Septième étape : travailler avec des graphes probabilistes

Etude d’une situation (à partir de l’exercice 36 page 244 du Bréal) On dispose d’une urne rouge contenant une boule rouge et quatre boules noires. On dispose aussi d’une urne noire contenant trois boules rouges et une boule noire. On effectue une suite de tirage d’une boule selon les règles suivantes : 1) le premier tirage a lieu dans l’une des deux urnes choisies au hasard ; 2) après chaque tirage dans une urne, la boule est remise dans la même urne ; 3) après chaque tirage, on tire dans l’urne qui a la couleur de la boule tirée. Modéliser cette situation. Avoir fait les probas et les suites. Les élèves n’arrivent pas la tête vide mais connaissent notamment les arbres. Urne rouge Urne noire

Première idée : l’arbre de probabilité Choix de l’urne Premier tirage Deuxième tirage … 1/5 br br UR 1/5 bn 4/5 UR 3/4 br 4/5 bn UN 1/2 Urne rouge bn 1/4 1/2 1/5 br br UR 3/4 bn 4/5 UN 3/4 br 1/4 bn UN Urne noire bn 1/4

ne tirage (n + 1)e tirage 1/5 br br UR pn bn 4/5 3/4 br qn bn UN bn 1/4 (probabilités conditionnelles) (probabilités simples) On en déduit que :

Si la suite (pn) a une limite p, elle vérifie nécessairement : Ce qui donne p = 15/31 (et donc q = 16/31). Travaillons donc avec pn – 15/31. La relation de récurrence donne : La suite (pn – 15/31) est géométrique de raison – 11/20 : elle converge vers 0, et ce quel que soit le choix de p0.

Deuxième représentation : le graphe probabiliste Deux états possibles : premier état, boule rouge ; deuxième état, boule noire. Quatre probabilités conditionnelles : probabilité d’avoir une boule rouge sachant qu’au tirage précédent, on a eu une boule noire, etc. Un graphe pondéré (le graphe probabiliste) qui visualise cette situation 4/5 1/4 1/5 3/4 La matrice de transition du graphe probabiliste : M = se traduit par :

Problème : comment calculer M n ? À l’aide de la matrice, on peut calculer simplement les probabilités pn et qn et voir comment elles évoluent. Vers quoi cela semble converger… avec une calculatrice. Problème : comment calculer M n ? Le résultat général d’une situation à deux états est au programme (deux démonstrations dans les manuels : par les suites, comme dans notre exemple, ou par le calcul explicite de Mn par la formule du binôme, comme dans le document d’accompagnement.)

La visualisation de la limite peut être faite avec une calculatrice : dans notre exemple, Mn semble avoir pour limite : On démontre que c’est bien la limite en utilisant une des deux méthodes précédemment exposées.

L’état limite est indépendant des probabilités des états initiaux…

Quelques définitions : Matrice stochastique : matrice dont les coefficients sont positifs et dont la somme sur chaque ligne vaut 1. C’est le cas par exemple de la matrice de transition d’un graphe probabiliste. Chaîne de Markov : on les rencontre quand on a affaire à un système qui peut prendre un nombre fini d’états et qui évolue par étapes successives d’un état à un autre. La probabilité qu’à une étape donnée le système soit dans un état ne dépend que l’état précédent. Plus précisément, une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xn), chacune prenant pour valeurs les différents états possibles. Graphe probabiliste : graphe orienté à k sommets, pondéré par des nombres positifs tels que la somme des poids des arêtes sortant de chaque sommet vaut 1. Chacun des poids peut s’interpréter comme une probabilité conditionnelle. A illustrer avec l’exemple des urnes…

Andrei A. MARKOV 1856-1922

Résultat général On considère un graphe probabiliste à k états (numérotés de 1 à k). On appelle M la matrice de transition de ce graphe (mij est la probabilité de passer de l’état i à l’état j) et on suppose que les mij sont tous strictement positifs. On note Pn le vecteur à une ligne et k colonnes donnant les probabilités des k états à l’étape n. 1) La suite (Pn) admet une limite P, indépendamment du vecteur initial P0. 2) La suite (Mn) converge vers une matrice M, dont les k lignes sont identiques, la somme des termes d’une ligne valant 1. 3) P M = P. 4) P M = P. (On dit que P est un état stable de la matrice M)

Remarques sur les puissances de matrice… L’habitude pour calculer la puissance n-ième d’une matrice M (stochastique ou non) est de la réduire en calculant ses valeurs propres c’est-à-dire en cherchant les nombres réels ou complexes tels que : MV = V Si la matrice M est diagonalisable, on peut écrire : donc Et la limite de Dn, et de Mn, est facile à obtenir. Que sait-on des valeurs propres d’une matrice stochastique ? 1 est toujours valeur propre, associée au vecteur propre constitué d’une colonne de 1 ; si les coefficients de la matrice M sont tous strictement positifs, 1 est valeur propre simple et les autres valeurs propres ont un module strictement inférieur à 1. et la limite de Dn est facile à déterminer.

Voir aussi l’exemple de Gérard Grancher… (Kevin et ses retards au lycée) http://www.univ-rouen.fr/upresa6085/Persopage/Grancher/cdm2001.html

       Kévin n’arrive pas toujours à l’heure au lycée : il n’est jamais en retard ou en avance deux jours consécutifs ; s’il était en retard la veille, il sera en avance une fois sur deux ; quand un jour il est en avance, le lendemain Kévin sera en retard une fois sur quatre ; Kévin a la même probabilité d’être en retard, ponctuel ou en avance, quand la veille il était à l’heure.  P      R A 

Questions : Kévin était en avance le jour de la rentrée, que peut-on prévoir pour le troisième jour ? Quand il est en retard, Kévin doit venir chercher un billet de retard auprès du conseiller principal d’éducation. Avec quelle fréquence Kévin visitera le bureau du CPE ? Au troisième retard, un avertissement sera décerné à Kévin. En moyenne, au bout de combien de jours, cet événement se réalisera-t-il ? Jérémie, le copain de Kévin, fréquente lui aussi assez régulièrement le bureau du CPE. Pouvez-vous aider le CPE à estimer la matrice de transition modélisant le comportement de Jérémie ?