Produit scalaire Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Nous allons maintenant présenter une autre opération sur les vecteurs, le produit scalaire. Nous allons définir cette opération sur les vecteurs algébriques puis nous verrons l’interprétation géométrique de cette opération sur des vecteurs de R2 et des vecteurs de R3.

Un marchand livre des fruits dans les édifices à bureaux du centre-ville. Le tableau ci-contre indique les fruits commandés par les employés d’un bureau ainsi que le prix unitaire de ces fruits. La Fruiterie mobile Prix unitaire Quantité Pomme 0,75 8 Poire 0,80 6 Prune 0,50 4 Ce tableau comporte deux vecteurs, un vecteur des prix unitaires et un vecteur des quantités. Vecteur des prix unitaires : u = (0,75; 0,80; 0,50) Vecteur des quantités : v = (8; 6; 4) Pour établir la facture du client, le marchand peut effectuer l’opération suivante sur ces vecteurs : u • v = (0,75 ´8) + (0,80 ´6) + (0,50 ´4) = 12,80 $ L’opération consiste à faire la somme des produits des composantes de même rang. Cette opération entre deux vecteurs donne un scalaire, que nous appellerons produit scalaire.

Produit scalaire Définition Soit u = (u1; u2; ...;un) et v = (v1; v2; ...;vn), deux vecteurs de Rn. Le produit scalaire de u par v, noté u • v, donne un scalaire défini par l’égalité suivante : u • v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn Remarque : Cette définition suppose que les vecteurs algébriques sont exprimés dans la base orthonormée usuelle de Rn. Elle est valide dans R2 et dans R3 aux même conditions. Ainsi, le produit scalaire des vecteurs u = (2; –5; 4) et v = (8; 2; –3) est : u • v = 2 ´8 + (–5) ´2 + 4 ´(–3) = –6

Produit scalaire Propriétés du produit scalaire Pour tout vecteur u, v et w et pour tout scalaire p et q : 1. Commutativité u • v = v • u 2. Associativité pour la multiplication par un scalaire (pu) • (qv) = pq(u • v) 3. Distributivité sur l’addition vectorielle u • (v + w) = u • v + u • w 4. u • u = u 2 On démontre la quatrième propriété de la façon suivante : u • u = u12 + u22 + … + un2 , par définition du produit scalaire; = u 2, puisque u = u12 + u22 + … + un2 .

Produit scalaire de vecteurs géométriques Considérons deux vecteurs géométriques v et , de longueur a et b respectivement. Posons c la longueur du troisième côté du triangle construit sur ces vecteurs. Par la loi des cosinus, c2 = a2 + b2 – 2ab cos q, où q est l’angle entre les vecteurs. De plus : u v – 2 , puisque ; c = u v – c2 = = ( ) • ( ) u v – , puisque ; u • u = u 2 = • – • – • + • u v , par la distributivité du produit scalaire sur l’addition vectorielle; u 2 v • – 2 = + , par la commutativité du produit scalaire; u v • – 2 = a2 + b2. u v • – 2 a2 + b2 On a donc : = a2 + b2 – 2ab cos q , d’où : u v • = ab cos q = u v cos q

Produit scalaire de vecteurs géométriques Définition Soit u et v deux vecteurs géométriques. Le produit scalaire de u par v, noté u • v, donne un scalaire défini par l’égalité suivante : u • v = u v cos q, où q est l’angle entre les vecteurs. Remarque : Cette définition, qui est équivalente à celle donnée pour des vecteurs algébriques, va nous permettre de développer diverses applications du produit scalaire.

Exemple Dans la figure ci-contre, l’unité de mesure est l’arête d’un cube et les vecteurs e1, e2 et e3 forment une base de l’espace. Déterminer les produits scalaires suivants : u • e3 a) AB • CD b) a) On peut également procéder en exprimant les vecteurs dans la base. Cela offre un avantage intéressant puisque les vecteurs de la base sont perpendiculaires et que cos 90° = 0. Dans le cas présent, on a : b) En exprimant les vecteurs dans la base, on obtient : a) On a : e3 = 1 et u = 22 + 22 = 8 = 2 2 S S AB = e2 – e3 et CD = e1 – e2 , d’où : S cos (u • e3) = 2 De plus, AB • CD = (u • e3) = 45° ( ) • ( ) e2 – e3 e1 – e2 , d’où S u = e1 + 2 e3 = (e2 • e1) – (e2 • e2 ) – (e3 • e1 ) + (e3 • e2 ) Par conséquent : D’où : u • e3 = (e1 + 2 e3) • e3 = 0 – 4 – 0 + 0 = –4 2 2 2 ´1 ´ u • e3 = u e3 cos (u • e3) = = e1 • e3 + 2 (e3 • e3 ) , par les propriétés; = 2 On a donc : AB • CD = –4. = 0 + 2 ( 1 ) = 2

Produit scalaire nul Soit u et v deux vecteurs géométriques non nuls tels que u • v = 0. il faut que l’un des facteurs du produit soit nul. Les deux vecteurs étant non nuls, la seule possibilité est donc : Puisque : u • v = u v cos q, cos q = 0, d’où q = arccos 0 = 90° Réciproquement, si u et v sont perpendiculaires, on a : u • v = u v cos q = u v cos 90° = 0 Théorème Produit scalaire nul Soit u et v deux vecteurs géométriques non nuls. Le produit scalaire de ces vecteurs est nul si et seulement si les vecteurs u et v sont perpendiculaires.

Angle entre deux vecteurs Soit u et v deux vecteurs non nuls. on peut calculer le cosinus de l’angle entre les vecteurs de la façon suivante : Puisque : u • v = u v cos q, cos q = u • v u v , d’où q = arccos Procédure pour calculer l’angle entre deux vecteurs algébriques 1. Écrire l’équation u • v = u v cos q. u • v u v 2. Calculer cos q = . 3. Déterminer l’angle entre les vecteurs à l’aide de la fonction arccosinus. 4. Interpréter le résultat selon le contexte.

Exemple 9.1.4 La molécule de méthane (CH4) est de forme tétraédrique. Elle est composée d’un atome de carbone et de quatre atomes d’hydro-gène. La figure ci-contre est la représentation d’une telle molécule dans R3. Calculer l’angle entre les liaisons chimiques. Posons : u = CHA = (–1; –1; 1) et v = CHB = (–1; 1; –1) S u • v u v = –1 3 1 – 1 – 1 3 3 cos q = On a donc q = arccos (–1/3) = 109,47°. L’angle entre les liaisons chimiques est de 109,47°. On peut faire le même calcul en choisissant les autres liaisons.

Interprétation géométrique Soit u et v deux vecteurs non nuls. Le produit scalaire : u • v = u v cos q, donne un scalaire qui est formé du module du vecteur u et de la longueur dirigée de la projection du vecteur v sur la droite support de u. Puisque le produit scalaire est commutatif, on peut dire que le produit scalaire de deux vecteurs donne le produit du module de l’un des deux et de la longueur dirigée de la projection orthogonale du second sur le premier. Cette interprétation est également valide lorsque l’angle entre les vec-teurs est compris entre 90° et 180°.

Vecteur projection Soit u et v deux vecteurs non nuls. Notons vu la projection orthogonale du vecteur v sur le vecteur u. vu a la même direction que le vecteur u. Il existe donc un scalaire k tel que vu = ku. Déterminons ce scalaire. Notons w le vecteur joignant l’extrémité de v à l’extrémité de vu. On a alors : w = –v + ku, par addition vectorielle et u • w = 0, car u ^ w. D’où : u • ( –v + ku) = 0 , par substitution; –u • v + k u • u = 0 , par distributivité; u • v u • u vu = ku = u • v u • u u k u • u = u • v et k = . D’où :

Exemple Dans la figure ci-contre, l’unité de mesure est l’arête d’un cube et les vecteurs e1, e2 et e3 forment une base de l’espace. Déterminer la longueur de la projection du vecteur CD sur le vecteur AB. En exprimant les vecteurs dans la base, on obtient : u = AB = 2 e2 – 2 e3 et v = CD = –2 e1 + 2 e2 , d’où : u • v = AB • CD = ( ) • ( ) 2 e2 – 2 e3 –2 e1 + 2 e2 = –4(e2 • e1) + 4(e2 • e2) + 4(e3 • e1) – 4(e3 • e2) = 0 + 4 + 0 – 0 = 4 Les vecteurs de la base étant perpendiculaires, on peut déterminer le module des vecteurs. On obtient : S u = AB = 22 + (–2)2 = 8 = 2 2 . Cela donne : vu = u • v u AB • CD AB = 4 2 2 = = 2 unités

Projection orthogonale Théorème Projection orthogonale d’un vecteur Soit u et v deux vecteurs géométriques non nuls. La projection orthogonale du vecteur v sur le vecteur u est le vecteur : vu = ku = u • v u • u u vu = u • v u La longueur de la projection orthogonale est : Remarque Pour calculer le numérateur du scalaire k, on fait simplement le produit scalaire des deux vecteurs. Le dénominateur est le produit scalaire du vecteur sur lequel on projette et de ce même vecteur. Rappelons la quatrième propriété du produit scalaire : u • u = u 2

Exemple 9.1.6 Trouver la projection orthogonale du vecteur u = (4; 5) sur le vecteur v = (6;–1). Trouver la longueur de ce vecteur. Le produit scalaire de u et v donne : u • v = (4 ´6) + (5 ´–1) = 24 – 5 = 19 Le produit scalaire de v et v donne : v • v = (6 ´6) + (–1 ´–1) = 36 + 1 = 37 S S La projection orthogonale de u sur v est alors donnée par : u • v v • v v = (6; –1) 19 37 = 114 37 –19 ; uv = Le module de v est 62 + (–1)2 = 37 v = uv = u • v v = = 3,123… ≈ 3,12 19 37 La longueur de la projection est d’environ 3,12 unités.

Exemple 9.1.7 Trouver la projection orthogonale du vecteur v = (2; 2; 5) sur le vecteur u = (–3; 7; 8). Trouver la longueur de ce vecteur. Le produit scalaire de u et v donne : u • v = (–3 ´2) + (7 ´2) + (8 ´5) = –6 + 14 + 40 = 48 Le produit scalaire de u et u donne : u • u = (–3 ´–3) + (7 ´7) + (8 ´8) = 9 + 49 + 64 = 122 La projection orthogonale de v sur u est alors donnée par : u • v u • u u = (–3; 7; 8) 48 122 = –72 61 168 ; 192 vu = S S Le module de u est u = (–3)2 + 72 + 82 = 122 vu = u • v u = = 4,3457… ≈ 4,35 48 122 La longueur de la projection est d’environ 4,35 unités.

Produit scalaire et travail Le travail (T) effectué par une force qui déplace un objet dépend : • de la longueur du déplacement (d) de l’objet; • de la composante de la force (F) dans le sens du déplacement. T = d F cos q Le travail est donc le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement. L’unité de la force est le newton (N) et le déplacement est en mètres (m). Le travail est donné en newtons-mètres (N·m) ou en joules (J).

Exemple 9.1.9 On veut monter le bloc illustré ci-contre en le tirant avec une force de 350 N faisant un angle de 52° avec l’horizontale. L’inclinaison du plan est de 23°. Représentons la situation dans un système d’axes. Le vecteur déplacement fait un angle de 23° avec l’horizontale et est représenté par le vecteur algébrique : d = (10 cot 23°; 10) Le vecteur algébrique décrivant la force est : En considérant que la longueur du bloc est négligeable, calculer le travail effectué pour monter le bloc jusqu’en haut du plan incliné. F = (350 cos 52°; 350 sin 52) Le travail est donné par le produit scalaire de ces deux vecteurs, soit : S T = d • F = (10 cot 23°; 10)  • (350 cos 52°; 350 sin 52°) = 3500cot 23 cos 52° +  3500 sin 52° = 7834,46… N·m ≈ 7,83 kJ. Le travail effectué est d’environ 7,83 kJ.

Conclusion Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire qui est le produit des modules des vecteurs et du cosinus de l’angle entre ceux-ci Le produit scalaire de deux vecteurs algébriques de R2 ou de R3 peut être obtenu directement à partir des composantes en effectuant la somme des produits des composantes de même rang. En effet, dans une base orthonormée, les composantes véhiculent l’information sur la direction, le sens et le module des vecteurs, donc sur l’angle entre ceux-ci. On utilise le produit scalaire pour déterminer l’angle entre deux vecteurs et la projection orthogonale d’un vecteur. D’autres applications seront présentées en géométrie vectorielle. Le travail effectué par une force pour déplacer un objet est le produit scalaire du vecteur déplacement et du vecteur force. La représentation par des vecteurs algébriques simplifie le traitement de l’information pour calculer le travail.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 9,1, p.243-251. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 8.1, p.193-200. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 9.2, p. 252-252. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 8,2, p.201-204.