CHAPITRE 7 Triangle rectangle, Cercle et Bissectrice

Objectifs: - Connaître et utiliser les propriétés reliant le triangle rectangle le cercle. - Savoir déterminer la distance d'un point à une droite. Savoir construire la tangente à un cercle en l'un de ses points. aaaaaa - Connaître et utiliser la définition de la bissectrice.

Le milieu de l’hypoténuse Triangle rectangle et cercle 1) Centre du cercle circonscrit Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. Conséquence : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est équidistant des trois sommets. § § § Le milieu de l’hypoténuse Nous admettons cette propriété.

Un des côtés est un diamètre du cercle 2) Propriété réciproque Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle. Un des côtés est un diamètre du cercle Nous admettons cette propriété.

La distance AH est appelée distance du point A à la droite (d) II. Distance d’un point à une droite La distance du point A à la droite (d) est la plus petite longueur possible entre le point A et un point quelconque de la droite (d). La distance AH est appelée distance du point A à la droite (d) H est appelé le pied de la perpendiculaire à la droite (d) passant par A (d) A H Remarque: Le point H est le point de la droite (d ) qui est « le plus près » de A.

III. Tangente à un cercle Vient du latin  « tangere » = toucher La tangente en M au cercle (C ) de centre O est la perpendiculaire au rayon en ce point M. La tangente (C ) M x Remarque: C’est une droite qui « touche » le cercle en un point et un seul. O x Le rayon

Cliquez sur l’icône pour voir l’animation Exemple: Construire une tangente au cercle passant par A. Cliquez sur l’icône pour voir l’animation

IV. Bissectrice d’un angle Découvert par Euclide (IIIe siècle avant JC) 1) Définition La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en 2 angles adjacents de même mesure. Remarque: On peut construire une bissectrice avec un rapporteur. n Bissectrice de l’angle mÔn 25° 25° O m

Cliquez sur l’icône pour voir l’animation Remarque: La bissectrice d ’un angle est également l’axe de symétrie de l’angle. 2) Construction avec le compas Construisons la bissectrice de l’angle BÂC Cliquez sur l’icône pour voir l’animation

3) Propriété Si un point appartient à la bissectrice d’un angle alors il est équidistant des côtés délimitant cet angle. x M § P Bissectrice de l’angle xÂy x A § N y Voir une démonstration de cette propriété dans le cahier d’exercices.

4) Cercle inscrit à un triangle Le point de concours des 3 bissectrices dans un triangle est le centre du cercle inscrit dans ce triangle. A L M P B C K Voir une démonstration sur le point de concours des bissectrices dans le cahier d’exercices.