La théorie de l’utilité espérée La fonction-objectif de Von Neumann et Morgenstern se définit par rapport à l’utilité espérée : Max E(U(R)) Lorsqu’il y a N états de la nature, indicés par i et de probabilité pi et que le revenu associé à chaque état de la nature est Ri, l’utilité espérée s’écrit : E(U(R)) = Ni=1 pi U (Ri)
La première loi de Gossen et l’aversion pour le risque U(R) U (5) U(E(R)) E(U(R)) E(R) 5 R La concavité de la fonction d’utilité U(R) vient de la 1ère loi de Gossen. Envisageons une loterie où l’individu a une chance sur deux de toucher un revenu de 5, et une chance sur deux de toucher un revenu nul. E(U(R)) représente l’espérance d’utilité de cette loterie. L’individu serait plus satisfait de toucher avec certitude l’espérance du gain de cette loterie ! En effet, on a U(E(R))>E(U(R))
L’équivalent-certain et la prime de risque U(R) U (5) E(U(R)) REC E(R) 5 R prime de risque REC est l’équivalent-certain de cette loterie. L’équivalent-certain d’une loterie est donc le revenu qui, obtenu avec certitude, procure à un individu le même niveau d’utilité que la loterie. U(REC) = E(U(R)). La différence E(R) - REC représente la prime de risque.
La concavité de la fonction d’utilité et l’aversion pour le risque U(R) R La concavité de la fonction d’utilité capte ainsi le degré d’aversion au risque. On a représenté ici les fonctions d’utilité d’individus, du plus averse au moins averse. La droite correspond à la fonction d’utilité d’un individu neutre au risque. La courbe convexe en vert correspond à une fonction d’utilité atypique : elle viole la 1ère loi de Gossen. Elle correspond au cas d’un individu risquophile
L’aversion pour le risque se mesure par l’indice d’Arrow-Pratt U(X) X Aussi on peut mesurer l’intensité de l’aversion pour le risque par l’indice d’Arrow-Pratt, qui vaut pour chaque point de la courbe : Cet indice est positif lorsque la fonction d’utilité est concave, lorsque la 1ère loi de Gossen est vérifiée. Plus il est élevé, plus la concavité de la fonction d’utilité est prononcée, plus l’individu est averse au risque.