Comment la définir, surtout quand elle est variable ! La vitesse Comment la définir, surtout quand elle est variable !

Définition : le nombre v est la valeur de la vitesse. Suivons un point circulant sur une droite à vitesse constante Instant zéro Point mobile M à au l’instant t xM Sens du mouvement Point mobile M à au l’instant zéro xMo Distance = xMo – xM Une horloge Graduation 1 Graduation 0 Temps Distance t xM – xMo 1 v Par définition, la vitesse est constante si le temps et la distance sont proportionnels. D’où le tableau de proportion ci-contre Définition : le nombre v est la valeur de la vitesse. Ce tableau nous donne trois équations xM – xMo v = t t = xM – xMo v xM – xMo = v t (égalité des produits croisés) Règle : le diviseur est sur la même diagonale que la valeurs à calculer Conclusion : la distance s’obtient en multipliant la vitesse par le temps.

Faisons une remarque géométrique : La multiplication v t est l’aire d’un rectangle de hauteur v et de longueur t Aire = xM – xMo v t Temps Vitesse

avec le langage des mathématiques. Posons-nous cette question : Si on remplace le dessus du rectangle par une ligne continue : Vitesse Aire = xM – xMo v t Temps Vitesse Aire = xM – xMo ? v As-t-on encore t Temps Aujourd’hui, tout le monde pense que oui. Et c’est ainsi qu’on peut estimer une distance sachant la vitesse quand elle est variable avec le langage des mathématiques.

Les deux trapèzes sont égaux Cas particulier : supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps Temps Vitesse acquise t v – vo 1 a Cette hypothèse nous donne le tableau ci-contre Définition : le nombre vo est la valeur de la vitesse initiale. Ce tableau nous donne l’équation Faisons un peu de géométrie. Quelle est la formule de l’aire d’un trapèze ? v – vo = a t (égalité des produits croisés) Cette formule nous donne la géométrie ci-dessous v vo v Les deux trapèzes sont égaux v t Temps Vitesse 1 vo Aire = xM – xMo vo t L’aire du trapèze est donc égale à la moitié de celle du rectangle (v + vo) t 2 Aire = xM – xMo = = 1

Définition : le nombre vo est la valeur de la vitesse initiale. Cas particulier : supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps Temps Vitesse acquise t v – vo 1 a Cette hypothèse nous donne le tableau ci-contre Définition : le nombre vo est la valeur de la vitesse initiale. Ce tableau nous donne l’équation v – vo = a t (égalité des produits croisés) Conclusion : la distance s’obtient en multipliant la vitesse par le temps puis en divisant le résultat par deux. Cas particulier : la vitesse initiale est nulle : v = a t v t Temps Vitesse 1 vo Aire = xM – xMo v t Temps Vitesse Aire = xM – xMo a 1 v t 2 Aire = xM – xMo = L’aire du trapèze est égale à la moitié de celle du rectangle L’aire du triangle est égale à la moitié de celle du rectangle

Et dans l’espace ?

Au lieu de suivre UN mouvement le long d’un axe, on en suit TROIS Soient un repère de l’espace et une horloge zP Cote = xP – xM P 1 M xM yM zM O 1 yP Ordonnée = yP – yM Abscisse = xP – xM xP Au lieu de suivre UN mouvement le long d’un axe, on en suit TROIS Au lieu d’écrire UNE équation on en écrit TROIS

zP xM yM zM yP xP Soient un repère de l’espace et une horloge Cote = xP – xM P 1 M xM yM zM O 1 yP Ordonnée = yP – yM Abscisse = xP – xM xP

(vx + vxo) t (vy + vyo) t (vz + vzo) t Soient un repère de l’espace et une horloge Suivons un point circulant sur une droite à vitesse constante zP Temps Distance t xM – xMo 1 vx Temps Distance t yM – yMo 1 vy Temps Distance t zM – zMo 1 vz Cote = xP – xM P En abscisse En ordonnée En cote 1 M xM yM zM xM – xMo = vx t yM – yMo = vy t zM – zMo = vz t Chaque tableau nous donne une équation : O 1 vx – v xo = ax t Supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps yP vy – v yo = ay t Ordonnée = yP – yM vz – v zo = az t Abscisse = xP – xM xM – xMo = 1 2 (vx + vxo) t yM – yMo (vy + vyo) t zM – zMo (vz + vzo) t xP Alors nous pouvons démontrer trois lois de posoition au lieu d’une

(vx + vxo) t (vy + vyo) t (vz + vzo) t zP xM yM zM yP = 1 2 xP Soient un repère de l’espace et une horloge zP Cote = xP – xM P 1 M xM yM zM xM – xMo = vx t yM – yMo = vy t zM – zMo = vz t O 1 vx – v xo = ax t vy – v yo = ay t vz – v zo = az t yP Ordonnée = yP – yM Abscisse = xP – xM xM – xMo = 1 2 (vx + vxo) t yM – yMo (vy + vyo) t zM – zMo (vz + vzo) t xP

Quand un corps trace la flèche vitesse zP Soit un mouvement quelconque Cote = xP – xM P Imaginons qu’à cet instant la vitesse cesse brusquement de varier Une seconde plus tard, le corps est ici et suivons alors le corps pendant une seconde 1 M xM yM zM O 1 yP Ordonnée = yP – yM Avec t = 1 seconde Abscisse = xP – xM Une seconde xP xM – xMo = vx yM – yMo = vy zM – zMo = vz xM – xMo = vx t yM – yMo = vy t zM – zMo = vz t Rappelons les lois du mouvement à vitesse constante : ces formules montrent que le corps trace lui-même la flèche vitesse.

ces formules montrent que le corps trace lui-même la flèche vitesse. Le calcul du carré de la longueur de cette flèche donne MMo2 = (xM – xMo)2 + (yM – yMo )2 + (yM – yMo )2 d’où la fomule du carré de la vitesse v 2 = vx2 + vy2 + vz2 xM – xMo = vx yM – yMo = vy zM – zMo = vz ces formules montrent que le corps trace lui-même la flèche vitesse.

Unité de la vitesse Partons d’une de nos équations xM – xMo = v t (égalité des produits croisés) Remarque : on peut faire cette démonstration aussi bien en abscisse qu’en ordonnée ou en cote Et réécrivons-la avec les unités (xM – xMo ) m = v u t s Les unités se traitent en algèbre comme les nombres : Permutons les multiplications (xM – xMo ) m = v t u s Remplaçons v t par (x - xMo) : (xM – xMo ) m = (xM – xMo ) u s Simplifions m = u s Multiplions par s-1 m s-1 = u s s-1 Utilisons les propriétés des puissances m s-1 = u L’unité de la vitesse est le m s-1 ou m / s Remarque : ces écritures sont longues et pas toujours utiles ! On pourrait tout de suite substituer les valeurs de la formule de départ ... ... par les unités ... donc d’écrire seulement m s-1 = u. xM – xMo = v t puis m = u s , m s-1 = u s s-1 et

Unité de la vitesse Idée de départ : vu la règle de multiplication des puissances xn x p = xn + p , vu la convenstion de la puissance zéro x0 = 1, 1 et vu la définition de l’inverse d’un nombre x = 1 x les mathématiciens anciens ont voulu définir les puissances opposées xn x – n = xn – n d’où xn x – n = x0 = 1 d’où, en divisant des deux côtés par x n 1 xn x – n = . Multiplions par s-1 m s-1 = u s s-1 Utilisons les propriétés des puissances m s-1 = u L’unité de la vitesse est le m s-1 ou m / s Quelles propriétés ? ... donc d’écrire seulement m s-1 = u. xM – xMo = v t puis m = u s , m s-1 = u s s-1 et