sens du nombre construction des apprentissages Le nombre à l'école Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Biographie Marie-Paule Dussuc est professeur de mathématiques à l’IUFM de Lyon Bourg-en-Bresse où elle rencontre Roland Charnay. C’est grâce à lui qu’elle entre dans le groupe E.R.M.E.L…. Il a pour idée de donner aux enseignants un outil venant les aider dans leur pratique quotidienne de la classe et de là va naître « Cap maths » pour lequel Marie-Paule Dussuc s’occupe plus particulièrement de la géométrie. Elle a rédigé un ouvrage sur la géométrie au cycle 3 et en poursuit la rédaction au cycle 2.   Marie-Paule Dussuc fait également partie de l’INRP pour les recherches en mathématiques. Plan de la conférence Temps 1 : le nombre au cycle 1 et au CP Temps 2 : le nombre au CE1 et au cycle 3 Temps 3 : questions / réponses sens du nombre construction des apprentissages 

Évaluation CE2 85 % de réussite Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Pour saisir les difficultés des élèves dans la construction du nombre, Marie-Paule Dussuc nous invite à nous pencher sur la compétence de « transcodage », c’est-à-dire ce qui se dit à l’oral et se transcrit à l’écrit en chiffres. Dans les évaluations de CE2 : 88,9% des élèves réussissent mais plus de 10% des élèves échouent. Pourquoi en sont-ils là ? Que peut-on faire pour eux ?

Évaluation 6ème 2008 88,9% de réussite 31,6 % de réussite Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Aux évaluations de sixième, les compétences évaluées dans le domaine des nombres décimaux révèlent des besoins significatifs : Seulement 31,6% des élèves réussissent. Analyse des erreurs reproduites : Dans les erreurs sur les nombres décimaux, les élèves ont appliqué la règle qu’ils ont apprise pour les entiers en essayant de l’appliquer aux nombres décimaux. Ils ont construit du sens à partir de 35,2 X 100. Pour enrayer ces erreurs, il faut construire le sens des écritures décimales. 28,9 % répondent : 3500,2 ou 35,200 ou 3500,200

Le nombre Un concept Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Construire le sens du nombre (éclairage théorique) G.Vergnaud définit les concepts mathématiques et définit notamment la soustraction que l’on travaille uniquement dans le sens de « enlever une quantité d’objets à une quantité existante ». Pour accompagner les élèves à saisir le sens de cette opération, il préconise d’utiliser tous les sens de l’opération : l’écart, la comparaison…. en plus du retrait de quantité à une autre. Un concept

Un apprentissage complexe… pour tout concept d’après G. vergnaud Problèmes qu'il permet de résoudre Langage et représentations - analogiques - verbales - symboliques Résultats, procédures et techniques - à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Qu’est-ce qu’un concept ? Un concept est défini par la langue langage et représentations analogiques/ verbales / symboliques Un concept, c’est aussi une définition et des propriétés le plus souvent utilisées implicitement, elles doivent être explicitées un concept, c’est aussi des techniques associées qui aident à mémoriser, à automatiser, à savoir élaborer Un concept définit un problème qu’il permet de résoudre Définition et Propriétés - utilisées implicitement - explicitées

Un apprentissage complexe… pour tout concept d’après G. vergnaud Problèmes qu'il permet de résoudre Résultats, procédures et techniques - à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Le concept de problème est premier, c’est le nombre qui va servir à la résolution de problème. La démarche en mathématiques consiste donc à partir de la situation problème et à utiliser les nombres pour résoudre ce problème.  

Sur les enjeux d’apprentissage L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (programme, 2008) La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programme, 2008) Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Un apprentissage complexe… pour tout concept d’après G. vergnaud Langage et représentations - analogiques - verbales - symboliques Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

« On apprend à un enfant que "trois" c'est 3, "cent" c'est 100, "sept" c'est 7. Comment lui faire ensuite comprendre que "trois cent sept" ne s'écrit pas 31007? »  Stella Baruk Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Marie-Paule Dussuc s’intéresse davantage au langage et à ses significations et fait référence à Stella Baruk. Stella Baruk montre que les élèves ont des difficultés à élaborer le sens de ces nombres car deux signifiants tournent sur eux-mêmes, il faut donc construire les significations. Le nombre va à la fois s’appliquer pour désigner et à la fois pour quantifier une collection.

« Les mots numéraux sont les seuls mots de la langue à avoir deux écritures, mais c'est celle qui traduit la langue parlée, les mots entendus, qui est première. Il faut donc construire la logique numérique à partir de la langue. Mettre en cohérence le lu, le su, le vu, l'entendu. »  Stella Baruk Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 L’oral est premier ; c’est lui qui est porteur de signification et qui met en cohérence « le lu, le vu et l’entendu ». La numération orale est mise en mots : c’est le numéral.

la numération orale ou verbale (qui peut être écrite en lettres) Les représentations numérales sont premières Des mots qui représentent : Les unités : un, deux, ….., neuf Les groupements de dix : vingt, trente…. Les puissances de dix : cent, mille, million…. Deux relations de base Une relation additive vingt-deux c’est vingt plus deux Une relation multiplicative quatre mille c’est quatre fois mille Suivant la position des mots la relation est additive ou multiplicative Et des exceptions… Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

La numération écrite en chiffres Représentations numériques Des symboles (les chiffres) qui représentent les unités : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Un symbole qui montre l’absence d’unité : 0 Un système de position : 234 indique 2 centaines, 3 dizaines, 4 unités Ce système s’étend à l’écriture des fractions décimales : 234,56 indique 2 centaines, 3 dizaines, 4 unités, 5 dixièmes, 6 centièmes Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 La numération écrite est un système numéral de position : c’est la position du chiffre qui lui donne sa valeur. Ce système s’étend aux nombres décimaux. Un système numéral de position bien acquis dans le domaine des nombres entiers est une condition pour comprendre le système des nombres décimaux puisque l’élève va étendre ses connaissances de l’un à l’autre. Dans un exercice de transcodage (retour aux évaluations citées plus haut), on doit avoir compris le système de numération orale et le système de numération écrite de position. Passer d’une numération à l’autre, c’est avoir compris comment fonctionnent les deux représentations.

triple code et « petits nombres » dehaene Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 4 quatre Le triple code Lorsque je parle du nombre, j’en ai une représentation : - une quantité à laquelle j’associe une écriture chiffrée

Triple code et numération Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc-2010 une quantité que je structure par des groupements (ex : 30 et 4 ; 3 boîtes de 10 et quatre) Trente-quatre 34

Quantité réalisée avec le matériel  Nombre écrit en chiffres Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 C’est la désignation orale qui fait sens lorsque les élèves passent de la quantité à l’écriture symbolique, (sous peine que la situation ne soit réduite à un simple exercice d’écriture). Trente-quatre 34 Ce passage par la numération orale garantit souvent le sens.

Triple code et decimaux Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 1 Le triple code pour les décimaux On va proposer des situations aux élèves dans lesquelles le cardinal des nombres est travaillé (la quantité) et on va lui associer une signification dans l’oral. Exemple à partir de l’aire d'un carré, les dixièmes et les centièmes de l’unité de départ. Un et deux dixièmes et quatre centièmes 1,24

Représentation analogique du nombre Aspect cardinal Des collections variées Un matériel qui permet de réaliser et d’utiliser les groupements et de matérialiser les échanges entre groupements Des représentations de ces matériels Aspect ordinal Des suites d’écritures chiffrées Des graduations Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Représentation analogique du nombre Le matériel a son importance dans la construction du nombre et on va s’appuyer sur les deux aspects (ordinal et cardinal) pour accompagner les élèves. Aspect cardinal : - collections - matériel permettant les groupements, les échanges… - la représentation de ce matériel Aspect ordinal : - des suites d’écritures chiffrées - des graduations

La notion de nombre Repères pour la maternelle et le CP Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Repères pour la maternelle et le CP Acquisition de la chaine verbale Sens et fonctions du nombre

Importance de la "comptine" orale et du dénombrement L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures… P. Barouillet et V. Camos Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Comptine orale des nombres   Afin que les élèves puissent élaborer une représentation du nombre, la prédominance de l’oral est nécessaire ainsi qu’une attention particulière pour le matériel proposé dans les situations. La comptine orale est le premier seuil du dénombrement, la chaîne orale est prédominante dans ce qui sera construit par la suite.

Niveau d’élaboration et procédure d’après Fuson Le chapelet (undeuxtroisquatre) : pas de signification arithmétique La chaîne insécable : pas de possibilité de commencer au milieu La chaîne sécable : compter à partir de La chaîne terminale : début d’automatisation La chaîne bidirectionnelle : dans les deux sens Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Les différents stades suivant Fuson Stade chapelet : l’enfant mémorise mais les mots ne sont pas sécables, ils se suivent et n’ont pas de sens dans un premier temps ex : undeuxtroisquatrecinqsix ….. Stade chaîne insécable : l’enfant comprend que les mots se suivent et l’adulte va aider à séquencer différemment ex : la comptine un, deux, trois, j’irai dans les bois . Ces comptines aident à comprendre que la chaîne est constituée de mots isolés. Si l’enfant est interrompu dans la comptine, il sera obligé de recommencer depuis le début (à 1). Stade de la chaîne sécable : l’enfant est capable de dire la comptine à partir d’un nombre. La chaîne sécable permet le surcomptage Ex : 5+3 ; l’enfant part de 5 et compte 6,7,8. Stade de la chaîne terminale : c’est le début de l’automatisation ex : dire les nombres de 16 à 29, dire combien il y a de nombres entre 8 et 12 (permet par exemple de savoir combien de jetons ont été ajoutés). Stade de la chaîne bidirectionnelle : elle permet de décompter ex : de 3 en 3. A partir de ce stade, l’enfant est autonome et a perçu le fonctionnement algorithmique en place, il ne mémorise plus.

L'acquisition de la comptine Quelques étapes de 2 à 6 ans Grande variabilité selon les enfants (donc valeurs moyennes) 4 ans et demi : récitation jusqu'à seize 5 ans et demi : récitation jusqu'à quarante Mais savoir réciter n'est ni connaître complètement ni savoir utiliser Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 L’objectif en fin de grande section de maternelle est de connaître la comptine numérique jusqu’à 30, en réalité, les élèves la connaissent au-delà. Connaître la suite orale des nombres ne signifie pas savoir l’utiliser et donc, savoir mesurer des quantités.

Par estimation globale Par reconnaissance d’une collection type Suivant la nature, la taille, des objets, leur quantité, leur disposition, le dénombrement peut être réalisé Par estimation globale Par reconnaissance d’une collection type Par comptage Par calcul En combinant ces différentes procédures Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 • Comptage : activité qui consiste à trouver le nombre des éléments d’une collection en utilisant un numérotage (importance particulière du dernier mot-nombre prononcé …) • Dénombrement en utilisant des « collections-témoins organisées » (configurations spatiales comme les constellations de dés, des configurations digitales, …) • Dénombrement par reconnaissance instantanée (pour les petites collections avec une configuration quelconque) (jusqu’à 3 ou 4 ?) c) Dans des situations d’ajout, de retrait, de partage, de regroupement, … on peut prévoir le résultat en utilisant • des procédures de comptage (recomptage du tout, surcomptage, …) • un calcul : activité qui consiste à prévoir le résultat en utilisant uniquement des écritures chiffrées (et donc sans utiliser d’objets réels ou de représentations mentales de ces objets) (voir cycle 2 et cycle 3). Remarque : R. Brissiaud introduit la notion de « calcul sur les objets »

Dénombrer une collection, par comptage, c'est : Dire la suite des mots nombres, sans se tromper en associant bien à chaque objet un mot nombre et en s'arrêtant correctement (correspondance terme à terme) Enumérer tous les objets, sans en oublier un, sans compter deux fois le même élément Enoncer le dernier mot nombre prononcé comme correspondant à la quantité (cardinalisation) Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 La complexité de cette tâche dépend de la possibilité ou de l'impossibilité de déplacer les objets, de la disposition spatiale de la collection (énumérer une file d'objets est plus facile qu’énumérer des objets en vrac), du nombre d’objets. Ainsi la mise en place de stratégies de balayage quand les objets sont régulièrement disposés, de marquage (on code les objets comptés) si ce n'est pas le cas.

Dénombrement par comptage nécessite la mise en œuvre de compétences élémentaires et de savoirs pré-numériques et logiques à coordonner la collection, l’inclusion, la partition la désignation, la correspondance terme à terme l’énumération Joël Briand Dénombrer par comptage Il s’agit de la capacité à dire la suite des mots nombres sans se tromper, en associant à chaque objet le mot nombre correspondant. Enumération On doit ce terme à Joëlle Briand, il s’agit de compter tous les objets sans en oublier aucun, sans compter deux fois le même élément. La difficulté des élèves (en lien avec la conservation des quantités piagécienne) réside dans le fait qu’ils pensent que l’ordre a une importance pour évaluer une quantité. Enoncer le dernier nombre Enoncer le dernier nombre comme correspondant à la quantité est un autre stade (cardinalisation) par l’aspect ordinal (1,2,3,4,5) 5 étant le cardinal de la quantité. Idée de collection pour isoler les éléments Il s’agit de faire comprendre aux élèves que dans les grandes quantités d’objets, il y a des unités isolées, c’est l’idée d’inclusion. Ce point est notamment mis en avant par Dominique Valentin à travers les situations de correspondance terme à terme qu’elle propose pour éviter « le brassage » ou « verser » les éléments sans les grouper.   On peut voir ici que dénombrer une collection d’objets est beaucoup plus difficile à élaborer que la comptine numérique.

Dénombrement par comptage un à un quelques repères 47 % 37 % 5 % 11 objets 80 % 19 % 7 objets 5 ans 4 ans 3 ans Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 La difficulté pour les élèves : le pointage va trop vite ou les mots ne suivent pas le comptage ; c’est le regard qui va orienter l’activité par procédure de correspondance terme à terme. Ce point est en lien avec les travaux de l’équipe de Bordeaux : « Apprentissages mathématiques en maternelle » Joëlle Braind - DVD chez Hatier.

Les nombres outil pour mémoriser… Quels sens pour le nombre ? …des quantités aspect cardinal Réaliser une collection équipotente à une collection donnée Compléter une collection pour la rendre équipotente… Comparer des collections … des positions dans une liste rangée aspect ordinal Indiquer une position Replacer un objet à sa position Comparer des positions Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Les nombres : outils pour mémoriser   Des quantités – aspect cardinal Aller chercher autant de crayons que de camarades, réaliser une collection, compléter, comparer. L’aspect figuratif peut cependant parasiter la perception ex : une collection où les objets sont plus grands seront perçus comme plus nombreux. Des positions dans une liste rangée – aspect ordinal

Réaliser une collection équipotente à une collection donnée « Les voyageurs » ERMEL GS Il faut aller chercher juste assez de voyageurs (les bouchons) pour remplir toutes les places de la voiture Des boîtes pour figurer des voitures, avec un quai Des places dessinées Des bouchons placés plus loin Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 A partir d’une situation problème : « les voyageurs » ERMEL GS où il s’agit d’aller chercher une collection identique à une autre, pas plus, pas moins (situation filmée). On constate que les élèves ramènent la bonne quantité. Les procédures utilisant le dénombrement vont permettre de résoudre le problème. Les élèves comprennent qu’ils doivent rapporter « la bonne quantité » et que le nombre est la mémoire de cette quantité. Cet aspect est fondamental et pose le sens des nombres à l’école maternelle et au-delà. Construire le nombre, c’est construire le sens et le sens se construit à travers les situations problèmes. L’aspect écriture (commande écrite) doit intervenir pour l’importance du triple code : après avoir vécu la situation, on accède à la désignation symbolique.

Divers habillages pour cette situation ERMEL GS Les voyageurs (réalisable en MS), Les math-œufs CDROM Apprentissages mathématiques en maternelle en MS et GS : Voitures et garages, Lapin et carottes Découvrir le monde avec les mathématiques C2 La ferme de Mathurin Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Divers habillages pour cette situation ERMEL CP Le robot Les mosaïques Cap maths CP Le Ziglotron Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Les commander oralement (GS, CP)‏ Les commander par écrit (GS, CP)‏ Réaliser une collection équipotente à une collection donnée Aller chercher, en une seule fois, juste assez de gomettes pour réparer le ziglotron (MS, GS, CP)‏ Les commander oralement (GS, CP)‏ Les commander par écrit (GS, CP)‏ D'après Cap maths CP Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Trouver l’écriture chiffrée associée à un mot-nombre un deux trois quatre cinq 1 2 3 4 5 6 7 Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 un deux trois quatre cinq 1 2 3 4 5 6 7

Comprendre la quantité avant de la quantifier Les boîtes d’oeufs en PS Il faut aller chercher dans son plateau des châtaignes pour remplir la boîte d’œufs sans en prendre trop. Le nombre de voyages n’est pas limité Dominique Valentin Découvrir le monde avec les mathématiques Porte sur la comparaison des quantités avant l’utilisation du nombre A partir d’une situation problème : « la boîte d’œufs » Dominique Valentin Des élèves de petite section doivent aller chercher des marrons pour remplir la boîte ; on a perdu si on en met trop. C’est un travail sur la quantité avant la construction du nombre : pour Dominique Valentin « il n’y a pas de petits apprentissages pour de petits élèves ». Dans cette situation c’est la capacité d’estimation de la quantité qui est travaillée.

Les nombres outil pour mémoriser… …des quantités aspect cardinal Réaliser une collection équipotente à une collection donnée Compléter une collection pour la rendre équipotente… Comparer des collections … des positions dans une liste rangée aspect ordinal Indiquer une position Replacer un objet à sa position Comparer des positions Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Replacer un objet à sa position Respecter le rang GS Une frise modèle constitué d’une suite d’images, placée plus loin. L’élève dispose d’une frise vide, sans images, et d’une image, il doit la replacer sur la frise vide au même endroit que sur la frise modèle. CDROM Apprentissages mathématiques en maternelle Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Les nombres outil pour anticiper Vers le calcul Aspect cardinal : quantités Résultat d’une augmentation ou d’une diminution Valeur de la transformation Etat avant transformation Résultat d’une réunion ou d’un partage Aspect ordinal : positions dans une liste rangée Position après un déplacement (en avant ou en arrière) Valeur du déplacement Position avant déplacement Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010  

RÉSULTAT D’UNE TRANSFORMATION Boite noire Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Les nombres : outils pour anticiper   Les situations proposées ne sont pas des situations de calcul mais les préparent. Ces situations portent à la fois sur l’aspect cardinal et ordinal. En Grande section, l’écriture symbolique ne sont pas introduites mais c’est la construction de procédures et de transformations qui est visée. A partir de la situation de la boîte noire : les procédures sont oralisées « jen ajoute, j’en enlève … », elles sont la base du calcul et permettent de passer du comptage à une élaboration conceptuelle. - Il y a 3 jetons dans la boite, on ajoute 2 jetons. Combien de jetons maintenant ? Il y a 8 jetons dans la boite, on en enlève 2. Combien de jetons maintenant ?

Quelles procédures ? Dessin et dénombrement Recomptage mental ou aidé (doigts…) Surcomptage mental ou aidé (doigts…) Décomptage mental ou aidé (doigts…) Double comptage de … à …mental ou aidé (doigts…) Utilisation de résultats déjà connus Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Double comptage sur la bande numérique 10 11 12 13 14 un deux trois quatre cinq six sept Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Double comptage sur la bande numérique

VALEUR DE LA TRANSFORMATION Dix dans la boite Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 - deux joueurs - 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup. Aline met 2 jetons, Nanar en met 3. Que doit mettre maintenant Aline pour être sure de gagner ?

Dix dans la boîte : 3 problèmes Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup Plusieurs solutions… dont les nombres Connaître le contenu de la boîte Vers l’addition Savoir s’il est possible de gagner au coup suivant Vers le complément Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Matériel Anticipation ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation Matériel Favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Conclusion La construction du nombre s’appuie sur une situation matérielle qui va servir à représenter la situation. La situation finale sert de validation ce qui permet de sortir du schéma classique du maître qui valide. Les écritures chiffrées en GS sont introduites quand l’enfant a construit la désignation orale. Au CP, le processus s’inverse. Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures

LA NUMERATION DES ENTIERS Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Repères pour le cycle 2 Valeur positionnelle des chiffres dans l’écriture du nombre Organisation des nombres

Des réussites parfois trompeuses Les compétences techniques sont évaluées Lire / écrire des nombres 85 % à 95 % Comparer / ranger des nombres 70 % à 90 % aux évaluation CE2 Pourtant à l'entrée en sixième… Ecris en chiffres 25 dizaines 40 % Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Au évaluations de CE2 et de sixième, on attend la réussite de tous les élèves dans le transcodage et pourtant, une partie des élèves est en difficulté.

La bande numérique MS-GS-CP Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Pour donner du sens à la construction du nombre, l’enseignant peut utiliser des supports qui en facilitent la compréhension : La bande numérique : vise les connaissances algorithmiques, elle permet de ranger les nombres ;

L’organisation des écritures Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 On peut également demander aux élèves d’entourer les familles de nombres, on propose alors un travail de structuration qui se fait à partir de l’écriture.

Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Tableau de nombres Tableau à compléter Tableau puzzle ERMEL CP Le tableau des nombres : vise les désignations orales et écrites (très peu de méthodes développent l’aspect ordinal, c’est un manque qu’il faut pallier). L’organisation des écritures Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Graduations CE1-CE2 Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 La graduation : un trait pour chaque nombre, les fils donnent l’effet d’être prolongés et donnent l’idée du caractère continu des nombres. Les supports ordinaux aident à construire les algorithmes. Les supports cardinaux aident à construire les groupements.

La valeur positionnelle des chiffres dans l’écriture du nombre Capmaths CP Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 A partir d’une situation issue de Cap Maths : Ziglotron fait une commande de boutons. La situation commence à partir des contraintes qui vont être introduites (ex : aller chercher les boutons qui manquent). Renvoi à la situation « les voyageurs » d’ERMEL, la phase où les élèves sont sur le quai et mettent en correspondance les deux collections (initiale proposée et constituée par les élèves) : cette phase est primordiale car c’est à ce moment là que se nouent les correspondances, le sens. Problème : demander juste ce qu’il faut de « boutons » pour réparer le grand ziglotron(boutons vendus à l’unité ou par bandes de dix)

La valeur positionnelle des chiffres dans l’écriture du nombre  ziglotron disponible, demande libre (peut être orale)  ziglotron disponible, mais 4 contraintes : - commande écrite - pas plus de 9 boutons isolés - le marchand donne ce qui est commandé - vérification différée  ziglotron non disponible (seul l’enseignant le possède), nombre de boutons inscrit sur le bon de commande. Le grand Ziglotron Cap math CP Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 La situation du Ziglotron permet de poser un problème que l’on va résoudre par la numération avec un matériel qui n’est pas habituel. Cette situation permet de renouer le sens de l’écriture du nombre dans la numération. NB : le travail sur fiche ne se fait qu’à partir du moment où les élèves ont vécu la situation. 45

Suite chiffrée et valeur des chiffres Objectif : comprendre l'organisation de la suite écrite des nombres de 3 chiffres comprendre que avancer de 1, 10… revient à ajouter 1 unité, 1 dizaine… comprendre que les groupements correspondent aux « rangs » , et que faire un nouveau groupement amène à changer de rang. Problème : gérer les effets de l'ajout de 1, de 10, de 100 à l'aide de différents matériels. Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Aider les élèves à comprendre les groupements de 10, 100 et les incidences sur le nombre est un autre point fondamental : Roland Charnay propose la situation de manipulation à partir du compteur et de la calculette qui contrôle (le compteur est soumis aux erreurs de manipulation). Cette situation recolle la signification du nombre par la position du chiffre dans le nombre. Exemple tiré de Cap Maths CE1 Quantités, compteur et calculette

Des perles Un compteur Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Suite chiffrée et valeur des chiffres Matériel 1 calculette pour certains élèves 1 compteur pour d'autres 10 cartes portant 10 perles ou 100 perles 40 cartes portant 1 perle 1 boîte Problèmes Ajout de perles de 1 en 1 jusqu'à 37 action sur la calculette action sur le compteur adéquation boîte-calculette-compteur Ajouts de cartes portant soit 1, soit 10, soit 100 perles Mêmes questions Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Suite chiffrée et valeur des chiffres Un problème intéressant (au cours du jeu) Il y a déjà 28 perles dans la boîte (2 paquets de 10 et 8 perles). On ajoute 2 fois de suite une perle. - contenu de la boîte : 2 paquets de dix et 10 perles - affichage de la calculette : 30 - compteur : 028 029 ??? Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Comment faire pour que le contenu de la boîte et l'affichage du compteur coïncide avec l'affichage de la calculette ?

Suite chiffrée et valeur des chiffres Un problème intéressant (au cours du jeu) Idem avec 92 dans la boîte (9 paquets de 10 perles et 2 perles) Ajout d'un paquet de 10 perles… Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 A partir de la situation problème : 9 paquets de 10 perles ; Cette situation peut se reprendre à tous les niveaux et est intéressante pour l’aide personnalisée. Jeu identique avec des pièces et billets de 1, 10, 100 euros Il favorise le passage des groupements aux échanges.

L’information contenue dans l’écriture d’un nombre Les craies ERMEL CE2 Combien de craies ? Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Pour le cycle 3, ces situations redonnent du sens à cette numération des entiers : combien y a-t-il de dizaines dans 390 ? Combien de boites de 100 et de boites de 10 pour 395 craies ? Combien de boites de 10 pour 390 craies ? Combien de dizaines dans 390 ?

Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Les matériels Les unités sont présentes Les unités sont visibles La valeur est donnée La valeur est symbolisée La position exprime la valeur Le matériel est aussi une aide dans la signification du nombre ; ex : pour aider les élèves, on utilise des sachets transparents afin que les élèves puissent voir le contenu. Il faut que les élèves aient le sens des groupements, dans les sachets transparents, les unités se voient (visible / non visible). Pour renforcer la représentation mentale du nombre, je demande aux élèves : « si j’écris 345 qu’est- ce que cela signifie avec mon matériel ? » C’est une situation de numération orale. Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

mille vingt(s) Numération orale deux quatre huit cent(s) Quel est le grand nombre que l’on peut écrire avec toutes les étiquettes ? deux quatre huit cent(s) mille vingt(s) Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Autre situation : numération orale, je dispose d’étiquettes de mots nombres et je demande aux élèves de trouver quel est le plus grand nombre, le plus petit…. Cette situation peut être proposée du CP jusqu’au CM2, il s’agit d’un travail spécifique à la numération orale qui en fait comprendre les fondements. huit cent quatre vingt deux mille mille deux cent quatre vingt huit

Evaluation CE2 Les évaluations de CE2 montrent des difficultés des élèves dans le sens des mécanismes qui renvoie au sens du système de numération ex : pourquoi commencer à droite pour effectuer une addition ? L’essentiel du travail de numération et des supports cardinaux vont aider les techniques de calculs opératoires : le sens des opérations se fonde dans les aspects cardinaux des nombres. Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc 2010

Comment calculer 22 – 5 ? Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

La file pour calculer L’aspect ordinal va renforcer ce processus et constitue une aide au calcul. ex : les bandes numériques de calcul participent à l’élaboration mental de calcul.

Multiplier par 100 Nombre entier : "écrire deux 0" à droite 24 x 100 = 2 400 Nombre décimal : déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite 2,345 x 100 = 234,5 2,34 x 100 = 234 (disparition de la virgule) 35,2 x 100 = 3 520 (disparition de la virgule… et apparition de 0 !) Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Dans les techniques de calcul, pour multiplier ou diviser par 10,100, le plus souvent nous avons pour habitude d’ajouter des zéros ou de déplacer la virgule dans le cas d’un nombre décimal ; cette technique participe aux erreurs, en effet, ce n’est pas la virgule qui se déplace mais les chiffres qui changent de valeur ex : j’effectue un déplacement des nombres de deux rangs vers la gauche si je multiplie par 100.

24 fois 100 c’est 24 centaines, c’est donc 2400 Multiplier par 100 24 fois 100 c’est 24 centaines, c’est donc 2400 24 c’est 2 dizaines et 4 unités Donc 24 x 100, c’est 200 dizaines et 400 unités C’est donc 2 milliers et 4 centaines Donc 2 400 Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Comment justifier que 35,2 x 100 = 3 520 Interpréter 35,2 par : 3 dizaines + 5 unités + 2 dixièmes 35,2 x 100, c’est : 300 dizaines + 500 unités + 200 dixièmes Savoir que 300 dizaines, c'est 30 centaines et donc 3 milliers Savoir que 500 unités, c'est 5 centaines Savoir que 200 dixièmes, c'est 20 unités (car 10 dixièmes c’est 1 unité), c’est donc 2 dizaines. Donc c’est 3 520 Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

3 dizaines 5 unités 2 dixièmes Conclusion… Quand on multiplie un nombre par 10, chaque chiffre prend une valeur "10 fois plus grande" Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur… donc de place C'est la même chose pour les entiers et pour les décimaux ! Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 24 x 100 2 dizaines 4 unités 2 milliers 4 centaines 35,2 x 100 3 dizaines 5 unités 2 dixièmes 3 milliers 5 centaines 2 dizaines

, 2 3 4 5 milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes 2 3 4 5 Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

LA NUMERATION DES DECIMAUX Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 La représentation de l’élève du nombre décimal est le plus souvent l’image de deux entiers séparés par une virgule, deux entiers juxtaposés. Cette représentation est la source des difficultés ex : entre 2,5 et 2,6 pour la plupart des élèves, il n’y pas de nombre. (Cette représentation vient de l’usage social de la monnaie). Quelques repères pour la mise en place Des fractions aux décimaux

Des difficultés et erreurs d ’élèves Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Ces erreurs sont dues à la conception qu'un décimal est égal à deux entiers accolés. Ceci a des conséquences sur le rangement des décimaux, dans les opérations, dans les dénominations des chiffres (centaines, dizaines, unités, centièmes, dixièmes, millièmes), dans la multiplication ou la division par 10, 100, 1 000. Pour la première erreur l'élève ne tient pas compte de la virgule. Pour la seconde, il multiplie la partie entière par 100. Pour la troisième il considère la partie décimale comme “ un petit quelque chose ” négligeable (comme les centimes). 20,05 : 100 = 0,25  Pour cet élève les zéros de la partie décimale sont inutiles.   Certaines de ces erreurs peuvent s'expliquer par la méthode d'apprentissage, en particulier si les décimaux sont introduits par changement d'unité, en relation avec le système métrique : 5,14 devient alors une autre écriture de 514 (lorsqu'on choisit le mètre comme unité à la place du centimètre), ou une écriture simplifiée de l'écriture 5 m 14 cm). Des erreurs qui nous paraissent normales à l’entrée au collège : Tout nombre possède un successeur ; après 3,5 il y a 3,6 et entre deux nombres décimaux “ consécutifs ” il n'y a rien. 0,1 devient “ le plus petit ” des décimaux. Il est impossible de multiplier par un décimal : “ un nombre de fois pas entier, ce n'est pas un nombre de fois ”. La valeur exacte d'un quotient, c'est l'écriture décimale qui a beaucoup de chiffres après la virgule : un nombre important de chiffres après la virgule permet de donner la valeur exacte d'un quotient notamment si c'est la calculatrice qui l'affiche. Des règles-élèves fausses mais performantes : Les travaux de C. Grivard et F. Léonard ont permis d'identifier trois règles-élèves pour ranger trois nombres 4,3 ; 4,249 et 4,06. La première consiste à appliquer aux parties décimales, la règle de comparaison des entiers ( 4,3 < 4,06 < 4,249 ). La deuxième : le plus petit nombre est celui qui a le plus grand nombre de chiffres après la virgule ( 4,249 < 4,06 < 4,3 ). La troisième : le plus petit des nombres est celui dont le premier chiffre après la virgule est un zéro ( 4,06 < 4,3 < 4,249 application des règles 3 puis 1). Ces conceptions fausses permettent pourtant à certains élèves d'avoir un taux de réussite important. L'application des règles 3 puis 2 permet de classer sans erreur les nombres suivants : 2,06 - 2,19 - 2,184.

50% de réussite et 8% des élèves répondent 3,21 en début de 6è Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 50% de réussite et 8% des élèves répondent 3,21 en début de 6è c) 5 x 1,6 = Il n’est pas possible de calculer 1,6 fois 5 car «  un nombre de fois pas entier, ce n'est pas un nombre de fois  »

Quelques aspects historiques Au début étaient les entiers Puis vinrent les fractions (-2000 en Egypte), les fractions décimales , l’écriture décimale (1585 Stevin) Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 L'apparition des décimaux dans les mathématiques :   Les premières fractions : C’est très tôt qu’on trouve la trace des fractions dans les civilisations anciennes : en Egypte vers -2500, en Mésopotamie vers -1800 avec les Babyloniens, en Chine vers -1300. La notion de rapport pour comparer deux grandeurs de même espèce et le partage de l’unité en parts égales pour mesurer des grandeurs avec plus de précision apparaissent simultanément. Les Egyptiens commencent par diviser l’unité en fractions ayant seulement des puissances de deux comme dénominateur. On a retrouvé par ailleurs des tables de décomposition de fractions en somme de fractions de numérateur 1, ainsi que des tables permettant de prendre des fractions de 1/n. Par exemple : prendre 2/3 de 1/7. Les fractions sexagésimales (issues de la numération en base 60) inventées par les Babyloniens sont adoptées ensuite par les Grecs et très largement utilisées jusqu’au moyen âge, ce sont les précurseurs de nos fractions décimales. Les fractions apparaissent ainsi pour la résolution de problèmes concrets, mesurage pour retracer des terrains en Égypte après les crues du Nil, mesures de quantités et calculs pour les échanges commerciaux... ; mais les calculs deviennent rapidement très complexes. Les mathématiciens inventent les décimaux : C'est avec les savants grecs, notamment les Pythagoriciens et Euclide, que les fractions deviennent des objets d’étude. Puis le calcul numérique et l’algèbre se développent en relation avec les progrès en géographie et en astronomie. Les mathématiciens arabes notamment jouent un rôle important pour l’apparition des décimaux : c’est en cherchant à donner une approximation de la racine irrationnelle d’une équation qu’Al Samaw’al (en 1172) utilise des fractions décimales. Al Kashi publie ensuite (en 1427) une méthode de décomposition d’une fraction en une somme (finie ou non) de fractions décimales. Il établit alors que les opérations sur les fractions se ramènent à des opérations sur des entiers en utilisant les fractions décimales. En Europe, les mathématiciens utilisent généralement le système sexagésimal pour diviser l'unité. Ils n’adoptent les décimaux qu’à partir du 16ème siècle. Les publications de François Viete et surtout La Disme de Simon Stevin, ingénieur hollandais, permettent la diffusion de l’écriture décimale qui se révèle un outil puissant. Contrairement aux fractions, les décimaux apparaissent donc à partir d'études mathématiques théoriques pour devenir ensuite un objet d'usage courant. Ils permettent de faciliter les comptes en généralisant les techniques opératoires des entiers aux décimaux. Ils permettent d’envisager un système de mesures qui ne soit pas dissocié des techniques de calcul. C'est ce côté pratique qui va imposer leur utilisation. En effet, en France, jusqu'à la révolution, il n'y a pas de lien simple entre les unités de longueur, de surface et de volume, leurs subdivisions restent des fractions non décimales, les unités de masse varient selon les objets, et tout cela diffère encore suivant les régions.

La disme Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Dans la Disme, Simon Stévin n’utilise pas la virgule. La partie entière du nombre est suivie d’un 0 cerclé , le chiffre des dixièmes par un 1 cerclé, celui des centièmes par un 2 cerclé, … Ici on effectue la multiplication de 32,57 par 89,46

D’un point de vue conceptuel, ce sont des fractions. Les décimaux écrits avec une virgule ressemblent à des entiers, mais ne sont pas des entiers. D’un point de vue conceptuel, ce sont des fractions. L’écriture à virgule est un système économique de notation des décimaux qui facilite les calculs mais qui masque leur véritable nature. Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Les décimaux ressemblent à des entiers mais sont en réalité des fractions décimales c’est-à-dire des entiers sur 10.

Des difficultés liées au concept = Des ruptures Entier positif Décimal positif Dans une série de nombres celui qui a l ’écriture la plus longue est le plus grand. Dans une série de nombres celui qui a l ’écriture la plus longue n’est pas nécessairement le plus grand Tout nombre a un successeur Entre deux nombres, on peut toujours en intercaler un troisième. Multiplier un nombre par n, c’est ajouter ce nombre à lui-même n fois. Multiplier un nombre par x = , c’est prendre une fraction décimale de ce nombre. Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Certaines difficultés liées au concept ne doivent pas être sous-estimées, ni gommées, mais au contraire il faut marquer une véritable rupture : les décimaux ne sont pas qu’un prolongement ou qu’un changement d’écritures d’entiers.

Connaissances essentielles pour le CM1 et le CM2 Valeur de chaque chiffre en fonction du rang qu’il occupe (à gauche ou à droite de la virgule) Valeurs référées à l’unité Dizaine = 10 unités Dixième = unité partagée en 10 Centaine = 100 unités Centième = unité partagée en 100 Relations entre valeurs centième = dixième partagé en dix 1 dixième = 10 centièmes Etc. Tout cela référé au triple code Verbal Symbolique : écriture à virgule, fraction Représentation matériel (notamment longueurs et aires, une unité étant donnée) Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Avec les élèves, il convient d’insister sur le fait que ces nombres décimaux ne sont pas des nombres entiers et d’aménager une rupture nécessaire à leur compréhension. Comment ? Avec une attention sur : - la valeur de chaque chiffre en fonction du rang ; - la valeur référée à l’unité ; - la relation entre les valeurs ; toutes ces relations référées au triple code. En passant par des représentations analogiques (les aires, les droites graduées…) Les temps forts de la fraction décimale - les fractions simples - utilisation des fractions pour graduer une droite (c’est dans cette situation que le nombre décimal prend son statut de nombre) Introduction des fractions simples - jeu du message : les bandes numériques (le maître écrit les écritures fractionnaires) ; ici encore c’est l’oral qui porte le sens ; - placer les nombres sur une droite graduée - faire le lien avec le tableau de numération et introduire le nombre à virgule.  

Des représentations analogiques Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

De la fraction au décimal : des temps forts Utilisation de fractions simples (partage) pour exprimer résultat d’une mesure de longueur ou d’aire Utilisation de fractions pour graduer une droite Les fractions décimales Les écritures décimales à la place des fractions décimales Comparaison de nombres décimaux à partir de leurs écritures décimales Multiplier, diviser par 10, 100, 1000 Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 A illustrer par film sur progression : Ermel voir cassettes Bourg- en- Bresse ou IUFM la réunion

La fraction Choix de l’aspect premier Programme de collège Aout 2008 : « À l'école élémentaire, l'écriture fractionnaire est introduite en référence au partage d'une unité. Par exemple 7/ 3 est 7 fois un tiers. *Le programme de la classe de 6e a pour objectif d’interpréter aussi 7/3: comme le tiers de 7 le quotient de 7 par 3 le nombre qui multiplié par 3 donne 7 un nombre dont une valeur approchée est 2,33. » Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Le programme de primaire ne fournit pas d’indication, mais celui de 6e semble indiquer qu’en primaire c’est la fraction partage La classe de cinquième s’inscrit, pour le travail sur les écritures fractionnaires, dans un processus prévu sur toute la durée du collège. En classe de 6e , l’écriture fractionnaire a deux significations : le « partage » ( 3/5 , c’est 3 fois 1/5) le quotient: ( 3/5 désigne le cinquième de 3 (le nombre dont le produit par 5 est égal à 3). L’utilisation d’une écriture fractionnaire pour exprimer une proportion, une fréquence est à relier à la notion de quotient.

Introduction des fractionsd'après Cap Maths CM1 A : 1u + ½ u B : 1u + 1/4 u C : ½ u D : 2 u E : ¼ u F : 3/4 u Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Les élèves choisissent deux bandes. Ils doivent les mesurer avec l’unité u, puis écrire leur réponse pour qu’un autre élève puisse retrouver les bandes qu’ils ont choisies.

Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Pour cinq des six bandes, la longueur ne peut pas être exprimée par un nombre entier d’unités. Ici, l’élève plie l’unité u pour mesurer sa bande. Les réponses sont soumises à la classe.

Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 L’enseignant explique alors aux élèves que leurs propositions peuvent être exprimées par des fractions et précise comment elles s’écrivent (1/2, 3/4, 1 + ¼ …) et comment elles se lisent (un demi, trois quarts, un plus un quart…).

Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Après la fraction partage, où une fraction correspond à une longueur, introduction de la fraction repérage sur une droite graduée, ce qui commence à donner un statut de nombre à la fraction

Placer des fractions sur la droite graduée Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010

10 fois plus grand x 10 x 10 x 10 , , milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes 3 4 6 Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 : 10 : 10 10 fois plus petit : 10 Situation à partir d’une vidéo : les élèves construisent le sens de la colonne des dixièmes : « Quand je vais vers la gauche dans le tableau, je sais que c’est 10 fois plus grand et du coup, je comprends que lorsque je vais vers la droite de ce tableau, c’est 10 fois plus petit ». Si on prend le temps au CM1 de bien asseoir les fractions, on arrive plus facilement à introduire le nombre à virgule parce que les élève en ont saisi le sens. La suite de la progression au CM2 est également facilitée.

En conclusion, pour la numération des décimaux La valeur de chaque chiffre est déterminée par sa position La relation de valeur entre les positions : En allant vers la droite, la valeur est divisée par 10 En allant vers la gauche, la valeur est multipliée par 10 Pour 4,302 la lecture signifiante : quatre unités, trois dixièmes et deux centièmes est à préférer à quatre virgule trois cent deux Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Conclusion : le sens réside essentiellement dans l’oral ; il s’agit de faire effectuer aux élèves des lectures signifiantes : 4,302 c’est 4 unités, 3 dixièmes et 2 millièmes.

Triple code et decimaux 1 Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 1 + 3/10 + 4/100 Un et trois dixièmes et quatre centièmes 1,24

Merci de votre attention Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010 Marie-Paule Dussuc Novembre 2010

Décomposition d’un nombre suivant les groupements La cible ERMEL CE2 3 5 2 7 Combien de points a-t-on gagnés ? Roland Charnay-Marie-Paule Dussuc-2010