Quelques excursions en enseignement des mathématiques : et si on s’éloignait un peu des sentiers battus ? Hassane Squalli Université de Sherbrooke (Qc, Canada) Faculté d’éducation Département de Pédagogie 23 avril 2013 Centre régional des métiers d’éducation et de formation Rabat-Maroc

Plan Station 1: vision des mathématiques et conséquences pour l’enseignement et l’apprentissage Station 2: la Mathémagie Station 3 : l’histoire Station 4 : le raisonnement mathématique Station 5 : quelques démarches d’enseignement des mathématiques

Prenez une ficelle fermée. Quelle forme faut-il lui donner Blaise Pascal (1623 - 1662), dans ses pensées : « Trop de vérité nous étonne ; j’en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte 4, reste zéro. » Lazare Carnot (1753 - 1823) mathématicien et ingénieur : « Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ?». Prenez une ficelle fermée. Quelle forme faut-il lui donner pour qu’elle entoure la plus grande surface? Théorème Isopérimétrique À périmètre fixé, le cercle est la figure géométrique fermée qui entoure la surface de plus grande aire. Dans une philosophie socio-constructiviste, le problème précède l’explication. Aussi, je vais commencer mon propos par vous poser deux problèmes mathématiques. Calculer: 0 – 4 = ?

Quelle est la morale des deux histoires? Tout être humain possède un génie mathématique. Aider l’élève à prendre conscience de son génie mathématique et de le fructifier. Voir l’élève non pas comme un automath mais comme un élève ayant un potentiel mathématique à développer. Les mathématiques sont une activité humaine. Les objets mathématiques sont des objets culturels. L’apprentissage des mathématiques est de nature sociale, culturelle et interactionnelle. Les objets culturels jouent le rôle d’amplificateurs cognitifs. La première morale à tirer, est que tout être humain est dotée d’un génie mathématique. Comme on peut être doué par un génie de la parole, de la marche, du rire , etc…. Ce génie mathématique est à la fois individuel est social. Il se déploie

Partageons une même vision des mathématiques On peut distinguer au moins deux visions des mathématiques Une vision statique des mathématiques: une science toute faite =: un ensemble déjà bien organisé de connaissances (une terminologie, des définitions, des règles et des théorèmes) Une vision dynamique des mathématiques: une science qui se fait : une activité humaine Cette activité consiste à mettre en évidence des régularités, étudier divers types de relations et de structures, faire des prévisions… etc. Elle permet de modéliser une partie du réel. Dans cette activité, on utilise une pensée mathématique, comme généraliser, abstraire, prouver, opérer sur l’inconnue, etc.

Quelques composantes essentielles de la pensée mathématique Résoudre des problèmes Définir des problèmes Vérifier, valider, prouver, démontrer Argumenter Généraliser, Abstraire Conjecturer Expérimenter Modéliser Exemplifier, ….

Conséquences pour l’enseignement/l’apprentissage Pour apprendre des mathématiques, l’élève doit faire des mathématiques : réaliser des activités mathématiques Les connaissances des élèves sont le produit de leurs activités L’enseignant provoque les activités des élèves en leur proposant des tâches mathématiques La qualité de l’activité des élèves dépend en partie de la qualité des tâches mathématiques proposées par l’enseignant Importance de proposer aux élèves des tâches mathématiques potentiellement riches en constructions mathématiques

Station 2 La Mathémagie Quelques exemples

16 20 26 19 17 21 22 23 24 31 18 27 28 29 30 25

8 27 10 25 31 13 29 15 24 11 26 9 28 14 30 12

4 21 6 15 12 13 23 7 29 5 22 14 28 20 30 31

2 19 6 14 30 31 7 15 18 3 22 23 26 27 10 11

1 29 5 19 9 11 25 15 17 7 21 23 13 27 3 31

Reconstruisez les 5 grilles des nombres de 1 à 31 Quelles seraient les grilles pour jouer avec les nombre de 1 à 63 ? Généralisez

Autres tours Tours 1 Tours 2 : date de naissance Tours 3: un tour de cartes Tours 4: un carré vraiment magique Tours 5 : Bande de Mobïus

Station 3 Le raisonnement mathématique

Importance du raisonnement en mathématiques Faire des mathématiques, c’est essentiellement raisonner, c’est-à-dire faire usage de sa raison pour former des idées, des jugements; pour argumenter, convaincre, prouver, réfuter. Conduire un raisonnement consiste à enchaîner des jugements pour aboutir à une conclusion. La mathématique utilise une grande variété de raisonnements fondées sur la raison et l’expérience (raisonnement déductif, inductif, par analogie, par récurrence, par l’absurde, par la contraposée, …). Dans ce sens, la mathématique est un mode de pensée.

Importance du raisonnement dans l’apprentissage des mathématiques Raisonner à l’aide de concepts et de processus mathématiques est une des trois compétences mathématiques dans le programme de formation de l’école québécoise. Pour apprendre les mathématiques, l’élève doit faire des mathématiques et donc raisonner, construire, argumenter, valider et communiquer des raisonnements mathématiques. Importance de voir l’élève, notamment celui en difficulté, non comme un automath, mais comme une personne qui raisonne et produit des raisonnements (parfois très originaux). Importance d’évaluer le raisonnement de l’élève et non seulement sa réponse Importance d’aider les élèves de développer un regard mathématique et d’exercer leur raison.

Il y a trois livres sur une étagère. Tu en retires deux Il y a trois livres sur une étagère. Tu en retires deux. Combien en as-tu? Toi et moi avons chacun 10$. Combien dois-je te donner pour que tu aies 1 dollars de plus que moi? Tu as trois bonbons. Tu en manges un chaque ½ heure. En combien de temps ne t’en restera-t-il plus? Il y a 30 corbeaux dans un champ. Le fermier en tue 4 à un coup de fusil. Combien en reste-t-il? Un billet de cinéma coûte 7$. Combien coûtent 10 billets? Une fleur se fane au bout de 7 jours. Au bout de combien de jours se faneront 10 fleurs?

Est-il possible de trouver deux hommes ou deux femmes à Rabat ayant exactement le même nombre de cheveux? Tentez une réponse raisonnée

Le principe des tiroirs de Dirichlet Si 11 chemises sont placés dans 10 tiroirs, il y a nécessairement au moins un tiroir qui contient au moins 2 chemises. Solution du problème du nombre de cheveux On sait que le nombre de cheveux d’une personne ne dépasse pas 400 000. À Montréal, il existe plus de 400 000 femmes. Selon le principe des tiroirs de Dirichlet, il y a au moins 2 femmes qui ont le même nombre de cheveux! (il y en a en fait des centaines)

Peut-on être sûr que 2 étudiant(e)s du BES aient le même jour d’anniversaire? Justifiez. N.B. On compte actuellement 497 personnes étudiants au BES Faites résonner votre raisonnement

Quels sont les nombres qui ont un nombre impair de diviseurs? Raisonner par induction Quels sont les nombres qui ont un nombre impair de diviseurs? Exemplification Cherchez une réponse # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 16 25 # diviseurs Conjecture: Ce sont les nombres carrés Raisonnement inductif Induction: «Opération mentale qui consiste à remonter des faits à la loi, de cas donnés le plus souvent singuliers ou spéciaux, à une proposition plus générale.» (Le Petit Robert)

Raisonner par déduction Tout en faisant des essais, on tente de trouver des raisons qui nous conduiraient à la loi générale. Exemple: - il faut exclure les nombres premiers (ils ont tous 2 diviseurs) - les nombres de la forme p2 où p est premier ont 3 diviseurs : 1, p et p2 . - Pourquoi 9 a un nombre impair de diviseurs? 1 et 9 sont des diviseurs triviaux (1 et n toujours des diviseurs de n). Il reste le 3 seul. Pourquoi n’y a-t-il pas un autre diviseur associé à 3? Parce que 3 fois 3 vaut 9. Ok le 3 compte deux fois. Les diviseurs d’un nombre n sont symétriquement placés par rapport à n. Quand n est entier, c-à-d n carré parfait, il est un diviseur de n; sinon il ne l’est pas. Donc, seuls les carrées parfaits ont un nombre impair de diviseurs. Raisonnement déductif Déduction: Procédé de pensée par lequel on conclut d'une ou de plusieurs propositions données à une proposition qui en résulte, en vertu de règles logiques. (Le Petit Robert)

. . . Raisonner à l’aide d’une visualisation 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 1+3+5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + … + 99 = ? Réponse: 502 = 2500

Raisonner à l’aide d’une visualisation Chaîne de carrés d’allumettes On fabrique des chaînes de carrés à l’aide d’allumettes. Trouvez la règle qui montre comment le nombre d’allumettes dépend du nombre de carrés +3 Faites-le maintenant +2 fois 3 +3 fois 3 4 +(4 –1) x 3  4 + (n – 1) x 3

Raisonner en s’appuyant sur une régularité numérique Alors jeune enfant fréquentant une classe de la petite école, Gauss (célèbre mathématicien suisse né en 1889) devait, en guise de punition, calculer la fastidieuse somme 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 Le maître de Gauss fût surpris quand ce dernier revint quelques minutes plus tard annonçant, à raison, que la somme vaut: 5050 Comment a-t-il fait? Cherchez maintenant Méthode de Gauss : La somme cherchée est donc 50 x 101 = 5050

Importance de dégager l’idée principale d’un raisonnement Nombres triangulaires Voici les 3 premiers nombres triangulaires. De combien de points est formé le 5e? Trouver une règle donnant le nombre de points de n’importe quel nombre triangulaire. Justifiez votre prédiction. . .. … Importance de dégager l’idée principale d’un raisonnement Permet de raisonner par analogie L’idée de Gauss consiste à doubler la somme en inversant les termes Doubler la somme Inverser les termes . .. … …. ….. ….. …. … .. . Le nombre de points = (5 x 6)/2

Le contexte comme support au raisonnement Le problème des grains de blé sur l’échiquier Un échiquier (un caré formée de 8x8=64 cases) contient un grain de blé dans la première case, 2 dans la deuxième, 4 dans la troisième, et ainsi de suite. Chaque case contient le double de grains de blé de la case précédente. Quel est le nombre total de grains de blé posés sur l’échiquier? Cherchez maintenant

Le contexte comme support au raisonnement Le problème des grains de blé sur l’échiquier Le nombre total de grains de blé est donné par la somme: 1+ 2 + 22 + 23 + 24 + … + 262 + 263 Pour résoudre ce problème, inventons un autre problème «équivalent» utilisant un contexte dans lequel on peut raisonner autrement. Tournoi de tennis Dans un tournoi de tennis, il y a 264 joueurs. Le tournoi se joue selon le principe de l’élimination directe. Combien de matchs incluant la finale ont été joués durant ce tournoi? Cherchez maintenant

Deuxième raisonnement Premier raisonnement Au premier tour, il y a eu autant de matchs que la moitié du nombre des joueurs, c’est-à-dire 264 /2 = 264-1= 263 matchs, au deuxième la moitié de ce nombre soit 262 et ainsi de suite. Le nombre de matchs durant ce tournoi incluant la final est donc : 1+ 2 + 22 + 23 + 24 + … + 262 + 263 Deuxième raisonnement Puisque à chaque match un et un seul joueur se trouve éliminé et qu’en tout il y a 264 – 1 joueurs éliminés, le nombre de matchs joués durant le tournoi incluant la finale est 264 – 1. D’où: 1+ 2 + 22 + 23 + 24 + … + 262 + 263 = 264 – 1

Mangez votre pizza maintenant Une histoire de pizza, ou comment manger une pizza de manière mathématique Calculer Commandez une pizza chez pizza-math! Mangez en la moitié; puis la moitié de ce qui reste, encore la moitié de ce qui reste; faîtes la même chose encore trois autres fois. Quelle part de pizza reste-t-il? Quelle part de pizza vous aurez mangé en tout? Mangez votre pizza maintenant Bonne appétit! Réponse:

En mangeant une autre pizza, calculez Réponse après le clic De quelle manière mangeriez-vous une pizza pour calculer la somme: Réponse : en invitant une amie à la partager équitablement avec vous; la pizza est coupée en trois, chacun prend un tiers; le reste est coupé en trois, chacun mange un tiers du reste et ainsi de suite. En tout, chacun aura mangé la moitié de la pizza moins la moitié de ce qui reste. La somme cherchée vaut donc

Station 3 L’histoire des mathématiques

1. Le bâton de Gerbert Vous êtes archéologue. Lors d’une fouille sur un site, vous découvrez un bâton droit d’une longueur égale approximativement à votre taille. À côté, un manuscrit datant du 10e siècle à peu près, vous arrivez à décrypter ce qui y est écrit : Bâton de Gerbert servant à mesurer la hauteur d’édifices. Vous êtes intrigué(e), vous vous demandez comment Gerbert opérait pour mesurer la hauteur d’un édifice avec ce bâton uniquement!

2. La hauteur des pyramides On raconte que Thalès pouvait mesurer la hauteur d’une pyramide par un moyen ingénieux exploitant l’ombre portée sur le sol de la pyramide. Pouvez-vous découvrir la méthode de Thalès?

Station 4: Quelques démarches d’enseignement

Qu’est-ce qui caractérise la démarche de recherche dans l’activité mathématique? Très schématiquement, les mathématiques, à tous les niveaux, consistent en 45 % d’observation, 45 % de démarche expérimentale et 10 % de démonstration. (Martin Andler, mathématicien français) Deux types de démarches se distinguent La démarche expérimentale La démarche de modélisation

Qu’est-ce qu’une expérience en mathématiques ? On peut distinguer plusieurs types d'expériences en mathématiques. Voici quelques exemples. Arithmétique : calculer numériquement plusieurs chiffres significatifs après la virgule de l’écriture décimale d’une fraction 1/7 (disons) (expérience). Observer la suite des chiffres et chercher si des motifs apparaissent ou si, au contraire, le développement semble «au hasard». (1/7 = 0.14285714285714…. . ) (observer l’expérience) Avec un regard mathématique suffisamment entraîné, l’élève peut apercevoir la régularité et formuler la conjecture que le motif 142857 se répète indéfiniment. (Formuler une conjecture) L’élève peut tenter de prouver la conjecture. Il peut fonder sa conviction sur le fait que dans l’exécution de l’algorithme de la division de 1 par 7, après avoir obtenu les 6 restes différents possibles, le 7e est égal au premier (1), le 8e va donc être le même que le second, le 9e est identique au troisième et ainsi de suite. (prouver la conjecture)

Qu’est-ce qu’une expérience en mathématiques ? Géométrie : Dessiner des figures. Par exemple dessiner un triangle quelconque. Tracer soigneusement les hauteurs issues de chacun des sommets. Constater qu'elles se coupent en un même point. Puis le démontrer (c'est un théorème ancien). Probabilité fréquentielle : Réaliser une expérience aléatoire. Par exemple, lancer deux dés et observer le total des points sur les deux faces du dessus. N.B.: La situation peut-être extra- mathématique, par exemple les diagonales d’un ananas, la relation entre la longueur de la hauteur d’un objet et de son ombre projetée en fonction de l’heure de la journée ; etc.

La démarche expérimentale en mathématiques Elle comporte plusieurs étapes, qui se répètent éventuellement : (Perrin, 2007) Expérience Observation de l’expérience Formulation de conjectures Tentative de preuve Contre-expérience, production éventuelle de contre-exemples Formulation de nouvelles conjectures Nouvelles tentative de preuve, etc.

Quelques caractéristiques de la démarche expérimentale en mathématiques Les objets sur lesquels peut porter une expérience ne sont pas nécessairement matériels, ils peuvent être purement mathématiques. L’expérience n’est pas source de connaissances (vérités mathématiques), mais de conjectures. L’expérimentation en mathématiques n’a de sens que par ses articulations avec la formulation et la validation (par la preuve). Le va-et-vient entre théorie et expérience est précisément ce qui caractérise la démarche expérimentale en mathématiques. Que la démarche de preuve aboutisse ou non, elle est propice à la construction de connaissances.

Quelques implications pour l’enseignement Faire vivre les élèves des expériences propices à la formulation de conjectures (avoir l’expérience du triangle, du cercle, des nombres décimaux, …) Les faire entrer dans des démarches de tentative de preuve Puiser dans les situations mathématiques et en sciences et technologies Développer «l’œil mathématique» des élèves … et leur «langue mathématique» 

L’enseignement par problèmes

Distinctions entre problème et exercice Situation inconnue Méthode inconnue Création, procédure à inventer Acquisition d’un savoir (concept ou méthode, démarche) Ouverture, autonomisation Situation connue Méthode déjà acquise Application, reproduction, exécution mécanique Consolidation d’un savoir, entraînement Conditionnement

Caractéristiques du problème Un problème ne doit être ni trop facile, ni trop difficile, il doit se situer dans la zone proximale de développement de l’élève. Le rôle de l’enseignante ou de l’enseignant est primordial. Le problème peut être formulé par les élèves ou par l’enseignante ou l’enseignant. Dans ce dernier cas, l’enseignante ou l’enseignant doit faire émerger le problème chez les élèves. L’enseignante ou l’enseignant doit déléguer le problème à l’élève. Un problème doit poser problème à l’élève. Un problème peut être un problème pour un élève et non pour un autre. Un problème cesse d’être un problème pour l’élève quand celui-ci en a trouvé une solution acceptable, ou quand il ne le perçoit plus comme un problème (par exemple, après que l’enseignant ou un autre élève lui a montré la procédure à suivre).

Les fonctions du problème Les problèmes peuvent avoir plusieurs formes et plusieurs fonctions : construire de nouvelles connaissances (situations-problèmes) et/ou réinvestir des connaissances construites (problèmes d’applications) développer des capacités de recherche (développer une démarche scientifique).

Les situations-problèmes Dans la littérature scientifique, les situations-problèmes sont des problèmes particuliers: pour surmonter la difficulté qu’elles renferment, l’élève doit construire le nouveau savoir conceptuel (contenus, démarche), préalablement identifiées par l’enseignant.

Caractéristiques d’un enseignement par problèmes L’enseignement par problèmes s’inscrit dans une pédagogie du problème à distinguer de la pédagogie de la réponse. Pédagogie du problème Pédagogie de la réponse À partir de problèmes À partir de démonstrations Vise la compréhension pour faciliter ensuite la performance Vise d’abord la performance pour faciliter ensuite la compréhension Guide l’élève vers une démarche souple de résolution Entraîne l’élève à respecter des séquences de consignes et à les appliquer

Pédagogie du problème Pédagogie de la réponse La validation des solutions est d’abord sous la responsabilité des élèves Valide les solutions des élèves Insiste sur le pourquoi Insiste sur le comment Considère que le premier rôle de l’enseignant est d’amener les élèves à s’engager cognitivement dans la résolution de bons problèmes. L’enseignant ne connaît pas nécessairement toutes les réponses mais il est capable de les vérifier Considère que le premier rôle de l’enseignant est de maîtriser les notions fondamentales et d’être capable de les présenter et démontrer clairement en graduant les difficultés

Pédagogie du problème Pédagogie de la réponse Débute un apprentissage nouveau par des problèmes pratiques desquels sont tirées les techniques et symboles utilisés Assure d’abord la maîtrise des techniques et les utilise ensuite lors de problèmes d’application Considère que la résolution de problèmes est le point de départ de la construction des notions Considère la résolution de problèmes consiste en l’application de formules, définitions et techniques déjà apprises.

La démarche de modélisation Cette démarche comporte trois grands moments: Plonger du réel dans le monde des mathématiques; Nager dans le monde des mathématiques; Émerger du monde des mathématiques pour revenir dans le réel en étant porteur d’une prévision. (Synge, 1979, p. 331).

Exemples de situations de modélisation Extrait des travaux du groupe 6 : mathematical modelling and sciences du Forum canadien sur l’enseignement des mathématiques Vancouver 2009 http://cms.math.ca/Reunions/FCEM2009/reports/wg6- report.pdf

S1: Balles de caoutchouc Une usine produit des balles de caoutchouc de différents diamètres et compositions. On cherche à trouver un indicateur mathématique pour caractériser la qualité de rebondissement de ces balles. Mathematical Modelling and Science CMEF 2009

S2: verre à café On cherche à faire un verre à café en carton qui contiendrait 250 ml. R r Donnez les dimensions d’un tel verre et la surface de carton nécessaire à sa fabrication Mathematical Modelling and Science CMEF 2009

S3: Frettes d’une guitare Pourquoi les frettes d’une guitare sont-elles plus rapprochées lorsqu’on se dirige vers la caisse de résonance ? n Note Ln (cm) mi 65,5 1 fa 61,9 2 fa # 58,4 3 sol 55,1 4 sol # 52,1 5 la 49,2 6 la # 46,4 7 si 43,8 8 do 41,4 9 do # 39,1 10 ré 36,9 11 ré # 34,8 12 32,8 L0 L1 L2 L3 L4 Mathematical Modelling and Science CMEF 2009

S4: Prédictions des marées Voici une prédiction des marées (heures et hauteurs des pleines et basses mers) de Bathurst au Nouveau Brunswick, pour le début de mai 2009 (www.marees.gc.ca ) Comment pourrait-on utiliser ces « données » pour prédire les marées de la semaine suivante ? Mathematical Modelling and Science CMEF 2009

nombre de personnes (en milliers) S5: Cancer du sein Canada Hommes Femmes Groupes d'âge nombre de personnes (en milliers) Population totale 32 976,0 16 332,3 16 643,7 Moins de 5 ans 1 740,2 890,7 849,5 5 à 9 ans 1 812,4 927,2 885,2 10 à 14 ans 2 060,5 1 057,1 1 003,4 15 à 19 ans 2 197,7 1 126,2 1 071,6 20 à 24 ans 2 271,6 1 161,8 1 109,9 25 à 29 ans 2 273,3 1 148,5 1 124,7 30 à 34 ans 2 242,0 1 129,6 1 112,5 35 à 39 ans 2 354,6 1 185,1 1 169,5 40 à 44 ans 2 640,1 1 326,4 1 313,7 45 à 49 ans 2 711,6 1 356,4 1 355,2 50 à 54 ans 2 441,3 1 209,6 1 231,7 55 à 59 ans 2 108,8 1 040,5 1 068,3 60 à 64 ans 1 698,6 834,9 863,7 65 à 69 ans 1 274,6 614,5 660,1 70 à 74 ans 1 047,9 492,2 555,7 75 à 79 ans 894,7 398,6 496,1 80 à 84 ans 650,8 257,6 393,2 85 à 89 ans 369,3 125,5 243,7 90 ans et plus 186,2 49,9 136,3 Quelle est la probabilité pour une femme canadienne de développer un cancer du sein au cours de sa vie ? Groupe d’âge Nombre de nouveaux cas au Canada selon l'âge Nombre de décès au Canada 0 à 19 ans 5 - 20 à 29 ans 75 30 à 39 ans 840 100 40 à 49 ans 3 500 440 50 à 59 ans 6 100 940 60 à 69 ans 5 500 1 050 70 à 79 ans 3 700 1 100 80 ans et + 2 600 1 700 http://www.cancer.ca/ Statistiques canadiennes sur le cancer 2008 Statistique Canada - http://www40.statcan.ca/l02/cst01/demo10a_f.htm CMEF 2009 Mathematical Modelling and Science

MERCI! HASSANE.SQUALLI@USHERBROOKE.CA