Probabilités et statistiques 201-044-SH Probabilités et statistiques

Probabilités Étude des phénomènes aléatoires (où le hasard intervient) « Mourir un jour, payer nos impôts,hormis ces certitudes notre vie n’est que hasard. Un imprévisible groupement de gènes détermine notre physique. Une rencontre décide de notre vie amoureuse, du choix d’un travail. Un faux pas nous conduit à l’hôpital, un billet de loterie peut nous rendre millionnaire. Incapable de contrôler le hasard, nous cherchons, faute de mieux, à déterminer la probabilité d’un événement ». Auteur inconnu

Domaines d'applications: Physique (mécanique quantique) Biologie (génétique) Assurance (actuariat) Files d’attente Finance Justice Reconnaissance d’images

Statistique(s) Méthodes permettant de comprendre, d’expliquer, de prévoir et de prendre des décisions objectives en lien avec une situation on un phénomène. Statistique descriptive Inférence statistique Contrôle de qualité

Domaines d'applications: Sondages Médecine - test d’un nouveau vaccin ou médicament Médicament - facteurs de risque d’une maladie Frites et cancer Contrôle de qualité dans l’industrie

Approche fréquentiste vs Approche probabiliste

Mise en situation 1. Dans une famille de deux enfants où un des enfants est un garçon, quelle est la probabilité que l’autre soit une fille? Note: On pose comme hypothèse qu’il y a équiprobabilité des sexes lors de la naissance et indépendance entre les naissances.

Approche fréquentiste Lancer deux fois une pièce de monnaie: « pile » correspondant à « garçon » et « face » à « fille ». Chaque étudiant effectue 5 suites de deux lancers. On note les familles formées d’au moins un garçon et parmi celles-ci, celles ayant une fille. Approche probabiliste En effet, puisqu’il y a au moins un garçon, trois familles sont possibles: un garçon (aîné) suivi par un autre garçon, un garçon suivi par une fille ou un fille suivie par un garçon. Dans les deux derniers, l’autre enfant est bien une fille. Chacune des familles étant équiprobable, par hypothèse, la probabilité cherchée est donc bien de deux sur trois. Réponse: Deux sur trois.

Mise en situation 2. Lorsqu’une pièce de monnaie est parfaitement équilibrée, la probabilité qu’elle a de tomber sur « pile » est de ½, tout comme celle de tomber sur face. Plaçons-nous alors dans la situation où deux joueurs s’affrontent dans une suite de parties, le joueur 2 payant 1 dollar au joueur 1 si « pile » apparaît et inversement si « face » apparaît. L’enjeu est alors de déterminer la proportion du temps durant lequel chaque joueur est en tête.

Réponse À l’aide d’une approche probabiliste: il est possible de montrer qu’il y a une probabilité d’environ 2/3 pour que l’un des deux joueurs soit en tête plus des trois quarts du temps. il y a même plus d’une chance sur deux pour qu’un même joueur reste en tête plus de 85 % du temps. le fait qu’un même joueur soit en tête plus de 97 % du temps n’a rien de particulièrement exceptionnel, puisqu’une telle éventualité a une probabilité d’environ 1/5. Référence: Hasard et probabilités, HS no 17, Bibliothèque Tangente, Paris, 2004, pp. 82–86.

Mise en situation 3. Dans une classe de 30 étudiants, quelle est la probabilité qu’au moins deux étudiants aient la même date d’anniversaire ? a) autour de 25 %   b) autour de 50 % c) autour de 75 % Réponse: c)

La loi des grands nombres* Cette loi fait le lien entre l’approche fréquentiste (empirique) et l’approche probabiliste (théorique). En effet, elle permet d’affirmer que si l’on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la probabilité d’un écart significatif entre la fréquence observée d’un événement et sa probabilité d’apparition lors d’une unique répétition est faible, d’autant plus faible que le nombre de répétitions est grand. * Cette loi fut énoncé en 1680 par Jacques Bernoulli (1654-1705), mais elle ne fut publié qu’en 1713 dans l’Ars Conjectandi par son neveu Nicolas.

Exemple: Lors d’un lancer d’une pièce de monnaie bien équilibrée, l’approche probabiliste dit que la probabilité d’obtenir « pile » lors d’un lancer est de 1/2. La loi des grands nombres dit que l’écart entre la fréquence d’apparition de « pile » sera faible, d’autant plus que le nombre de lancer sera grand. Simulation : Lancer d’une pièce de monnaie

Remarque: L’«approche fréquentiste » permet d’estimer une probabilité mais ne permet pas de connaître la valeur exacte. L’«approche probabiliste » permet quand à elle, de mieux comprendre les éléments en jeu, dans certains cas d’expliquer pourquoi on obtient tel résultat et finalement elle fournit un cadre permettant une démonstration rigoureuse des résultats.

Habileté à développer - Section Probabilités Pour la section « Probabilités », le cours visera à développer chez l’étudiant sa capacité à traiter de situations faisant intervenir le hasard à l’aide de la notation et du formalisme de la Théorie des probabilités (approche probabiliste).

Plan de cours Préalable relatif: 201-NYB-05 Calcul intégral Contenu Théories des probabilités (18 heures) Fonctions de probabilités (18 heures) Statistique (24 heures) Méthodes pédagogiques Plan d’évaluation Médiagraphie