Géométrie vectorielle Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction En géométrie vectorielle, nous nous intéressons, dans un premier volet, à la description par des équations de lieux géométriques dans R2 et dans R3. Ces lieux sont des droites ou des plans dont les caractéristiques géométriques sont données à l’aide de vecteurs et de points. Le deuxième volet est la détermination des positions relatives de ces lieux et de leur intersection. Il s’agit essentiellement de résoudre des systèmes d’équations et d’interpréter le résultat selon le contexte. Le troisième volet porte sur le calcul d’angles et de distances dans le plan et dans l’espace ainsi que sur la détermination du point d’un lieu le plus rapproché d’un point hors de ce lieu. Dans cette étude, nous utilisons les produits de vecteurs, produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte. Nous utilisons la description vectorielle d’un lieu (droite ou plan) pour obtenir la description paramétrique de ce lieu.

Produits de vecteurs Dans cette première section, nous reverrons les trois produits de vecteurs et leur interprétation géométrique.

Produit scalaire Géométriquement, le produit scalaire de deux vecteurs est le produit des modules par le cosinus de l’angle entre les vecteurs. Cette interprétation géométrique permet de calculer l’angle entre deux vecteurs. En effet, en isolant cos q , on obtient : On peut également se servir de ce résultat pour calculer l’angle entre des droites et des plans.

Projection et produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs donne le produit du module de l’un des deux et de la longueur dirigée de la projection orthogonale du second sur le premier. Par conséquent, la longueur de la projection orthogonale d’un vecteur sur l’autre est donnée par : Cela permet de calculer des distances dans R2 et dans R3.

Produit scalaire de vecteurs algébriques Le produit scalaire de deux vecteurs algébriques de R2 ou de R3 peut être obtenu directement à partir des composantes. En effet, dans la base orthonormée usuelle, les composantes véhiculent l’information sur la direction, le sens et le module des vecteurs, donc sur l’angle entre ceux-ci. Nous utilisons cette façon de faire pour effectuer le produit scalaire de vecteurs algébriques dans R2 et dans R3 lorsqu’on veut calculer des angles ou des distances.

Produit vectoriel Pour appliquer la règle de la main droite, on tend celle-ci dans le sens du vecteur à gauche du symbole d’opération de telle sorte que l’on puisse fermer la main en tournant vers le vecteur qui est à droite du symbole d’opération. Le pouce indique le sens du produit vectoriel.

Module du produit vectoriel Dans le produit vectoriel, le module est égal au produit des modules et du sinus de l’angle entre ceux-ci.

Produit vectoriel de vecteurs algébriques Le produit vectoriel de deux vecteurs algébriques de R3 peut être obtenu directement à partir des composantes. En effet, dans la base orthonormée usuelle, les composantes véhiculent l’information sur la direction, le sens et le module des vecteurs, donc sur l’angle entre ceux-ci. En géométrie vectorielle, on utilise ce produit pour calculer la distance d’un point à une droite.

Produit mixte

Produit mixte Le produit mixte de trois vecteurs algébriques de R3 peut être obtenu directement à partir des composantes dans la base orthonormée usuelle. On utilise le produit mixte pour déterminer l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît deux vecteurs directeurs et un point ou l’équation d’un plan dont on connaît trois points. On l’utilise également pour trouver la distance d’un point à un plan en considérant que cette distance est la hauteur d’un parallélépipède.

Produits nuls Produit scalaire nul Le produit scalaire est nul si et seulement si les deux vecteurs sont perpendiculaires. En effet, cos 90° = 0. Produit vectoriel nul Le produit vectoriel est nul si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires. En effet, sin 0° = 0 et sin 180° = 0. Pour des vecteurs algébriques de R3, cela se traduit par le fait que le déterminant comporte deux lignes proportionnelles. Produit mixte nul Le produit mixte est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires. Pour des vecteurs algébriques de R3, cela se traduit par le fait que l’une des lignes du déterminant est combinaison linéaire des deux autres.

Équations cartésiennes Dans cette deuxième section, nous présentons les procédures pour trouver l’équation cartésienne d’une droite de R2 et d’un plan dans R3.

Équation d’une droite de R2 Un point et un vecteur normal sont donnés Considérons une droite dont on connaît un point R(x1; y1) et un vecteur normal N = (a; b). Pour qu’un point P(x ; y) soit sur cette droite, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N. On doit donc avoir : N • RP = (a ; b) • (x – x1; y – y1) = 0, d’où : ax + by – ax1 – by1 = 0. Dans cette équation, –ax1 – by1 est une constante que l’on désigne par c. On a donc une équation de la forme : ax + by + c = 0 Réciproquement, on peut prouver que ax + by + c = 0 est l’équation d’une droite perpendiculaire au vecteur N = (a; b). Remarque : Dans l’équation cartésienne de la droite, les coefficients des variables donnent un vecteur normal à la droite.

Équation cartésienne d’un plan de R3 Un point et un vecteur normal sont donnés Considérons un plan dont on connaît un point R(x1; y1; z1) et un vecteur normal N = (a; b; c). Pour qu’un point P(x ; y; z) soit dans ce plan, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N. On doit donc avoir : N • RP = (a ; b; c) • (x – x1; y – y1 ; z – z1) = 0, d’où : ax + by + cz – ax1 – by1 – cz1 = 0 et l’équation cartésienne est : ax + by + cz + d = 0, où d = – ax1 – by1 – cz1 Remarque : Dans l’équation cartésienne du plan, les coefficients des variables donnent un vecteur normal au plan.

Équations vectorielles et équations paramétriques Dans cette troisième section, nous présentons les procédures pour trouver l’équation vectorielle et les équations para-métriques d’une droite de R2, d’une droite de R3 et d’un plan dans R3. Mais tout d’abord, nous rappelons comment situer un point dans un repère par un vecteur position.

OX = OP + t D, où t est un nombre réel. Vecteur position Rappelons qu’un repère d’une droite est constitué d’un point de celle-ci et d’un vecteur directeur. À partir d’un point fixe considéré comme origine, on peut décrire chaque point de la droite par un vecteur position. En considérant que le domaine de variation du paramètre est R, on obtient alors une équation vectorielle de la droite, soit : OX = OP + t D, où t est un nombre réel. Remarque : Dans R2, les vecteurs OX, OP et  D s’expriment en fonction de la base. On utilisera la base orthonormée usuelle.

Équations paramétriques d’une droite de R2 Un point et un vecteur directeur sont donnés Considérons une droite dont on connaît un point R(x1; y1) et un vecteur directeur D = (a; b). Soit un point P(x; y) de cette droite, alors : OP = OR + RP , d’où : OP = OR + t D, où t est un nombre réel. Cela donne l’équation vectorielle : (x; y) = (x1; y1) + t (a; b) = (x1 + a t; y1 + b t) , où t est un nombre réel. L’égalité des vecteurs donne la description paramétrique de la droite : x = x1 + a t y = y1 + b t ∆ : , où t est un nombre réel. Remarque : Dans une description paramétrique de la droite, les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite.

Équations paramétriques d’une droite de R3 Un point et un vecteur directeur sont donnés Considérons une droite dont on connaît un point R(x1; y1; z1) et un vecteur direc-teur D = (a; b; c). Soit un point P(x; y; z) de cette droite, alors : OP = OR + RP , d’où : OP = OR + t D, où t est un nombre réel. Cela donne l’équation vectorielle : (x; y; z) = (x1; y1; z1) + t (a; b; c) = (x1 + a t; y1 + b t; z1 + c t), où t est un nombre réel. x = x1 + a t y = y1 + b t z = z1 + c t D’où l’on tire : ∆ : , où t est un nombre réel. Remarque : Les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite.

Équations paramétriques d’un plan de R3 Un point et deux vecteurs directeurs sont donnés Considérons un plan dont on connaît un point R(x1; y1; z1) et deux vecteurs direc-teurs D1 = (a; b; c) et D2 = (d; e; f). Soit un point P(x; y; z) de ce plan, alors : OP = OR + RP , d’où : OP = OR + s D1 + t D2 , où s et t Î R. Cela donne l’équation vectorielle : (x; y; z) = (x1; y1; z1) + s (a; b; c) + t (d; e; f) = (x1 + a s + d t; y1 + b s + e t; z1 + c s + f t), où s et t Î R. x = x1 + a s + d t y = y1 + b s + e t z = z1 + c s + f t D’où l’on tire : ∏ : , où s et t Î R. S S Remarque : Dans la description paramétrique, les coefficients des paramètres donnent des vecteurs directeurs du plan et les constantes donnent un point du plan.

Équation cartésienne d’un plan de R3 Un point et deux vecteurs directeurs sont donnés Considérons un plan dont on connaît un point R(x1; y1; z1) et deux vecteurs direc-teurs D1 = (a; b; c) et D2 = (d; e; f). On peut trouver l’équation cartésienne de ce plan de la façon suivante. Soit un point P(x; y; z) du plan. Alors, les vecteurs RP, D1 et D2 sont coplanaires. On a donc : RP • ( D1 ´ D2 ) = 0, où RP = (x – x1; y – y1; z – z1) Remarque : On procède de façon analogue lorsqu’on connaît trois points A, B et C d’un plan. À l’aide de ces points, on détermine deux vecteurs directeurs du plan, soit D1 = AB et D2 = AC. La contrainte pour qu’un point P(x; y; z) soit dans ce plan est alors que les vecteurs AB, AC et AP soient coplanaires. Leur produit mixte est donc nul.

Calcul d’angles Dans cette quatrième section, nous présentons les procédures pour trouver l’angle entre deux droites de R2, l’angle entre deux plans de R3, l’angle entre deux droites de R3 et l’angle entre une droite et un plan de R3.

Angle entre deux droites dans R2 Pour calculer l’angle entre deux droites dans R2, on doit déterminer des vecteurs, normaux ou directeurs, à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci. Rappelons que l’angle entre deux droites est toujours le plus petit des deux. Il est donc compris entre 0° et 90° alors que l’angle entre deux vecteurs est compris entre 0° et 180°. On peut rencontrer différents cas. Vecteurs directeurs faisant un angle obtus Un vecteur directeur et un vecteur normal faisant un angle obtus Vecteurs normaux faisant un angle obtus Un vecteur directeur et un vecteur normal faisant un angle aigu Vecteurs directeurs faisant un angle aigu Vecteurs normaux faisant un angle aigu Dans ces deux cas, l’angle entre les vecteurs est l’angle entre les droites. On a donc a = q. L’angle entre les vecteurs est l’angle supplémentaire de celui entre les droites. On a donc a = 180° – q. L’angle entre les droites est le complémentaire de l’angle aigu entre les vecteurs. On a donc a = 90° – q. L’angle entre les droites est a = q – 90°. Soit q , l’angle entre les vecteurs (normaux ou directeurs), l’angle a entre les droites est donné par : Dans les deux cas, l’angle entre les droites est le complémentaire de l’angle aigu obtenu en prenant la valeur absolue avant de calculer l’arccosinus. On prend ensuite a = 90° – q. Pour obtenir directement l’angle a (entre 0° et 90°), on prend la valeur absolue avant de calculer l’arccosinus. S S S S S a = q, si 0° ≤ q ≤ 90° a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180°

Angle entre deux plans dans R3 Pour calculer l’angle entre deux plans dans R3, on doit déterminer des vecteurs normaux à partir des équations et calculer l’angle q entre ceux-ci. L’angle entre deux plans est toujours compris entre 0° et 90° alors que l’angle entre les vecteurs peut être aigu ou obtus. Si q est l’angle entre les vecteurs normaux, l’angle a entre les plans est donné par : a = q, si 0° ≤ q ≤ 90° a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180° Pour obtenir directement l’angle cherché, on prend la valeur absolue avant de calculer l’arccosinus.

Angle entre deux droites dans R3 Pour calculer l’angle entre deux droites ∆1 et ∆2 dans R3, on doit déterminer des vecteurs directeurs à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci. Dans R3, deux droites coplanaires, peuvent être concourantes ou parallèles. Des droites non-coplanaires, sont appelées droites gauches. L’angle entre deux droites est défini même si les droites sont gauches, et c’est l’angle aigu formé par les vecteurs directeurs de ces droites. L’angle entre deux droites est toujours compris entre 0° et 90°, on peut donc prendre la valeur absolue avant de calculer l’arccosinus.

Angle entre une droite et un plan dans R3 Pour calculer l’angle entre un plan ∏ et une droite ∆ dans R3, on doit déterminer un vecteur normal au plan et un vecteur directeur de la droite à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci. On prend la valeur absolue avant de calculer l’arccosinus pour obtenir l’angle q compris entre 0° et 90° . L’angle entre le plan et la droite est l’angle complémentaire de q , soit : a = 90° – q

Calcul de distances Dans cette cinquième section, nous présentons les procédures pour calculer des distances dans R2 et dans R3.

Distances dans R2 Distance d’un point Q à une droite dont on connaît un vecteur normal. On détermine un point P sur la droite ainsi que le vecteur PQ. La distance cherchée est alors la longueur de la projection du vecteur PQ sur le vecteur normal N. Distance entre deux droites parallèles dont on connaît un vecteur normal. On détermine un point P sur une des droites et un point Q sur l’autre. On détermine alors le vecteur PQ. La distance cherchée est la longueur de la projection du vecteur PQ sur le vecteur N normal aux deux droites.

Conclusion Les produits de vecteurs constituent des outils très performants en géométrie vectorielle. C’est à l’aide des produits que l’on détermine les équations de lieux géométriques dans R2 et dans R3. On les utilise également pour calculer des angles, des distances et pour déterminer le point d’un lieu géométrique le plus près d’un point hors de ce lieu.

Lecture et exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Chapitres 9, 10, 11 et 12. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Chapitres 8, 9 et 10.