Chapitre 10 Proportionnalité

I. Proportionnalité Définition : Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsqu'on obtient chaque terme d'une ligne en multipliant le terme correspondant de l'autre ligne par un même nombre appelé le coefficient de proportionnalité. Lorsque dans deux colonnes d'un tableau de proportionnalité, on connaît trois nombres, on peut calculer la quatrième, appelé quatrième proportionnelle.

Exemple : 1,5 kg de cerises coûtent 4,50 €. Combien coûtent 800 g de ces cerises ? Un produit en croix permet de calculer 𝑥= 4,5 ×0,8 1,5 =2,40€

II. Pourcentages Exemple 1: Manon a acheté une boîte de céréales pour le petit-déjeuner sur laquelle est écrit « Avec 30 % de fruits ». Cela signifie qu’il y a proportionnalité entre la masse de fruits et la masse de céréales : il y a 30 g de fruits dans 100 g de céréales. On peut donc en déduire, par exemple, qu’il y a 60 g de fruits dans 200 g de céréales.

Exemple 2  : Dans une classe de 25 élèves, 40% des élèves sont des filles. Combien y-a-t-il de filles dans la classe ? Un simple calcul 25 x 40 : 100 = 10 permet de dire qu’il y a 10 filles dans la classe.

Exemple 3  : Parmi les 25 élèves de la classe de 4ème , 7 portent des lunettes. Quel est le pourcentage d’élèves portant des lunettes dans cette classe ? On cherche le nombre d’élèves portant des lunettes en imaginant qu’il a 100 élèves dans la classe.

Par un produit en croix, on obtient y = 7 x 100 : 25 = 28. Conclusion : Il y a donc 28% de la classe qui portent des lunettes.

III. Echelles Définition : Lorsque les dimensions du dessin d’un objet et les dimensions réelles de cet objet sont proportionnelles, on appelle échelle le quotient d’une longueur sur le dessin par la longueur réelle correspondante, exprimée avec la même unité.

Remarques : 1) Une échelle est souvent représentée par une fraction avec un dénominateur ou un numérateur égal à 1. Exemples : 18/1 ou 1/250 2) Si l’échelle est un nombre inférieur à 1 alors le dessin est une réduction. Exemple : Une échelle de 1/250 signifie que 1 cm sur le dessin représente 250 cm dans la réalité.

3) Si l’échelle est un nombre supérieur à 1 alors le dessin est un agrandissement. Exemple : Une échelle de 18/1 signifie que 18 cm sur le dessin représentent 1 cm dans la réalité.

Exemple 1 : Sur une carte de la France à l'échelle 1/1000000 , on mesure 20,7 cm entre l’aéroport de Marseille et celui de Perpignan. Quelle est la distance réelle entre ces deux aéroports ?

20,7 cm sur la carte représentent 20 700 000 cm dans la réalité. Donc, la distance réelle entre ces deux aéroports est de 20 700 000 cm, c’est-à-dire 207 km.

Exemple 2 : Sur une carte, 5 cm représente 100 km, soit 10 000 000 cm. Quelle est l'échelle de la carte ? On trouve que l'échelle est 1 / 2 000 000

IV. Vitesse Définition : Si un objet se déplace à vitesse constante, alors la longueur du trajet qu'il parcourt est proportionnel au temps qu'il a mis pour effectuer ce trajet. On dit alors que le mouvement est uniforme.

Exemple : Un train se déplace à vitesse constante et parcourt 200 km en 80 min. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir 125 km ? Soit y le temps mis par le train pour effectuer 125 km..

Un simple produit en croix permet de dire que y = 80 x 125 : 200 = 50 Il faut donc 50 minutes pour parcourir 125 km.

𝑣= 𝑑 𝑡 ou 𝑡= 𝑑 𝑣 ou 𝑑=𝑡×𝑣 Propriétés : Nous avons 3 formules liants le temps (t), la vitesse (v) et la distance (d). 𝑣= 𝑑 𝑡 ou 𝑡= 𝑑 𝑣 ou 𝑑=𝑡×𝑣 Si d est en kilomètres et t en heures, alors la vitesse v sera exprimée en km/h.

Exemples : Un piéton met 2h pour parcourir 12,8 km. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ? On utilise la formule 𝑣= 𝑑 𝑡 = 12,8 8 =6,4 𝑘𝑚/ℎ

2) Un camion roule pendant 3h à une vitesse moyenne de 85 km/h. Quelle est sa distance parcourue en km ? On utilise la formule 𝑑=𝑣×𝑡=3 ×85=255 𝑘𝑚

3) Une voiture roule à une vitesse moyenne de 75,5 km/h et parcourt 181,2 km. Quelle est la durée du parcours en heures et minutes ? On utilise la formule 𝑡= 𝑑 𝑣 = 181,2 75,5 =2,4 ℎ

Il faut convertir 2,4h en heure et minutes 𝑦= 60×0,4 1 =24 Il faut donc 2h 24 minutes heures 1 0,4 minutes 60 y