantie. –Nombre limité de régions à un certain niveau –Difficile de coder les longues régions

Pyramides Irrégulières Piles de graphes progressivement réduits

Pyramides Irrégulières [Mee89,MMR91,JM92] Partant de G=(V,E) construire G=(V,E) –Sélectionner un ensemble de nœuds survivants V –Lien parent-enfant Partition de V –Définition de E Sélection des racines

Pyramides Stochastiques V : Maximum Independent Set –maximum de Une variable aléatoire –[Mee89,MMR91] Un critère d intérêt –[JM92]

Pyramides Stochastiques Sélection des survivants: Utilisation d une variable aléatoire (distribuée uniformément)

Pyramides Stochastiques Sélection des survivants: Utilisation d une variable aléatoire (distribuée uniformément)

Pyramides Stochastiques Lien parent-enfant : –maximum de Une variable aléatoire –[Mee89,MMR91] une mesure de similarité –[JM92]

Pyramides Stochastiques Définition des arêtes E du graphe réduit –Deux pères sont reliés par une arête s ils ont des enfants adjacents.

Pyramides Stochastiques Sélection des Racines: –Restriction du processus de décimation par une fonction de classe [MMR91] –Faible Lien Parent -Enfant [JM92]

Pyramides Stochastiques [MMR91] Restriction du processus de décimation par une fonction de classe

Pyramides Stochastiques (Jolion-Montanvert)[JM92] Sélection des nœuds survivants –Critère d intérêt local (minimum local de la variance) Relation Parent-Enfant: –Parent le plus proche (différence de niveaux de gris) Extraction des racines –Différence de niveaux de gris entre un père et son enfant >seuil

Pyramides Stochastiques Avantages –Processus purement local[Mee89] –Chaque racine correspond à une composante connexe du graphe initial[MMR91] Inconvénient: –Pauvre description des relations entre les régions.

Définitions Contraction d arêtes Identifier les deux noeudsSupprimer larête Donné une arête à contracter

Définition Graphes Duaux Deux graphes codant les relations entre les régions et les segments

Définition Graphes duaux Deux graphes codant les relations entre les régions et les segments

Graphes duaux Avantages (Kropatsch)[Kro96] –Code les propriétés des nœuds et des faces Inconvénients [BK00] –Nécessite le stockage et la mise à jour de deux structures de données. Contraction in G Suppression dans G Suppression dans G Contraction dans G

Paramètre de Décimation Soit G=(V,E), un Paramètre de Décimation (S,N) est défini par (Kropatsch)[WK94]: –un ensemble de nœuds survivants S V –Un ensemble d arêtes non survivantes N E Tout nœud non survivant est connecté à un nœud survivant de manière unique:

Exemple de Décimation : S :N

Paramètre de Décimation Caractérisation des arêtes non relevantes(1/2) d°f = 2

Paramètre de Décimation Caractérisation des arêtes non relevantes(2/2) d°f = 1

Paramètre de Décimation Paramètre de Décimation dual –Supprimer toutes les faces de degré inférieur à 3

Paramètre de Décimation Contraction d arêtes: Paramètre de Décimation (S,N) –Contractions dans G –Suppressions dans G Nettoyage : Paramètre de Décimation dual –Contractions dans G –Suppressions dans G

Paramètre de Décimation La caractérisation des arêtes non relevantes nécessite le graphe dual Graphes duaux (G,G)

Paramètre de Décimation Avantages –Meilleure description de la partition Inconvénients –Faible décimation

Noyaux de Contraction Soit G=(V,E), un noyau de contraction (S,N) est défini par: –Un ensemble de nœuds survivants S V –Un ensemble d arêtes non survivantes N E Telles que: –(V,N) est une forêt de (V,E) –Les nœuds survivants S sont les racines des arbres

Noyaux de Contraction L application successive de plusieurs paramètres de décimation est équivalente à l application d un noyau de contraction.

Exemple de Noyaux de Contractions : S :N,,

Exemple de Noyaux de Contractions Suppression des arêtes non relevantes: Noyau de contraction dual

Structures de données Hiérarchiques /Cartes Combinatoires M-Pyramids Overlapping Pyramids Stochastic Pyramids Adaptive Pyramids Decimation parameter Contraction kernel

Cartes Combinatoires définitions Permutation : bijection de D dans D Orbites : images successive d un élément * (1) = {1,3,6} * (2)={2,10,9,8,5} * (4)={4}, *(7)={7} Cycles : restriction of à une seule orbite

Cartes Combinatoires définitions G=(V,E) G=(D,, ) –décomposition de chaque arête en deux demis arêtes(brins) : : code les arêtes D ={-6,…,-1,1,…,6}

Cartes Combinatoires définitions G=(D,, ) – : code les nœuds * (1)=(1, * (1)=(1,3 * (1)=(1,3,2)

Cartes Combinatoires Propriétés Calcul du graphe dual : –G=(D,, ) G=(D, =, ) L ordre défini sur induit un ordre sur * (-1)=(-1, * (-1)=(-1,3 * (-1)=(-1,3,4 * (-1)=(-1,3,4,6)

Cartes Combinatoires Propriétés Calcul du graphe dual : –G=(D,, ) G=(D, =, ) * (-1)=(-1, * (-1)=(-1,3 * (-1)=(-1,3,4 * (-1)=(-1,3,4,6)

Cartes Combinatoires Propriétés Résumé –Les brins sont ordonnés autour des nœuds et sommets Le contour de chaque face est ordonné L ensemble des régions qui en entoure une autre est ordonné –Le graphe dual peut être codé implicitement –Le formalisme des cartes combinatoires peut être étendu a n importe quelle dimension (Lienhardt)[Lie89]

Cartes Combinatoires /Pyramides Combinatoires Combinatorial Maps Computation of Dual Graphs Combinatorial Maps properties Discrete Maps [Bru99]

Suppression G=(D,, ) –d D tel que d ne définit pas un pont G=G\ * (d)=(D,, ) d-d

Suppression Exemple d=5

Contraction G=(D,, ) –d D tel que d ne définit pas une boucle –G=G/ * (d)=(D,, ) d-d

Contraction Préservation de l orientation d c b a d c b a

Opérations de base Propriété Importante d=5 suppression contraction Le graphe dual est implicitement mis à jour

Noyaux de Contraction Soit G=(D,, ), K D est un noyaux de contraction ssi: –K est une forêt de G Ensemble symétrique de brins ( (K)=K) Chaque composante connexe est un arbre –Au moins un brin doit survivre SD=D-K

Noyaux de Contraction Exemple K=

Noyaux de Contraction Exemple K=

Noyaux de Contraction Comment calculer la carte combinatoire contractée ? –Quelle est la valeur de (-2) ?

Noyaux de Contraction Comment calculer la carte combinatoire contractée ? –Quelle est la valeur de (-2) ?

Noyaux de Contraction Chemins de connexion –Soit G=(D,, ), K D et SD=D-K –Si d SD, CW(d) est la suite minimale de brins non survivants entre d et un autre brin survivant.. Les chemins de connexion connectent les brins survivants.

Noyaux de Contraction Chemins de connexion CW(-2)=

Noyaux de Contraction CW(-2)=-2,-1,13,17,21,

Noyaux de Contraction Construction de la carte combinatoire contractée. –Pour chaque d in SD calculer d: dernier brin de CW(-d) (-d)= (d) (d)= (-d) = (d)

Extensions (1/2) Noyaux de contraction dual –Remplacer par –Application de plusieurs noyaux de même type Concaténation des chemins de connexion

Extensions (2/2) Application de plusieurs noyaux de type différents –Objet plus général: des chemins de connexion aux suites de connexion Pyramides étiquetées : –Pour chaque brin coder: Le plus haut degré où il est défini (durée de vie) La façon dont il disparaît (contracté ou supprimé)

Conclusion Les graphes codes efficacement les relations topologiques. Les cartes Combinatoires: –code l orientation –Permettent un codage implicite du graphe dual –Peuvent être généralisé à des dimensions plus élevées Les pyramides irrégulières résolvent les limitations de leurs ancêtres réguliers Pyramides Combinatoires