RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Les systèmes articulés (treillis) CT 57 (année scolaire 2001/2002) RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Les systèmes articulés (treillis) JM CHATEL

Les systèmes triangulés (Treillis) Plan de la séance 1 - Généralités 2 - Degré d ’hyperstaticité 3 - Stabilité d ’une structure triangulée 4 - Exemples de triangulation de poutres 5 - Détermination des efforts normaux dans les barres 6 - Exercices d ’application

1 - Généralités 1.0 - Historique Les systèmes triangulés (ou treillis) ont été pendant longtemps le type classique de la construction métallique et de la charpente en bois. Exemples : - tour EIFFEL, - ponts de chemin de fer (GARABIT), - halles diverses (La Vilette, …), - couvertures de gares (gare saint-Lazare,...), - etc ...

1 - Généralités 1.1 - Définition Un système triangulé est un système composé de barres droites articulées à leurs extrémités. S a b Les points de concours de plusieurs barres sont appelés des nœuds. L La longueur des barres est grande par rapport à leurs dimensions transversales. L >> (a ou b)

1 - Généralités 1.2 - Hypothèses de calcul F1 F2 F3 Les barres ne sont soumises qu’à un effort normal (N) de compression ou de traction. Le poids propre des barres est négligé. Toutes les charges sont appliquées aux noeuds. Les fibres moyennes des barres sont concourantes aux nœuds (théoriquement en même point). Toutes les barres sont articulées aux nœuds.

1 - Généralités 1.3 - Structure réelles Articulation théorique Membrure supérieure Membrure inférieure Montant Diagonale Articulation réelle - les fibres moyennes sont concourantes en un même point A A Gousset Le calcul reste valable si : - le gousset est petit devant la longueur des barres

2 - Degré d ’hyperstaticité 2.1 - Liaisons externes Elles correspondent aux liaisons du système considéré avec l ’extérieur. Il en existe trois types : Liaison du type : L1 - la liaison « appui simple » (engendre une inconnue statique) Liaison du type : L2 - la liaison « rotule » (engendre deux inconnues statique) Liaison du type : L3 - la liaison « encastrement » (engendre trois inconnues statique)

2 - Degré d ’hyperstaticité 2.2 - Liaisons internes Elles correspondent aux liaisons internes entre les barres composant la structure. Il en existe trois types : Engendre une liaison de type L1 sur chaque barre - l ’ appui simple   nœud de type n1 Engendre une liaison de type L2 sur chaque barre - la rotule   nœud de type n2 n2 L2 Engendre une liaison de type L3 sur chaque barre - l ’encastrement   nœud de type n3

2 - Degré d ’hyperstaticité 2.3 - Calcul du degré d ’hyperstaticité (1/3) Nombre d ’inconnues : Les inconnues du système sont les différentes liaisons (externes et internes). À chaque liaison de type Li correspondent (i) inconnues Nombre d ’équations : Par application du PFS nous aurons : - 3 équations par barre - (i) équations par nœud de type ni

2 - Degré d ’hyperstaticité 2.3 - Calcul du degré d ’hyperstaticité (2/3) Degré d ’hyperstaticité : Le degré d ’hyperstaticité correspond à la différence entre le nombre d ’équations et le nombre d ’inconnues. Système hypostatique nb d ’équations > nb d ’inconnues Système isostatique nb d ’équations = nb d ’inconnues Système hyperstatique nb d ’équations < nb d ’inconnues

2 - Degré d ’hyperstaticité 2.3 - Calcul du degré d ’hyperstaticité (3/3) Exemple : Calculer le degré d ’hyperstaticité de la structure

3- Stabilité d ’une structure triangulée (b) nombre de barres (n) nombre de noeuds Soit Cette structure triangulée est stable à condition que l ’équation suivante soit vérifiée : b = 2.n - 3

4 - Exemples de triangulation de poutres Poutre de type WARREN Poutre de type HOWE Poutre de type PRATT

5- Détermination des efforts normaux dans les barres 5.1 - Méthode des nœuds (1/2) Cette méthode permet de calculer les efforts développés dans toutes les barres. Méthode : 1 - vérifier que le système est isostatique 2 - déterminer les réactions aux appuis 3 - isoler un premier nœud et écrire l ’équilibre statique en faisant apparaître les réactions des barres sur le nœud et le chargement extérieur P = 10 kN L 1 3 2 4 Exemple: Calculer les efforts dans les barres

5- Détermination des efforts normaux dans les barres 5.1 - Méthode des nœuds (2/2) Méthode graphique (Crémona):

5- Détermination des efforts normaux dans les barres 5.2 - Méthode des coupures (dite de « RITTER ») (1/2) Cette méthode permet de calculer directement un effort dans une barre quelconque d ’un système articulé isostatique. Méthode : 1 - vérifier que le système est isostatique, 2 - déterminer les réactions aux appuis, 3 - déterminer la barre dont il faut calculer l ’effort, 4 - couper la structure (en coupant au maximum 3 barres), 5 - écrire que la résultante en moment (par rapport un point judicieusement choisi) est nulle, 6 - interpréter les résultats.

5- Détermination des efforts normaux dans les barres 5.2 - Méthode des coupures (dite de « RITTER ») (2/2) Exemple: P = 10 kN L

6 - EXERCICES

Ponts sur le Vecchio (Corse)