Café OMPUTER LGEBRA & LCUL UNCTIONAL ORMEL & QUATIONS QUATIONS Notre but est de développer de nouvelles méthodes de « résolution » par le calcul formel d'équations fonctionnelles, c'est-à-dire d'équations où les inconnues représentent des fonctions plutôt que des valeurs numériques, et de faciliter le transfert de ces méthodes dans les sciences de l'ingénieur en produisant les programmes et outils nécessaires. OMPUTER LGEBRA & UNCTIONAL QUATIONS LCUL ORMEL & QUATIONS

Equations et Formules Fonction de Lambert (1758) : : • Combinatoire: • Equations à retard: Existe-t-il une formule explicite W(z)= (.. Exp,Sin,Log…) ? Non ! W(z) n’est pas une fonction liouvillienne de z. [BroDav]

Classes d’équations Récurrences linéaires Différentielles linéaires EDO non-linéaires EDP linéaires Contrôle

« Décomposer » Recouvrir l’ensemble des solutions par des sous-ensembles ayant de bonnes propriétés Produire des logiciels efficaces et distribuables pour décomposer des systèmes fonctionnels

Ambition scientifique Repousser les limites du traitement par le calcul formel de telles équations Nouvelles classes d’équations ou de solutions Gain d’efficacité / passage à l’échelle Produire des logiciels robustes/efficaces et des services web de résolution. algorithmes Mathématiques Implémentation Serveurs

Contributions

Solutions en termes de fonctions spéciales La théorie de Galois a permit le développement d’algorithmes de recherches de solutions Liouvilliennes (Kovacic 1986),... Pas de solutions Liouvilliennes J.Carette (WMI, 1999): et les fonctions spéciales ? Définies par des équations de la forme:

Solutions en termes de fonctions spéciales (suite) Chercher les arguments et indices d’une fonction spéciale solution de revient à résoudre : [BroLaf 2002]: calcul de toutes les solutions Implémentation en Maple + serveur Web de resolution

Factorisation vs. Décomposition Polynômes : f(x)=g(x)h(x) Sol(f)=Sol(g) U Sol(h) : factorisation : décomposition

Factorisation différentielle EDO Linéaires Factorisation Beke (1884) Schwarz (1989) ... Décomposition Singer (1996) Factorisation différentielle

Factorisation différences Equations aux différences linéaires ordinaires Factorisation [BroPet 1996] Décomposition (Bomboy 1999) Factorisation différences Solutions Liouvilliennes (2001)

Factorisation non linéaire Equations différentielles non-linéaires Décomposition Hubert (2000) Factorisation non linéaire

Forme résolvante La décomposition d’un système différentiel non-linéaire produit soit: Dans le cas ordinaire: Où p=0 est une EDO scalaire [CluHub 2002]

Exemple: Lotka-Volterra

MathML 2.0 « Le format natif des mathématiques sur le Web » • Pour tous documents hypertextes et livres électroniques contenant des formules mathématiques • La version 2.0: février 2001 - intègre/prend en compte les nouvelles technologies Web - mécanisme d'extension sémantique clair (OpenMath) • Standard adopté par: - Mozilla (en standard) & Internet Explorer (plug-in) - Maple & Mathematica - USPTO, Airbus, Springer, initiative Open e-book … http://www.w3.org/Math/

Logiciels

Logiciels distribués Bibliothèque diffalg: Bibliothèques libaldor Serveurs Bernina & Shasta Décomposition des EDO:EDP non linéaires Partie intégrante de Maple Appelé « silencieusement » par dsolve: Evolution première version F. Boulier Bibliothèque standard du langage Aldor Bibliothèque libre de calcul formel (FreeBSD) Distribution standard du compilateur Aldor Collaboration Café/ETH/LIFL & libalgebra Extension Aldor de LibAlgebra Intègre les algorithmes de Café (linéaires) Disponible par ftp (Café) Serveurs interactifs sur Sumit Interfaces Maple et MuPAD Disponible Médicis et Café

Objectifs 2002-2005

Algorithmes de décomposition des systèmes d’EDP linéaires

+ Tsai & al (97-2002) (holonome) Factorisation Li/Schwarz/Tsarev (2002) + Tsai & al (97-2002) (holonome) Décomposition Min Wu & CAFE (2005) EDP Linéaires Factorisation EDP

Applications à l’automatique

Systèmes de contrôle 1) Systèmes de contrôle linéaires 1-D: • Systèmes de Kalman • Systèmes polynomiaux 2) Systèmes de contrôle linéaires 2-D: Retard 3) Systèmes multidimensionnels linéaires (EDP sous-détermineés): Élasticité, électromagnétisme, hydrodynamique …

Analyse algébrique pour l’automatique Un système de contrôle linéaire est défini par une matrice à coefficients dans un anneau A d’opérateurs: EDP Utilisation de la théorie des modules pour l'analyse et la synthèse des systèmes (Kalman 1965,…): Propriétés structurelles du système Algorithmes Propriétés algébriques du module Boite à outils pour systèmes multidimensionels (Mgfun, Algo)

Platitude des systèmes non-linéaires Un système de contrôle est plat si ses trajectoires peuvent être paramétrisées à l'aide de certaines fonctions des éléments du système (1995) [Fliess-Lévine-Martin-Rouchon … Pomet (MIAOU)] Exemple: Les trajectoires du système (1) sont paramétrées par

Platitude (suite) Un système plat est équivalent à un système linéaire contrôlable (linéarisation par feedback). Applications: suivi de trajectoire, stabilisation,… Problème: Pas de test systématique de platitude connu Etude algorithmique de la platitude et du problème de Monge (généralisation aux EDP), Collaboration CAFE-MIAOU

Décomposition des systèmes symétriques

Factorisation par les symétries de Lie [G. Metivier, IRMAR Rennes] Groupe de symétrie: Ensemble générateur des invariants différentiels Dérivations invariantes Section :

Factorisation par les symétries de Lie (suite) Règles de commutation Syzygies: Système réécrit en terme des invariants

Services Web mathématiques

Services Web mathématiques Développer des outils logiciels pour rendre accessibles les logiciels développés dans le projet sous forme de services Web Service Web Logiciel Café Application courtier Autre service Web Butineur (netscape..)

Exemple prototype: outils pour l’étude de systèmes hamiltoniens Hamiltonien H(p,q,m) dépendant de paramètres. Génériquement: non intégrable But: « assistants de calcul » pour éliminer le plus possible de valeurs des paramètres pour lesquelles le système n’est pas intégrable Outils algorithmiques: Linéarisation, théorie de Galois différentielle,… Principe du serveur: rendre ces outils efficaces et indolores

Services Web: architecture Définition d’un courtier Définition d’un service Web mathématique - Spécification des opérations - Caractéristiques du service • Encodage des objets mathématiques: OpenMath , MathML • Protocoles d’échange: soap , wsdl Déjà fait En cours A faire [projet MONET]