Cours d’électromagnétisme Ibrahim El Aouadi

Plan Introduction à l’électromagnétisme Les régimes variables et les équations de Maxwell Les équations de Maxwell dans le vide Ondes électromagnétiques dans le vide. Ondes plans progressives Etude des ondes plans progressives monochromatiques Polarisation des ondes plans progressives Energie électromagnétique et vecteur de Poynting

REF Electromagnétisme: Fondements et Applications, J. P. Perez, R. Carles, R. Fleckinger. DUNOD, PARIS 2002 Le cours de physique de Feynman: mécanique 1 & 2 (éditions DUNOD 1999) Comprendre et Appliquer l’électromagnétisme, J.P. Longchamp (éditions MASSON 1990) Travaux dirigés de physique, M. Denizart, R. Jagut et G. Soum. Hachette Université

la théorie électromagnétique dans l’univers il y a des charges électriques qui interagissent entre elles. des charges en mouvement génèrent des courants électriques. ces charges engendrent des champs électrique et magnétique. toutes ces grandeurs, plus quelques constantes fondamentales (c, eo, mo), sont reliées entre elles par un ensemble cohérent d’équations l’interaction magnétique = l’interaction entre les charges en mouvement L’interaction électrique + magnétique = électromagnétique la théorie électromagnétique structure & propriétés de la matière (physique, chimie, vivant…) électrotechnique : production & acheminement d’énergie, conversion énergie mécanique  électromagnétique télécommunication : stockage et transmission de l’information

RAPPELS: Définition des opérateurs différentiels. Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes Le gradient : champ de vecteur attaché à un champ scalaire f Le vecteur Nabla : La divergence : champ scalaire attaché à un champ de vecteur

Le rotationnel : champ de vecteur attaché à un champ de vecteur A Le laplacien scalaire ; le laplacien vectoriel

Application

Chapitre I: Introduction à l’électromagnétisme L'interaction entre charges électriques fixes a permis de définir le champ électrostatique à partir de la force qui s'exerce sur une charge témoin de valeur q : L'expérience montre cependant que l'interaction entre charges en mouvement ne peut se réduire à une force électrostatique. Il convient donc de généraliser ce champ en analysant les forces qui s'exercent sur les charges en mouvement.

Dans un référentiel galiléen, la force qui s'exerce sur une charge en mouvement peut être séparée en deux parties. L'une, indépendante de la vitesse, est une généralisation de la force électrostatique que l'on appelle la force électrique. L'autre dépend de la vitesse de la particule et lui est orthogonale; on l'appelle la force magnétique.

I Magnétostatique dans le vide I.1 définition: Lorsque deux circuits parcourus par des courants électriques constants sont placés au " voisinage " l'un de l'autre, ils sont soumis à des actions. L'étude de ces actions est le domaine de la magnétostatique. La densité volumique de charges dans un conducteur parcouru par un courant constant est nul si bien que l'origine des forces ne peut être attribué à l'existence de champs électriques. Enfin ce phénomène ne se limite pas aux circuits électriques, les substances aimantées sont le siège d'interactions de même nature.(c’est un courant dont les paramètres électrique ne dépend pas du temps)

I.2 Interaction entre deux charge électrique en mouvement - et cas classique x y z

Soient 2 charges et animées respectivement des vitesses V1 et V2, puisque on travail dans le cas classique ( et avec C vitesse de la lumière). Entre les 2 charges existe deux types d’interactions: Interaction électrostatique: Avec la distance entre les 2 charges E : champ électrique créé dans le référentiel R par la charge au point où se trouve

Interaction magnétique: Avec On pose perméabilité du vide ( permittivité du vide) donc:

Toute charge en mouvement crée dans le vide un champ magnétique : D’une manière générale C’est la force de Lorentz

Force de LAPLACE Considérons un tronçon de circuit filiforme de longueur dl, vecteur dont le sens définit l’orientation positive de l’intensité I qui parcourt le fil, ce tronçon étant placé dans un champ magnétostatique B, le tronçon de circuit est alors soumis à une force résultante, appelée force de Laplace, dont l’expression est: Rq: l’origine de cette force est la force de Lorentz qui s’applique aux porteurs de charge contenus dans le fil ( la force de Laplace apparait comme la forme « macroscopique » de la force de Lorentz)

I.3 Champ magnétique créé par un courant stationnaire Considérons un matériau conducteur formant un circuit fermé parcouru par des charges mobiles de densité et de vitesse moyenne v au point P

En un point M suffisamment éloigné de P, la charge ( � élément de volume de ce matériau) apparaît comme une charge ponctuelle mobile avec la vitesse v ; cette charge en mouvement crée le champ magnétique élémentaire :

I.4 Loi de Biot et Savart Soient: - (C) : circuit filiforme orienté, définissant le courant I. - M est un point de l’espace. - Un élément en P du fil crée en M un champ magnétique : Avec

(C) crée en M un champ magnétique: Il s’agit de la loi de Biot et Savart. Dans le système international le champ magnétique s’exprime en Tesla (T), le courant électrique en ampères (A) et les longueurs en mètres (m). La constante mo vaut alors 4p 10-7. Le vecteur r donne la position de l’endroit où on calcule le champ, par rapport à l’élément de circuit qui est la source de ce champ. (r = PM) !

II Equations locales de la magnétostatique II.1- Divergence de Alors:

II.2 Flux de du champ magnétique En utilisant le théorème de Green-Ostrogradski - Pour une surface fermée S : est un champ à flux conservatif

soit est une surface fermée En tout point de , est perpendiculaire au champ magnétique. Donc Donc:

II.3 Potentiel vecteur : potentiel vecteur Calculons avec: Alors:

Exemple: Fil filiforme: charge discrète:

On montre que: Alors: (régime stationnaire) Le champ magnétique est définie en tout point de l’espace par:

II.4 Circulation de , théorème d’Ampère On considère un contour Γ orienté. ne dérive donc pas d’un potentiel, car sinon Où: est dans le même sens que le sens positif de Γ . Is est la somme algébrique des courants qui traversent S dans le sens positif associé à Γ Dans notre cas

Enoncé du théorème d’Ampère: Dans le vide, la circulation du champ magnétique le long d’une courbe fermée Γ est égale au produit par 0 de la somme algébrique des intensités I des courants qui traversent la surface S définie par Γ. Le signe de I est lié au sens de parcours sur Γ, c’est-à-dire au sens de qui est donné par la règle du tire-bouchon II.5 Dipôle magnétique: C’est toute boucle parcouru par un courant I et de dimension très faibles par rapport aux distance ou on calcule son effet I x x << r M

On montre que On appelle le moment magnétique dipolaire la quantité: Alors:

Méthodes de calcul du champ magnétique I- calcul direct par la loi de Biot et Savart + cas général Soit un circuit C parcouru par un courant I. le champ magnétique élémentaire dB crée en un point P par un élément dl du circuit est:

Cas particulier: en fait dans certains cas, lorsque les systèmes de courants possèdent un axe ou un plan de symétrie, on peut déterminer la direction de B, son module s’obtient alors par une intégrale unique

II- application du théorème d’Ampère. Parmi tous les courbes fermées on choisi celle qui permet un calcul simple de la circulation de B. pour cela il faut connaitre à priori la symétrie du champ magnétique. Bien que le théorème d’Ampère soit général, on ne peut l’utiliser que pour des systèmes de courant possédant un haut degré de symétrie

III a partir du potentiel vecteur Connaissant , on déduit de la relation avec

Chapitre II: Les régimes variables et les équations de Maxwell

Induction électromagnétique I- données expérimentales de base: L’induction électromagnétique est un phénomène multiforme dans les différents aspects ont étés découverte est étudiées par le physicien « Faraday » au début de 19eme cycle. Production d’un courant électrique dans un circuit fermé ne comprenant pas de pile, à partir de champs magnétiques. Loi de Lenz (Heinrich Lenz 1804-1865) Loi de Faraday (Michael Faraday 1791-1867)

Expériences typiques qui font intervenir l’induction Expérience 1: La figure ci dessous illustre une boucle conductrice reliée à une multimètre. Puisqu’il n’y a pas de pile ou d’autre source de f.e.m., il n’y a pas de courant dans le circuit. Pourtant, si on approche un barreau aimanté de la boucle, un courant apparait dans le circuit. Le courant disparait lorsque le barreau aimanté s’immobilise. Si on éloigne ensuite le barreau aimanté de la boucle, un courant réapparait, mais dans le sens opposé.

Experience 2: Dans cette experience, on utilise un dispositif comprennant deux boucles conductrices rapprochees l’une de l’autre sans se toucher. Si on ferme l’interrupteur S pour etablir un courant dans la boucle de droite, l’amperemetre enregistre un courant induit de façon soudaine et brève dans la boucle de gauche. Si on ouvre ensuite l’interrupteur, un autre courant apparait brièvement dans la boucle de gauche, mais cette fois dans le sens opposé. On obtient un courant induit seulment lorsqu’il y a une variation de courant dans la boucle de droite (en fermant et en ouvrant l’interrupteur), et non lorsque le courant est constant –meme dans le cas d’un courant intense.

Applications Transformateurs Générateurs / moteurs Plaque à induction

Comment cela fonctionne ? l’induction électromagnétique: Production d’un courant électrique dans un circuit fermé ne comprenant pas de pile, à partir d’un champ magnétique. C’est la mise en mouvement d’électrons dans un circuit conducteur mis en présence d’un champ magnétique. Création d’une f.e.m induite Le déplacement de charge qui entraine l’induction électromagnétique est dû à la force de Lorentz: La force électromotrice: le travail qui est fourni au circuit par unité de charge pour faire circuler ces charges dans le circuit

Comment cela fonctionne ? Le déplacement de charge qui entraine l’induction électromagnétique est dû à la force de Lorentz 𝑭 𝑳 =𝒒 𝒗 × 𝑩 +𝒒 𝑬 𝒊𝒏𝒅 Il y a création d’un courant électrique induit dans un conducteur en mouvement dans un champ magnétique: les charges se déplacent avec le conducteur, avec une vitesse 𝒗 dans un champ magnétique (Induction de Lorentz). Il y a création d’un champ électrique induit dans un circuit quelconque, dû à un champ magnétique variable dans le temps. Ce champ électrique induit entraine, à son tour, un courant induit(Induction de Neumann).

Description du phénomène électromagnétique Expérimentalement, il a été constaté la création d’un courant électrique induit : dans un circuit conducteur fixe placé dans un champ magnétique variable dans le temps. dans un circuit conducteur dont les propriétés spatiales varient dans le temps, placé dans un champ magnétique constant dans le temps : l’orientation du circuit varie dans le temps, l’aire du circuit varie dans le temps, la position du circuit varie dans le temps.

Variation du champ magnétique La variation du champ magnétique 𝐵 dans la boucle conductrice produit un courant induit 𝐼 sur cette boucle.

2a. Variation de l’aire La variation d’aire d’un anneau conducteur dont la surface est traversée par un champ magnétique produit un courant induit 𝑰 sur l’anneau.

2b. Variation de l’angle Le changement d’orientation de la surface d’un anneau conducteur dans un champ magnétique produit un courant 𝑰 sur l’anneau.

2c. Variation de position Lorsqu’une boucle se déplace dans un champ magnétique non uniforme, il y a création d’un courant induit 𝐼.

Le flux magnétique Il y a création d’un courant induit si le nombre de lignes de champs qui traversent la surface délimitée par le conducteur varie dans le temps : Variation du champ magnétique B Variation de l’aire A Variation de l’angle θ ⇒ Définir le flux magnétique, 𝛷 𝐵 ,à travers une surface 𝑨, qui est proportionnel au nombre de lignes de champs qui traverse cette surface 𝐴.

Le flux magnétique Le flux magnétique dans un champ uniforme est défini par : 𝐴 =𝐴𝑖𝑟𝑒 . 𝑛 𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒 Unité: le Weber (Wilhelm Weber 1804-1891) 1 𝑊𝑏=1 𝑇. 𝑚 2 𝜱 𝑩 = 𝑩 ∙ 𝑨 =𝑩𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑾𝒃

Le flux magnétique Le flux magnétique dans un champ non uniforme est défini par : 𝑑 𝐴 est un élément de surface Sur une surface fermée, le flux est nul (2e loi de Maxwell ) 𝑺 𝒇𝒆𝒓𝒎é 𝑩 ∙𝒅 𝑨 =𝟎 𝜱 𝑩 = 𝑺 𝒅𝜱 𝑩 = 𝑩 ∙𝒅 𝑨 𝑾𝒃

Loi de Faraday La loi de Faraday: E =− 𝑑 𝜱 𝑩 𝑑𝑡 𝑉 La f.é.m. induite sur une boucle conductrice constituée de 𝑵 spires est « La force électromotrice induite dans un circuit fermé est proportionnelle au taux de variation du flux du champ magnétique traversant la surface délimitée par le circuit par rapport au temps » E =−𝑵 𝒅 𝜱 𝑩 𝒅𝒕 𝑽

𝑑 𝜱 𝑩 𝑑𝑡 =𝐴 cos 𝜃 𝑑𝐵 𝑑𝑡 −𝐴𝐵 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 +𝐵 cos 𝜃 𝑑𝐴 𝑑𝑡 Loi de Faraday Si le champ magnétique est uniforme : Alors la variation de flux est : 𝛷 𝐵 =𝐵𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃 et E =−𝑁 𝑑 𝛷 𝐵 𝑑𝑡 𝑑 𝜱 𝑩 𝑑𝑡 =𝐴 cos 𝜃 𝑑𝐵 𝑑𝑡 −𝐴𝐵 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 +𝐵 cos 𝜃 𝑑𝐴 𝑑𝑡 Paramètre f.é.m. induite A B B

Loi de Faraday   𝑰 𝒊𝒏𝒅 = E 𝑹 𝒃𝒐𝒖𝒄𝒍𝒆 𝑷= 𝑹 𝒃𝒐𝒖𝒄𝒍𝒆 (𝑰 𝒊𝒏𝒅 ) 𝟐

Loi de Lenz Loi de Lenz selon Maxwell : Plus pratique: « L’effet de la f.é.m. induite est tel qu’il s’oppose à la variation de flux qui le produit » « Le courant induit circule de manière à produire un champ magnétique induit dont l’effet est de contrer la variation de flux du champ extérieur qui produit ce courant ».    

Les Générateurs Soit une boucle en rotation dans un champ magnétique uniforme, à la vitesse angulaire 𝜔. Le flux magnétique à travers la boucle est : 𝛷 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴 =𝐵𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜃 𝑡 ) Si 𝜃=0 à 𝑡=0 ⇒𝜃 𝑡 = 𝜔.t ⇒𝛷 𝐵 =𝐵𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔t) La f.é.m. induite est E =−𝑁 𝑑 𝛷 𝐵 𝑑𝑡 =−𝑁 𝑑 𝑑𝑡 𝐵𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔t = 𝑁𝐵𝐴𝜔 sin (𝜔t)

E =𝑵𝑩𝑨𝝎 𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝐭) = E 𝟎 𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝐭) Les Générateurs La f.é.m. induite est E 0 est l’amplitude maximum du courant ( E 0 𝛼 𝜔) E =𝑵𝑩𝑨𝝎 𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝐭) = E 𝟎 𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝐭)

La f.é.m. dans un conducteur en mouvement Cas 2c (induction de Neumann) Champ magnétique constant dans le temps => 𝐸 𝑖𝑛𝑑 =0 La position du circuit varie dans le temps. Le long de la portion en mvt, la force est 𝐹 𝐿 =𝑞 𝑣 × 𝐵 =− 𝑞 𝑣𝑏 ( 𝑗 ) Le travail de cette force est 𝑊= 𝐹 𝐿 ∙ 𝑑𝑙 =𝑞𝑣𝑏 𝑙 La f.é.m. induite est : E = 𝑊( 𝐹 𝐿 ) 𝑞 =𝑣𝑏 𝑙 𝑥 𝑦 Mvt 𝒆 − 𝐼

La f.é.m. dans un conducteur en mouvement Cas 2c (induction de Neumann) 𝑥 𝑦 Le flux au travers S est 𝛷 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴 =𝐵𝐴=𝐵𝑙𝑥(𝑡) Loi de faraday E =− 𝑑 𝛷 𝐵 𝑑𝑡 =−𝐵𝑙 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =−𝐵𝑙𝑣 Dans cet exemple, le signe (-) dans l’expression signifie que le champ magnétique induit associé au courant induit est dans la direction inverse du champ magnétique extérieur. Cela permet de déterminer la direction du courant induit.

La f.é.m. dans un conducteur en mouvement Cas 2c (induction de Neumann) Le courant induit est 𝐼 𝑖𝑛𝑑 = E 𝑅 𝑏𝑜𝑢𝑐𝑙𝑒 = 𝐵𝑙𝑣 𝑅 La puissance induite est 𝑃 𝑖𝑛𝑑 = E 2 𝑅 𝑏𝑜𝑢𝑐𝑙𝑒 = (𝐵𝑙𝑣) 2 𝑅

La f.é.m. dans un conducteur en mouvement application À 𝑡=0 𝐼 𝑖𝑛𝑑 =0 𝑣=0 𝑑Φ 𝑑𝑡 =0 𝐼= E 𝑅 la force magnétique qui agit sur la tige est alors : 𝑭 𝑩 =𝑰 𝒍 × 𝑩 ⇒ 𝑭 𝑩 = E 𝑅 𝑙 𝐵

La f.é.m. dans un conducteur en mouvement application Sous l’action de , la 𝑣 augmennte, un courant induit apparait qui s’oppose au courant en circulation 𝑭 𝑩 =(𝑰− 𝑰 𝒊𝒏𝒅 ) 𝒍 × 𝑩 ⇒ 𝑭 𝑩 =( E 𝑅 − 𝐵𝑙𝑣 𝑅 ) 𝑙 𝐵 Vitesse limite atteinte lorsque 𝐹 𝑥 =0 ⇒ 𝑭 𝑩 =0 𝑭 𝑩 = E 𝑅 − 𝐵𝑙𝑣 𝑅 𝑙 𝐵=0 ⇒𝒗= E 𝑩𝒍

application Le moteur linéaire : Un moteur linéaire est essentiellement un moteur électrique qui « a été déroulé » de sorte qu'au lieu de produire un couple (rotation), il produise une force linéaire sur sa longueur en installant un champ électromagnétique de déplacement. Exemple : Le skytrain : métro de Vancouver Le canon électrique/RailGun

Courant de Foucault On appelle courants de Foucault les courants électriques créés dans une masse conductrice, soit par la variation au cours du temps d'un champ magnétique extérieur traversant ce milieu, soit par un déplacement de cette masse dans un champ magnétique constant. Inconvénients : pertes par courant de Foucault (perte par effet Joules) Applications Système de freinage Chauffage (plaque à induction) Etc.

Applications rotor d’une génératrice du barrage Hoover (les 17 génératrices peuvent fournir 2000 MW)

Chapitre III: Les équations de Maxwell dans le vide

Conservation du flux Equation de Maxwell-Gauss Equations de Maxwell dans le vide Les équations de Maxwell régissent les phénomènes faisant intervenir des champs électrique E et magnétique B. Elles s’écrivent dans un espace vide de matière mais où il y a une densité de charge électrique  et une densité de courant j comme suit : Permittivité électrique du vide Perméabilité magnétique du vide Equation de Maxwell-Faraday Equation de Maxwell-Ampère Equation de Maxwell-Gauss Conservation du flux ou ou ou ou

On trouve aussi souvent la notation suivante : En définissant des nouveaux champs : Pour le vide : H: excitation magnétique ne dépend que de la source 0 et 0 sont des constantes.

Remarque : Les équations de Maxwell montrent qu’un champ électrique oscillant génère un champ magnétique oscillant et réciproquement Si maintenant on se place loin des zones de charges (=0) et des sources de courant (j=0) : Les deux premières équations sont couplées et sont comparables aux équations obtenues pour les ondes acoustiques. Essayons de la même façon de découpler ces équations, prenons par exemple le rotationnel de la première équation :

Equation de Propagation A l’aide de la deuxième équation de Maxwell on peut écrire : Si maintenant on utilise les relations existantes entre les différents opérateurs vectoriels : Equation de Propagation On sait que : On obtient finalement une équation ne contenant que E. Avec

Equation de Propagation Le même raisonnement peut être appliqué au champ magnétique B : On sait que : Equation de Propagation Avec

Ondes planes sinusoïdales En ce plaçant suffisamment loin de sa source, une onde peut être considérée comme plane. Du fait de la linéarité des équations de propagation on cherchera des solutions de la forme d’ondes planes harmoniques. Dans le cas d’une onde progressive on écrira : Les composantes du champ magnétique sont déterminées à l’aide des équations de Maxwell. Avec La constante C est fondamentale en physique. Par définition du mètre, elle est égale à 299 792 458 m/s. On prend généralement 300 000 km/s. Elle représente la limite absolu de la vitesse de déplacement. et

V.3.1 Relations entre les champs Pour simplifier les calculs nous allons ici aussi utiliser la notation complexe. Champ E: avec Champ véritable = partie réelle Champ B: avec Pour les opérateurs de dérivation on a: En injectant dans les équations de Maxwell, on obtient : Partie réelle uniquement

Les deux champs sont en phase Les deux champs sont orthogonaux au vecteur d’onde k  Onde transversale forme un trièdre directe Les modules des champs sont proportionnels  V.3.2 Polarisation La polarisation définit l’orientation du champ électrique dans le temps. Polarisation elliptique Polarisation rectiligne Sans polarisation : La lumière naturelle On sait que le champ électrique est transversale : avec

Polarisation circulaire C’est un cas particulier de la polarisation elliptique, on a ici : + : polarisation droite - : polarisation gauche Polarisation rectiligne C’est un cas particulier de la polarisation elliptique, on a ici :

V.4 Aspect energétique La puissance P transportée par un champ électromagnétique à travers une surface S est le flux du vecteur de Poynting : Exemple d’une onde plane et avec

Déterminons maintenant l’expression du vecteur de Poynting La moyenne temporelle est égale à : ou encore

Remarque : Deux ondes polarisées dans des directions orthogonales n’interfèrent pas. La puissance total est donc obtenue par la somme des carrés des amplitudes des composantes

Polarisation des ondes plans progressives