RESOLUTION DE PROBLEMES ET calcul au cycle 2 Octobre 2011 Roland Charnay

L’enseignement du calcul, une question complexe Quart d’heure de calcul mental Soustraction posée ou non au CE1 Souvent ramenée à celle de la maîtrise du calcul mental et des techniques opératoires (cf. débats récents) Mais qui englobe d’autres aspects… Octobre 2011 Roland Charnay

Maîtriser une opération Problèmes Procédures, techniques Résultats à mémoriser, automatiser à savoir élaborer Langage, évocation analogique verbal symbolique Justifications Propriétés Octobre 2011 Roland Charnay

Exemple du triple code : petits nombres cinq 5 2011 - Roland Charnay

Exemple du triple code : numération décimale cent soixante-treize 173 2011 - Roland Charnay

Exemple du triple code multiplication Trois fois quatre Quatre multiplié par trois Produit de trois par quatre 3 x 4 4 x 3 2011 - Roland Charnay

Qu'est-ce que savoir calculer ? traduction d’une situation en termes mathématiques Interprétation des résultats Etre capable de rendre des situations calculables de façon automatisée ou raisonnée pour aboutir à un résultat exact ou approché Etre capable de traiter des calculs, soi-même Calculatrice Tableur au collège Etre capable d'organiser un calcul pour le rendre exécutable par une machine Octobre 2011 Roland Charnay

Plan Les problèmes arithmétiques Les moyens de calcul Octobre 2011 Roland Charnay

Les problèmes arithmétiques Difficultés Modalités de résolution Pistes de travail Octobre 2011 Roland Charnay

Exemple au CE1 (d’après Cap Maths) Combien y a-t-il d’enfants sur le bateau ? Octobre 2011 Roland Charnay

Ce qui peut faire difficulté Prendre les informations Lire Comprendre, interpréter Se construire une représentation mentale de la situation Raisonner Faire appel au sens des concepts Imaginer une résolution possible Gérer des calculs, une schématisation… La mettre en œuvre, la mener à son terme Trouver la réponse à partir des traitements Interpréter les traitements réalisés Selon une forme adaptée ou demandée Communiquer la réponse Octobre 2011 Roland Charnay

Résoudre un problème Résoudre un problème Mais aussi… l’idée que les élèves se font de l’activité « Résoudre un problème » C’est trouver la bonne opération Résoudre un problème C’est utiliser une opération étudiée récemment Résoudre un problème C’est chercher des mots « qui aident » dans l’énoncé C’est inventer, explorer… Octobre 2011 Roland Charnay

Schéma d’analyse sommaire des sources de difficulté Connaissances et compétences en lecture (ordre des informations, place de la question) sur le contexte sur les concepts mathématiques (sens, expertise pour certains problèmes) raisonnement en calcul Connaissances sur ce qui est attendu sur ce qui est permis sur ce qui marche souvent sur "l'accueil" des erreurs Roland Charnay - 2011

A la bonne place (éva début CE2) Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient. 367 582 309 300 400 500 600 300 309 400 367 500 582 600 Roland Charnay - 2011

Quelles résolutions possibles (le bateau)                                                             A                     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20                21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 B 25 + 5 = 30 + 30 = 60 5 + 30 = 35 C 2 5 + . . 6 0 D 60 – 25 = 35 E Octobre 2011 Roland Charnay

Différentes modalités de résolution Résolution dans la réalité Résolution par simulation de la réalité, plus ou moins schématisée (par des objets, par un dessin, par des objets « symboliques » : traits, croix…), puis recours au comptage Résolution par une série de calculs proches de « l’action » Résolution utilisant une opération connue (ou plusieurs) Octobre 2011 Roland Charnay

Quelle représentation de la tâche ? Trouver la bonne opération Statut du brouillon Acceptation de modalités différentes de résolution Exploitation de la diversité des modalités Elaborer un moyen de répondre à la question Octobre 2011 Roland Charnay

Aider à la représentation de la situation L’énoncé écrit n’est qu’une façon de présenter un problème L’image est en est une autre La simulation une autre encore Le problème posé à partir d’une expérience doit prévaloir au cycle 2 Au cycle 2, l’abus de travail sur fiches nuit gravement aux apprentissages mathématiques Octobre 2011 Roland Charnay

Schéma pour des situations d’apprentissage Réel Favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures Octobre 2011 Roland Charnay

Difficultés pour identifier les opérations pertinentes L’opération en jeu n’est pas toujours un bon critère Lucie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 8 billes de plus que le matin. Pourtant, la journée avait mal commencé : à midi, elle avait perdu 2 billes. Que s'est-il passé l'après-midi ? 21 % de réponses exactes (entrée 6e) Octobre 2011 Roland Charnay

Difficultés pour identifier les opérations pertinentes La concordance avec le sens « primitif » du concept intervient fortement La soustraction pour « le bateau » est un cas de discordance D’où la nécessité d’apprendre que la résolution « par soustraction » est équivalente à la résolution « par complément » La taille des nombres intervient également Soustraire 28 de 31 est plus difficile que « Combien ajouter à 28 pour avoir 31 » ? Octobre 2011 Roland Charnay

Exemple : 100 passagers, 5 adultes Aider à progresser… Prise de conscience au cours de la mise en commun Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes Choix des variables Exemple : 100 passagers, 5 adultes Expérience mettant en évidence l’équivalence de 2 « résolutions » (ici validation expérimentale) Octobre 2011 Roland Charnay

Quels problèmes au cycle 2 ? La plupart des problèmes qui seront « un jour » résolus par addition, soustraction, multiplication ou division peuvent être proposés tout au long du cycle 2 Ils sont d’abord résolus par des modes de résolution personnels Puis, par des modes de résolution experts, lorsque ceux-ci sont enseignés au cycle 2 ou au cycle 3 Octobre 2011 Roland Charnay

Les moyens de calcul Différents moyens Etat des lieux Pistes de travail Octobre 2011 Roland Charnay

Les moyens de calcul Résultat exact Résultat approché CALCUL AUTOMATISE CALCUL REFLECHI OU RAISONNE Résultat exact Résultat approché Calcul mental Résultats Procédures Procédures construites choix des arrondis Calcul écrit Techniques opératoires Calcul instrumenté Calculs usuels Ex : passer de 23 à 100 avec x2 et +1 Octobre 2011 Roland Charnay

Quelques résultats à l’entrée au CE2 24 + 6 83 % 36 + 11 79 % 32 + 9 77 % 10 x 9 68 % 45 + 15 64 % 21 x 2 55 % 48 - 11 52 % 51 - 30 49 % 43 - 5 Octobre 2011 Roland Charnay

Quelques repères pour les calculs additifs et soustractifs (calcul mental) Octobre 2011 Roland Charnay

Trois catégories de procédures 8 + 4 Appui sur l’aspect cardinal Quantités réelles ou évoquées (doigts, jetons, dessins…) Appui sur l’aspect ordinal File numérique : avancer de 4 au-delà de 8 Ou avancer de 2, puis de 2 Appui sur le calcul (connaissances numériques) 8 et 2 et encore 2 8 plus 4 mémorisé 2011 - Roland Charnay

Des repères mentaux et figuratifs pour les nombres Le subitizing (jusqu’à 3 ou 4) 2011 - Roland Charnay

1 2 3 4 5 6 7 Les relations avec 5 et 10 Doigts Avec la constellation Passage à 7, à 3… Idem avec 10 (comme 2 fois 5) Passage de 7 à 10 Passage de 10 à 12 File numérique 1 2 3 4 5 6 7 2011 - Roland Charnay

Les relations avec les doubles 2011 - Roland Charnay

Comment aider les élèves à mémoriser les tables ? 2011 - Roland Charnay

Qu’est-ce qu’avoir mémorisé ? Exemple avec 6 +7 6 + 7 et 7 + 6 sont égaux à 13 Pour aller de 6 à 13, il y a 7 Pour aller de 7 à 13, il y a 6 13 – 6 = 7 et 13 – 7 = 6 13 se décompose, entre autres, en 6 + 7 et en 7 + 6 2011 - Roland Charnay

Addition et multiplication Des conditions différentes Mémorisation complète Mémorisation partielle et reconstruction instantanée Multiplication 2011 - Roland Charnay

Des points de repère pour la mémorisation Pour le domaine additif Aperçu pour le domaine muktiplicatif 2011 - Roland Charnay

Comprendre aide à mémoriser (référence, contrôle) Addition sous le double aspect Cardinal : réunion ou augmentation de quantités Ordinal : avancer sur une piste numérotée Multiplication sous un triple aspect Itération de quantités Organisation « rectangulaire » de quantités Addition itérée (fois) Possibilité de construire ou de retrouver des résultats inconnus ou oubliés 2011 - Roland Charnay

Répertorier et organiser aide à les mémoriser Rassembler des résultats en vrac (affiche) Chercher à les organiser Compléter avec ceux qui manquent 2011 - Roland Charnay

Organisation sous forme de listes (CP, CE1) 5 6 7 8 … 0 + 5 1 + 4 2 + 3 3 + 2 4 + 1 5 + 0 0 + 6 1 + 5 2 + 4 3 + 3 4 + 2 5 + 1 6 + 0 2011 - Roland Charnay

Organisation sous forme de tableau(à partir du CE2) 3 4 5 6 8 10 9 12 15 16 20 25 2011 - Roland Charnay

Points d’appui pour la mémorisation Commutativité S’appuyer sur des régularités ou des propriétés Ajouter ou soustraire 1 : dire le suivant ou le précédent De 3 en 3 dans la table de 3… Alternance de 0 et de 5 dans la table de 5 S’appuyer sur des résultats connus Doubles, compléments à 10… Voisins 2011 - Roland Charnay

Etapes de la mémorisation (par zones numériques pour l’addition) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2011 - Roland Charnay

Etapes de la mémorisation (par tables pour la multiplication) Tables de 2 et de 5 Tables de 4 et de 8 (doubles à partir de celle de 2) Tables de 3 et de 6 Table de 9 avec ses particularités 4 x 9 = 36 3 + 6 = 9 Table de 7 (ne reste que 7 x 7 !) - 1 2011 - Roland Charnay

Autres conditions S’entraîner, répéter (jeux de calcul…) Savoir ce qu’on sait et ce qui reste à apprendre Lien entre conditions de mémorisation et possibilités de « rappel » éviter la récitation des tables Interroger sur sommes, différences, compléments, décompositions 2011 - Roland Charnay

Le cas du calcul réfléchi 2011 - Roland Charnay

Le calcul réfléchi se caractérise par… La diversité des procédures Exemple de 32 + 9  2 + 9 = 11 30 + 11 = 41  32 + 8 = 40 40 + 1 41  31 + 9 = 40 40 + 1 = 41  32 + 10 = 42 42 – 1 = 41  31 + 1 + 9 = 31 + 10 = 41 Etc. Octobre 2011 Roland Charnay

Le calcul réfléchi se caractérise par… La recherche d’une stratégie Réfléchir un calcul, c'est raisonner pour le remplacer par un calcul souvent plus long, mais plus simple, ce qui nécessite l'appui sur des connaissances. Octobre 2011 Roland Charnay

Exemple : calcul d'une différence 100 – 3 Remplacé par "reculer de 3" (sens primitif de la soustraction) Utilisation de 10 – 3 (implicite : 90 + 10 – 3) 100 – 97 Remplacé par 97 pour aller à 100 (Equivalence complément – soustraction) Octobre 2011 Roland Charnay

Le calcul réfléchi se caractérise par… Le fait qu'aucune procédure n'est à privilégier : le calcul réfléchi est un calcul personnel L'importance de l'explicitation et de l'échange Octobre 2011 Roland Charnay

L'apprentissage du calcul multiplicatif Différents langages Le répertoire Octobre 2011 Roland Charnay

Au départ : même démarche Des problèmes vers le calcul Problème des tours (Cap maths, CE1)   Combien de tours, toutes pareilles, peut-on construire avec ces 30 cubes ? Trouvez toutes les possibilités. Il faut utiliser chaque fois tous les cubes. Problème présenté oralement, les cubes sont présents dans une boîte, mais non disponibles. .. Octobre 2011 Roland Charnay

Des procédures variées Recensement des réponses 3 tours de 10 cubes 5 tours de 6 cubes 10 tours de 3 cubes 15 tours de 2 cubes…   Expression des procédures et contrôle des réponses Dessin Comptage de n en n Ecriture additive Expression avec « fois » Octobre 2011 Roland Charnay

L'écriture 3 x 10 est rattachée… À des réalisations "concrètes" (tours) À une expression orale significative avec le mot "fois", déjà installée Au comptage de 10 en 10 ou de 3 en 3 A l'addition répétée Octobre 2011 Roland Charnay